11.1.6祖暅原理與幾何體的體積課件高一數學人教B版

第十一章立體幾何初步祖暅原理與幾何體的體積人教B版

數學

必修第四冊課程標準1.理解柱體、錐體和臺體體積公式的推導,利用“祖暅原理”將空間問題轉化為平面問題.2.掌握球的體積公式,會計算球的體積.3.熟練運用體積公式求多面體和簡單旋轉體的體積.4.掌握柱體、錐體、臺體體積公式之間的關系,了解求幾何體體積的幾種技巧.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1祖暅原理1.祖暅原理“冪勢既同,則積不容異”,由祖暅原理可知,

.

2.說明:祖暅原理充分體現了空間與平面問題的相互轉化思想,是推導柱、錐、臺體積公式的理論依據.等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等底等高的兩個柱體的體積相同.(

)(2)等底等高的圓柱的體積是圓錐的體積的9倍.(

)(3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有

.

(

)√××2.運用祖暅原理來證明兩個幾何體的體積相等,需要幾個條件?分別是什么?提示需要三個條件,分別是:①這兩個幾何體夾在兩個平行平面之間.②平行于兩個平行平面的每一個平面可截得兩個截面.③兩個截面的面積總相等.知識點2柱、錐、臺的體積柱體、錐體、臺體的體積公式如下表,其中,棱柱、棱錐的底面積為S,圓柱、圓錐的底面圓半徑為r,高為h,臺體的上、下底面面積分別為S1,S2,高為h,上、下底面圓的半徑分別為r'和r.名稱體積(V)柱體棱柱

圓柱πr2h錐體棱錐

圓錐πr2h臺體棱臺

圓臺πh(r2+rr'+r'2)Sh

名師點睛柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系設棱臺上底面面積為S',下底面面積為S過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)棱臺的體積可由兩個棱錐的體積差得出.(

)(2)棱臺的側面展開圖是由若干個等腰梯形組成的.(

)(3)圓臺的高就是相應母線的長.(

)√××2.圓錐底面半徑為3,母線長為5,則這個圓錐的體積為(

)

A.36π

B.18πC.45π

D.12πD3.已知棱臺的上、下底面面積分別為4,16,高為3,則該棱臺的體積為

.

284.[人教A版教材習題]如圖,將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐,求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比.知識點3球的體積一般地,如果球的半徑為R,那么球的體積計算公式為V球=

.

名師點睛求解與球有關切接問題時要認真分析題中已知條件,明確切點與接點位置,正確作出截面圖,再分析相關量間的數量關系.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)球的體積V與球的表面積S的數值關系為

.(

)(2)兩個球的體積之比等于其半徑比的立方.(

)√√2.已知某球的體積與其表面積的數值相等,則此球的體積為

.

3.[北師大版教材習題]球表面積膨脹為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼膸妆?36π重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一柱體的體積【例1】

用一塊長4m,寬2m的矩形鐵皮卷成一個圓柱形鐵筒,如何制作可使鐵筒的體積最大?解①若以矩形的長為圓柱的母線l,則l=4

m,此時圓柱底面周長為2

m,②若以矩形的寬為圓柱的母線,則母線長為2,此時圓柱底面周長為4

m,圓所以第二種情況可使鐵筒體積最大.變式訓練1長方體中由一個頂點出發(fā)的三個側面的面積分別為S1,S2,S3,則該長方體的體積為

.

解析

如圖,從長方體中由頂點A出發(fā)的三個側面為矩形ADD1A1、矩形ADCB、矩形AA1B1B,它們的面積分別為S1,S2,S3.設AD=a,AB=b,AA1=c,探究點二錐體的體積A解析

作圓錐的軸截面(如圖所示).由題設,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB

.(2)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,過頂點B,D,A1截下一個三棱錐,求剩余部分的體積.變式訓練2(1)將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面高度為(

)B(2)[2023天津西青高一校考期中]如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E是棱CC1的中點,則三棱錐C1-EBD的體積為

.

探究點三臺體的體積【例3】

[北師大版教材習題]有一個正四棱臺形狀的油槽,可以裝油190L.已知它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm,求它的深度.變式訓練3已知圓臺的高為3,在軸截面中,母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°,軸截面中的一條對角線垂直于腰,求圓臺的體積.解如圖所示,作軸截面A1ABB1,設圓臺的上、下底面半徑和母線長分別為r,R,l,高為h.作A1D⊥AB于點D,則A1D=3.探究點四球的體積【例4】

[北師大版教材習題]已知一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是4cm.求這個球的體積.變式探究在本例中,將“正方體”改為“正四面體”,其他條件不變,求這個球的體積.規(guī)律方法

