常用邏輯用語專題

1、常用邏輯用語專題【考試要求】1 .通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系；理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系；理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系；2 .通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義；3 .能正確使用存在量詞對全稱命題進(jìn)行否定；能正確使用全稱量詞對特稱命題進(jìn)行否定【知識梳理】1 .充分條件、必要條件與充要條件的概念若p? q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p? q 且 q=> pp是q的必要不充分條件p為q且q? pp是q的充要條件p? qp是q的既/、充分也不必要條件p A q

2、且 q 1 > p2 .全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“？”表示.(2)存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“？”表示.3 .全稱命題和特稱命題(命題p的否定記為p,讀作“非p”)稱形式全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中的任息個x,有p(x)成立.存在M中的一個xo,使p(xo)成立簡記?xC M, p(x)?xo £ M p(x o)否定?x0cMp(xo)?xCM,p(x)【微點(diǎn)提醒】1 .區(qū)別A是B的充分不必要條件(A? B且BA),與A的充分不必要條件是 B(B? A且A

3、> B)兩者的不同2 .A是B的充分不必要條件？ B是A的充分不必要條件.3 .含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.【疑誤辨析】1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打或“x”)若已知p： x>1和q： x>1,則p是q的充分不必要條件.（）2 2） “長方形的對角線相等”是特稱命題 .（）（3）當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.（）（4）"若p不成立，則q不成立"等彳于"若 q成立，則p成立”.（）【教材衍化】22 .（選彳21P26A3改編）命題 ？xC R, x +x>0的否定是（）A.?x0CR, x02+ x0<

4、; 0B.?x0CR, x02 + x0<0C.?xCR, x2 + x<0D.?xC R, x2+ x<03 .（選彳21P12A4改編）圓（x a）2+（y b）2=r2經(jīng)過原點(diǎn)的一個充要條件是 【真題體驗(yàn)】4 .（2015 全國 I 卷）設(shè)命題 p： ?nC N, n2>2n,貝U p為（）A.?nCN, n2>2nB.?nCN, n22nC.?nCN, n2w2nD.?nC N, n2= 2n1 15.（2018 天津卷）設(shè) xC R,則“ x 2 <2” 是 “x 3<1” 的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也

5、不必要條件16.（2019 濟(jì)南調(diào)研）“a=0”是“函數(shù) f（x） =sin x x +a為奇函數(shù)”的 條件.【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一充分條件與必要條件的判斷【例1】（1）（2018 北京卷）設(shè)a, b均為單位向量，則“ |a 3b| = |3a + b| ”是“ ab”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2m*: x>0,（2）（2019 華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢）設(shè)函數(shù)f（x） =1 則“m>1是聯(lián) 1）>4”的（）x x ? x<0.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【規(guī)律方法】充要條件的兩種判斷

6、方法 定義法：根據(jù)p? q, q? p進(jìn)行判斷.（2）集合法：根據(jù)使p, q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷【訓(xùn)練1 （2018 浙江卷）已知平面 a ,直線 m, n滿足m? a , n? a ,則"m/ n"是"m/ a ”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件考點(diǎn)二充分條件、必要條件的應(yīng)用>典例遷移【例2】（經(jīng)典母題）已知P=x|x28x 20W0,非空集合 S= x|1 -me xW1+m.若 xCP 是 xCS 的必要條件，求m的取值范圍.【遷移探究1】本例條件不變，若 xCP是xCS的必要不充分條件，

7、求m的取值范圍【遷移探究2】 本例條件不變，若x P的必要條件是x C S,求m的取值范圍【遷移探究3】 本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù) m,使xC P是xC S的充要條件？并說明理由【規(guī)律方法】充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意：（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的 不等式（或不等式組）求解.（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取 等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象(3)數(shù)學(xué)定義都是充要條件.【訓(xùn)練2】(2019 臨沂月考)設(shè)p

