最全圓錐曲線知識點總結

1、注意：若PFiPF2F動點P的軌跡無圖形.2 X(1)橢圓：焦點在X軸上時六 a2為參數(shù))，焦點在y軸上時-yy a2.橢圓的幾何性質：22(1)橢圓(以x2冬 1( a b兩個焦點(c,0)；對稱性：訪：2 ,則動點P的軌跡為線段2-y- 1 (a2 b2 c2) b2x2-v= 1 ( a b 0)。bb 0)為例)：范圍：棄對稱軸x 0, y 0 ,高中數(shù)學橢圓的知識總結1.橢圓的定義：平面內一個動點 P到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(PF1 PF2 2a F1F2)，這個動點P的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距F1F2；若 PF1 |PF2F1

2、F2I，則x acos (參數(shù)方程，其中 y bsina x a, b y b ;焦點：一個對稱中心(0,0 ),四個頂點(a,0),(0, b),其中長軸長為2a,短軸長為2b；離心率：e c,橢圓 0 e 1, e a越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。22(2).點與橢圓的位置關系：點P(x0,y0)在橢圓外x2 y 1；a b2222點P(X0,y°)在橢圓上笠咚=1;點P(X0,y°)在橢圓內多 寫1aba b3.直線與圓錐曲線的位置關系 ：(1)相交： 0直線與橢圓相交；(2)相切： 0直線與橢圓相切；(3)相離：0直線與橢圓相離；22如：直線ykx 1=0與橢圓

3、 上 1恒有公共點，則 m的取值范圍是 ;5 m4 .焦點三角形(橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形)5 .弦長公式：若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點 A、B,且x1,x2分別為A、B的橫坐標，則AB =J1 k2|x x2 ,若y1，y2分別為A、B的縱坐標，則 AB = Jy ,若弦ABk k所在直線方程設為 x ky b ,則|AB = V1 k21y1 y2 。6 .圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法” 求解。在橢圓222xyb x021中，以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率 k=工；aba y0x2 y如(1)如果橢圓 一 匚 1弦被點A (

4、4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 ;36922(2)已知直線y=x+1與橢圓 4 1(a b 0)相交于A、B兩點，且線段 AB的中點在直 a b線L: x2y=0上，則此橢圓的離心率為 ;22(3)試確定m的取值范圍，使得橢圓 上 1上有不同的兩點關于直線 y 4x m對稱；43特別提醒：因為0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗0!橢圓知識點的應用1 .如何確定橢圓的標準方程任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是 坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準

5、方程需要三個條件：兩個定形條件a,b； 一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2 .橢圓標準方程中的三個量 a,b,c的幾何意義橢圓標準方程中，a,b,c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：一 222(a b 0), (a c 0),且(a b c )。可借助右圖理解記憶：a,b,c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3 .如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪個分母

6、大，焦點就在哪個坐標軸上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件方程Ax2By2Ax2C可化為CBy2C21,即三 cBy2 c1,所以只后A、B、C同號,ABC CC C且A B時，方程表本橢圓。當一 一時，橢圓的焦點在x軸上；當一 一時 橢圓的焦點在 y A BA B軸上。5 .求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù) a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6 .共焦點的橢圓標準方程形式上的差異22

7、共焦點，則c相同。與橢圓與 1 (a b 0)共焦點的橢圓方程可設為 a2 b222xv 一 .2、一 一 一 、一. -y- 1(m b ),此類問題常用待定系數(shù)法求解。a m b m7 .判斷曲線關于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成x,方程不變，則曲線關于y軸對稱； 若把曲線方程中的y換成y,方程不變，則曲線關于x軸對稱； 若把曲線方程中的x、y同時換成 x、 y,方程不變，則曲線關于原點對稱。8 .如何求解與焦點三角形 PF1F2 (P為橢圓上的點)有關的計算問題思路分析：與焦點三角形 PFF2有關的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦、一 一一 、一 1定理(或勾

8、股定理)、三角形面積公式 S pFiF2 - PFi PF2 sin F1PF2相結合的 1 22方法進行計算解題。將有關線段|pf1、pf2、F1F2| ,有關角 F1PF2( F1PF2F1BF2)結合起來，建立PF1I 匹卜|PFj IPF2之間的關系.9 .如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系22xyoo例3.已知P為橢圓 1 1上的一點，M , N分別為圓(x 3)2 y2 1和圓 2516(x 3)2 y2 4上的點，則PM |PN的最小值為題型2:求橢圓的標準方程例1、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.(1)經過兩點 A(V3, 2), B( 2后)；(2)經過點(2, - 3)