與棱長為a的正方體相關的球有三個:外接球、內切球和與各條棱都相切的球,其半徑分別為

.變式訓練4如果三個球的半徑之比是1∶2∶3,那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的(

)A.1倍

B.2倍

C.3倍

D.4倍C成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314151617181920A級必備知識基礎練1.[探究點四·2023浙江杭州高一校聯(lián)考期中]直徑為6cm的一個大金屬球,熔化后鑄成若干個直徑為2cm的小球,如果不計損耗,可鑄成這樣的小球的個數為(

)A.3 B.6

C.9

D.27D12345678910111213141516171819202.[探究點二·2023河南開封一模]已知圓錐的底面半徑為1,其側面展開圖為一個半圓,則該圓錐的體積為(

)B12345678910111213141516171819203.[探究點一]已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(

)B解析

繪制圓柱的軸截面如圖所示,1234567891011121314151617181920D12345678910111213141516171819205.[探究點三]圓臺的上、下底面半徑分別為2,4,母線長為3,則圓臺的體積為(

)A12345678910111213141516171819206.[探究點四]若兩球的體積之和是12π,經過兩球球心的截面圓周長之和為6π,則兩球的半徑之差為(

)A.1 B.2

C.3 D.4A12345678910111213141516171819207.[探究點三·2023浙江平湖當湖高級中學校聯(lián)考]龍洗的盆體可以近似看作一個圓臺.現有一龍洗盆高15cm,盆口直徑36cm,盆底直徑18cm.現往盆內倒入水,當水深5cm時,盆內水的體積近似為(

)B12345678910111213141516171819208.[探究點一]若一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為2π的正方形,則這個圓柱的表面積為

,體積為

.

2π+4π22π2解析

由題知,圓柱體的底面周長、高均為2π.設底面半徑為r,則2πr=2π,解得r=1.所以圓柱體表面積S=2π×12+4π2=2π+4π2,體積V=π×12×2π=2π2.12345678910111213141516171819209.[探究點二]如圖,長方體ABCD

-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點,則三棱錐E-BCD的體積是

.

10123456789101112131415161718192010.[探究點四·2023浙江高一期中]山楂冰糖葫蘆是將可近似為球的山楂外圍裹上冰糖漿凝固制成的.假設山楂大小均勻,直徑均約為3cm,外層冰糖層均勻裹在山楂上,厚度在0.5cm左右,若有1L的冰糖漿,則大約可制作

顆冰糖葫蘆(π取3,最后結果精確到整數).

541234567891011121314151617181920B級關鍵能力提升練11.已知某圓錐的母線長為2,其軸截面為直角三角形,則圓錐的體積為(

)A123456789101112131415161718192012.[2023浙江高一校聯(lián)考期中]如圖扇形ABC,圓心角A=90°,D為半徑AB的中點,線段CB,CD把扇形分成三部分,這三部分繞AC旋轉一周,所得三部分旋轉體的體積V1,V2,V3之比是(

)A.1∶2∶2 B.1∶2∶3C.1∶3∶3 D.1∶3∶4D123456789101112131415161718192013.已知半球內有一個內接正方體,則這個半球的體積與正方體的體積之比為(

)B解析

作出過正方體的對角面的截面,如圖所示,123456789101112131415161718192014.有64個直徑都為

的球,記它們的體積之和為V甲,表面積之和為S甲;一個直徑為a的球,記其體積為V乙,表面積為S乙,則(

)A.V甲>V乙且S甲>S乙

B.V甲<V乙且S甲<S乙C.V甲=V乙且S甲>S乙

D.V甲=V乙且S甲=S乙C

123456789101112131415161718192015.(多選題)[探究點二·2023福建廈門一中校考期中]已知圓臺的上底半徑為1,下底半徑為3,球O與圓臺的兩個底面和側面都相切,則(

)A.圓臺的母線長為4B.圓臺的高為4C.圓臺的表面積為26πD.球O的表面積為12πACD123456789101112131415161718192016.[2023廣東東莞期中]圖1是一種木陀螺,可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體,其直觀圖如圖2所示,其中B,C分別是上、下底面圓的圓心,且AC=3AB=6,底面圓的半徑為2,則該陀螺的體積是(

)圖1圖2D123456789101112131415161718192017.如圖①,一只裝了水的密封瓶子,其內部可以看成是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個圓柱組成的幾何體.當這個幾何體如圖②水平放置時,液面高度為20cm,當這個幾何體如圖③水平放置時,液面高度為28cm,則這個幾何體的總高度為

cm.

29解析

設半徑為1

cm和半徑為3

cm的兩個圓柱的高分別為h1

cm和h2

cm,則由題意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.123456789101112131415161718192018.[2023安徽宿松中學校聯(lián)考期中]依次連接棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1六個面的中心,得到的多面體的體積是

.

解析

依次連接正方體ABCD-A1B1C1D1六個面的中心,得到的多面體是正八面體,如圖.該正八面體為兩個全等的正四棱錐的組合體,正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長為12345678910