8、：實(shí)數(shù)x滿足x2 4ax+3a2<0, aC R； q：實(shí)數(shù)x滿足x2x 6wo或x2+ 2x 8>0.若a<0且p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.考點(diǎn)三全稱量詞與存在量詞角度1全(特)稱命題的否定【例31(1)命題“？nCN*, f(n) C N*且f(n) w n”的否定形式是()A.?nCN*, f(n) N*且 f(n) >n B. ?nCN*, f(n)N*或 f(n) >nC.?n0CN*, f(n0)N*且 f(n0)>n0 D. ?n0CN*, f(n0) N*或 f(n0)>n0(2)(2019 德州調(diào)研)命題“？XoCR

9、, 1<f(x 0) W2”的否定形式是()A.?xCR, 1<f( x) <2B.?XoCR, 1<f(x o)<2C.?xoCR, f(x o)W1 或 f(x。)>2D. ?xCR, f(x) W1 或 f(x)>2角度2含有量詞(？、？)的參數(shù)取值問題1 x【例 32】(經(jīng)典母題)已知 f(x) =ln(x 2+ 1) , g(x) = 2 m 若對？xiC 0 , 3 , ?xzC 1 , 2,使得f(x 1) >g(x 2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .【遷移探究】若將“ ？X2C 1 , 2”改為“ ？X2C 1 , 2”，其他條件不變

10、，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【規(guī)律方法】 1.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時， 一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的 否定只需直接否定結(jié)論.2.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決【訓(xùn)練3】(2019 衡水調(diào)研)已知命題p： ?xCR log 2(x2+x+a)>0恒成立，命題 q： ?xoC2, 2, 2a<2x0,若命題p和q者B成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .【反思與感悟】1 .充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法(1)定義法(2)利用集合間的包含關(guān)系

11、判斷：設(shè)A=x|p(x) , B=x|q(x);若A?B,則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A? B,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若A= B,則p是q的充要條件.2 .要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，再對照否定結(jié)構(gòu)去寫，否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.【易錯防范】1 .判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言.2 .注意命題所含的量詞，對于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定【核心素養(yǎng)提升】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算一一突破雙變量“存在性或任意性”問題邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點(diǎn)、推理

12、的形式、結(jié)論的表達(dá) .解決雙變量“存在性或任意性”問題關(guān)鍵就是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等彳轉(zhuǎn)化”為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系)，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)類型1形如“對任意xiCA,者B存在xzCB,使得g(x 2) = f(x 1)成立"191【例 1】 已知函數(shù) f(x) = x3+ (1 - a)x 2- a(a + 2)x , g(x) ="6x - 3,若對任意 x1 - 1, 1,總存在 xzC0 , 2,使得f' (x1) + 2ax1 = g(x2)成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【評析】理解全稱量詞

13、與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，此類問題求解的策略是“等價轉(zhuǎn)化”，即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a的不等式組，求得參數(shù)的取值范圍.類型2 形如“存在x1 CA及x2C B,使得f(x1) =g(x2)成立"2x31x+1 ， x 2, 1 , nc a【例 2】 已知函數(shù) f(x) =11i 函數(shù) g(x) = ksin q - 2k+ 2(k>0),若存在 xi 0 , 13x + 6, xC 0，2，及x2C 0 , 1,使得f(x 1)=g(x2)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【評析】本類問題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的

14、交集不為空集”，上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想.另外，若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”，則“等價轉(zhuǎn)化”策略是利用“ f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍類型3 形如“對任意x1CA,者B存在x2CB,使得f(x1)<g(x2) 成立"41【例 3】已知函數(shù) f(x) =x + x, g(x) =2x + a,若？x1 C 2, 1 , ?xzC 2 , 3,使得 f(x 1)<g(x 2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【評析】理解量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)max wg(x)max ,利用函數(shù)的單調(diào)性，求 f(x)與g(x)的最大值，得關(guān)于

15、a的不等式求得a的取值范圍.思考1:在例3中，若把“ ？xzC 2 , 3”變?yōu)椤?？xzC 2 , 3”時，其它條件不變，則 a的取值范圍是問題“等價轉(zhuǎn)化”為f(x )max w g(x)min ,請讀者完成.11思考2:在例3中，若將例3中“？x1C 2, 1 ”改為“ ？x1C 2, 1 "，其它條件不變，則a的取值范圍是.問題“等價轉(zhuǎn)化”為 f(x)min <g(x)max,請讀者自行求解.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時：30分鐘)一、選擇題1 .命題“ ？xCZ,使x2+ 2x+mc 0”的否定是()A. ？x Z,使 x2+ 2x+ m>0B.不存在