9、且與橢圓9x2 4y2 36具有共同的焦點；(3) 一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為472 -4.題型3:求橢圓的離心率例1、 ABC中， A 30o, AB 2, Svabc J3,若以A, B為焦點的橢圓經過點 C ,則橢圓的離心率為.例2、過橢圓的一個焦點 F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于 P,若 F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為題型4:橢圓的其他幾何性質的運用(范圍、對稱性等)22例1.已知實數(shù)x, y滿足上L421,貝U x2 y2 x的范圍為c長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率e -(0 e 1),因為 a22例2.已知點A,

10、 B是橢圓上萬豈21m nuuum 0, n 0 )上兩點，且AOuurBO ,則=22,2c a b , a c 0,用a、b表小為e1 (b)2(0ae 1)。題型5:焦點三角形問題22例1.已知F1,F2為橢圓941的兩個焦點，p為橢圓上的一點,已知P,F1,F2為一個直角三顯然：當b越小時，e(0 a橢圓形狀越趨近于圓。題型1：橢圓定義的運用e 1)越大，橢圓形狀越扁；當越大，e(0 e 1)越小, a角形的三個頂點，且 PF1IpfJpf2，求一1的值.PF22 x 例1.已知F1,F為橢圓 252y-1的兩個焦點，過 F1的直線交橢圓于 A、B兩點若F2A EB 12,則 AB 2

11、2例2.已知后下2為橢圓C：1的兩個焦點，在C上滿足PF1PF2的點的個數(shù)為.841 一一例3.已知橢圓的焦點是F)(Q 1),F2(Q1),且離心率e - 求橢圓的方程； 設點P在橢圓上，且 PF1PF2 1,求 cos F1PF2.例2.如果方程x2 ky2 2表示焦點在x軸的橢圓，那么實數(shù) k的取值范圍是 2y 1恒有公共點，求實數(shù) m的取值范圍;m題型6:三角代換的應用x2y2 .、, 一 .例1.橢圓一 匚 1上的點到直線l: x y 9 0的距離的最小值為169x2 y2 .一例2.橢圓一 U i的內接矩形的面積的最大值為169題型7:直線與橢圓的位置關系的判斷22例1.當m為何值

12、時，直線 y x m與橢圓 1相交相切相離1692x例2.若直線y kx 1(k R)與橢圓一 5題型8:弦長問題223.橢圓上工 1的一條弦被 A 4,2平分，那么這條弦所在的直線方程是3694 .若F1,F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，若 PF1F2： PF2F1： F1PF2 1:2:3,則此橢圓的離心率為x2 y2_.、一.一 5 .在平面直角坐標系中，橢圓 一2 七 1(a b 0)的焦距為2c,以。為圓心，a為半徑的圓， a b2過點(,0)作圓的兩切線互相垂直，則離心率 e=.c，雙曲線基本知識點例3.橢圓mx2OC的斜率為22ny(O為原點)，求橢圓的方程.雙曲線標準方程

13、(焦點在x軸)22與 4 1(a 0,b 0) a b標準方程(焦點在 y軸)22當3 1(a 0,b 0) a b定義定義：平面內與兩個定點 F1 , F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于 F1F)的點的軌跡叫 雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。M MF1 MF2 2a 2a "眉pyxF1F2yF1范圍x a, y Ry a, x R對稱軸x軸，y軸；實軸長為2a,虛軸長為2b對稱中心原點O(0,0)焦點坐標F1( c,0) F2(c,0)F1(0, c)F2(0,c)4x2 y2,例1.求直線y 2x 4被橢圓 ，1所截得的弦長992例2.已知橢圓 y2 1

14、的左右焦點分別為 F1,F2,若過點P (0, -2 )及F1的直線交橢圓于 A,B 2兩點，求ABE的面積；題型9:中點弦問題22例1.求以橢圓 1內的點A (2,-1)為中點的弦所在的直線方程。85例2.中心在原點，一個焦點為F1 (0,450)的橢圓截直線y 3x 2所得弦的中點橫坐標為 j ,求橢圓的方程.1與直線x y 1相交于A B兩點，點C是AB的中點.若AB鞏固訓練1 .如圖，橢圓中心在原點，F(xiàn)是左焦點，直線AB1與BF交于D,且 BDB1=90o,則橢圓的離心率為x2_uuu uuu2 .設F1，F(xiàn)2為橢圓 y2 1的兩焦點，P在橢圓上，當 F1PF2面積為1時，PF1 PF

15、2的值為4焦點在實軸上，c Ja2 b2 ；焦距：F1F2 2c頂點坐標(a,0)( a,0)(0, a,)(0, a)離心率e a JHF,(e 1)漸近線方程b y -x aay bx共漸近線的雙曲線系方程22、k (k 0)a2 b222與0 k (k 0)a2b2直線和雙曲線的位置22雙曲線 二 1 1與直線y kx b的位置關系： a b221-利用 a2 b21轉化為一兀二次方程用判別式確定。y kx b二次方程一次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦 AB的弦長 |ab J1 k2>/（x1 x2）2 4x（x2補充知識點:22c. - -y- 1(y > 3)169同

16、步練習一：如果雙曲線的漸近線方程為例2、A.2 x 763 一x , 42y9 1(y0 3)則離心率為（已知雙曲線12 k 1542 y_kD. ,31的離心率為D. 12 kk的范圍為（等軸雙曲線的主要性質有：（1）半實軸長=半虛軸長（一般而言是 a=b,但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是 a,b這兩 個字母）；(2)其標準方程為x2y2C ,其中 C 0 ；(3)離心率e 、, 2 ；(4)漸近線：兩條漸近線y=±x互相垂直;例題分析:例1、動點P與點F1（0,5）與點F2（0, 5）滿足PF1PF26,則點P的軌跡方程為（A.22x _y_ d一 191622B .- y

17、11692同步練習二：雙曲線與a2例3、設P是雙曲線與 ay_b22 y91的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x 2y 0, F1, F2分別是雙曲線的左、右焦點，若 PF13 ,則PF2的值為同步練習三：若雙曲線的兩個焦點分別為（0, 2）,（Q2）,且經過點（2 J15）,則雙曲線的標準方程例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（x22(A) - -y =1(C)y 2-二=13同步練習四上且PF12A.和x2-2 x =13y-=13(B)(D)2 -y 2=1 和 y2- 土 =133：已知雙曲線的中心在原點,PF2 ,且PF

18、1F2的面積為例5、與雙曲線漸近線的距離是(A) 8同步練習五：以22-y 2=1和工39兩個焦點Fi, F2分別為（J5,。）和（50,0），點p在雙曲線1,則雙曲線的方程為（2 x C .42 工16(B)1有共同的漸近線，且經過點(C) 2J3x為漸近線，一個焦點是 F （0,A（2)3,2/3的雙曲線的一個焦點到一條(D) 1的雙曲線方程為例6、下列方程中，以x± 2y=0為漸近線的雙曲線方程是2x5.12012局考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系 xOy中，若雙曲線一m2(A)162(B)x-4_21 (D)x則m的值為同步練習六：雙曲線8kx2-ky 2=8的一個焦點是（

19、0 , 3）,那么k的值是拋物線例7、經過雙曲線x221的右焦點F2作傾斜角為330 °的弦AB,(1)求 |AB|.（2） F1是雙曲線的左焦點，求 F1AB的周長.2同步練習七過點（0, 3）的直線l與雙曲線 42 1只有一個公共點，求直線 l的方程。3高考真題分析1.12012高考新課標文10】等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上，C與拋物線y2 16x的準線交于A, B兩點,AB 4J3 ;則C的實軸長為（(A) 2(B) 2 2(C)(D)2.12012高考山東文11】已知雙曲線C1 :2 y b21(a0,b 0）的離心率為2.若拋物線C22:x 2py(p0）的焦點到

20、雙曲線 C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為(A)28.3x y3(B)216 32x y (C) x 8y3(D)2x 16y3.12012高考全國文10】已知F1、52為雙曲線C:x22的左、右焦點，點 P在C上,| PE | 2 | PF2 |,則 cosF1PF2(B)44. （2011年高考湖南卷文科(C) 346）設雙曲線的漸近線方程為則的值為（拋 物 線ly2 2px(P 0)4y(y2P2px0)x(1：22pyp 0)Jx (1 y2 2pyp 0)LlF定義平向內與一個定點F和一條定直線l的跑離相等的點的軌跡叫 做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。m|mf|=

21、M到直線l的距離做拋物線，點F叫范圍x0,Y Rx 0, Y RxR,Y 0x R, Y 0對稱性關于x軸對稱關于Y軸對稱隹百八、八、4,0)(-r0)。爭焦點在對稱軸上頂點O(0,0)離心率e=1準線 方程xIpx_p2Y 1準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的跑離相等。頂點到準 線的距離_p2焦點到準 線的距離P焦半徑A(Xi, Yi)AF x1 2AFx p x1 2AF Y1 wAFY11焦點弦長AB(x1 x2) p(x1 x2) p(yy2) p(y y) p焦點弦AB的幾 條性質 A(x1,y)B(x2,y2)1J - oy<£xxxB2,y2以AB為直徑的圓必與準線l相切若AB的傾斜角為,則|AB| 百一sin若AB的傾斜角為 ，則| AB 的p- cos2p2x1x2VlV2p411 AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線 方程y°y p(x %)y°yp(x x°)x°x p(y y°)x°xp(y y°)1、直線與拋物線的位置關系y1 y2 kx1b kx2 b k(x1 x2) 2by1y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2在涉及弦長，中點，