16、x Z,使 x2+ 2x+ m>0C.？xC Z,使 x2+2x + m<0D. ？x Z,使 x2+2x+m>02 .命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是（）A.所有實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù)B.有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)D.至少有一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)3 .設(shè) xC R,則“2 x>0" 是"|x 1| W1” 的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2inrt曰鉆4 .（2019 -焦作模擬）命題p： cos 0 = 2 ,命題q： tan 0 = 1,貝U p是q的（）A.充分不必要條

17、件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5 .（2017 浙江卷）已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為則“d>0”是“S 4+4>2S”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6 .已知命題 p： “？xC0, 1, a>ex",命題 q： “？x0CR, x02+4x°+a = 0” .若命題 p 和 q 都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（4 , +8）B.1 , 4C.e , 4D.（巴1）7 .（2017 北京卷）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù) 入，使得m=入n”是“m-n<0”

18、白（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件8 .命題« ?xC1 , 2）, x2aW0”成立的一個充分不必要條件可以是（）A.a>1B.a>1C.a>4D.a>4二、填空題9 .直線x yk=0與圓（x 1）2+y2=2有兩個不同交點(diǎn)的充要條件是 .10 . 已知 p 是 r 的充分不必要條件，s 是 r 的必要條件，q 是 s 的充要條件，那么p 是 q 的 條件 .11 .已知“p： （x m）2>3（x m）”是"q： x2+3x4<0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是12 .

19、設(shè)nCN*, 一元二次方程 x24x+n= 0有整數(shù)根的充要條件是n=【能力提升題組】（ 建議用時：20 分鐘 ）13 .（2019 寧波質(zhì)檢）祖的I原理：“哥勢既同，則積不容異”.它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題，意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面面積恒相等，那么體積相等. 設(shè) A， B 為兩個同高的幾何體，p： A, B的體積不相等，q： A, B在等高處的截面面積不恒相等，根據(jù)祖咂原理可知，p是4的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件14.（2019 佛山質(zhì)檢）已知函數(shù) f（x） =3x-3-x, ?a, bCR,貝 U "

20、; a>b” 是 “f（a）>f（b） ”的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件x? - x - 6w 0,15 .設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x24ax +3a2<0,其中aw0, q：實(shí)數(shù)x滿足丫匕2丫_8>0 若p是q的必要不充分條 x -r nx 8>0 ,件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16 .設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，求證：" a n是遞增數(shù)列”的充要條件為“ai<a2<a3” .17 .(答案不口t一型)能說明“若a>b,則a<b”為假命題的一組 a, b的值依次為 (填寫一個正確的即可).

21、1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打或“x”) 若已知p： x>1和q : x>1,則p是q的充分不必要條件.()2 2) “長方形的對角線相等”是特稱命題.()(3)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.()(4)“若p不成立，則q不成立"等彳于“若 q成立，則p成立”.()【答案】(1 )V (2) X (3) V (4) V【解析】(2)錯誤.命題“長方形的對角線相等”是全稱命題.【教材衍化】2.(選彳21P26A3改編)命題“ ？xC R, x2 + x>0”的否定是()A.?x0CR,xo2+x°W0B. ?x°CR,xo2+xo<

22、;0 C. ?x CR,x2 + x<0 D. ?xCR,x2+x<0【答案】B【解析】由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確.3.(選彳21P12A4改編)圓(x a)2+(y b)2=r2經(jīng)過原點(diǎn)的一個充要條件是 .【答案】a2+b2=r2【解析】 若圓(x a)2+(y b)2=r2經(jīng)過原點(diǎn)，等價于原點(diǎn)坐標(biāo)適合圓(x a)2 + (y b) 2= r2的方程，(0a) 2+(0 b) 2= r：，a2+b2= r 2,反之亦然.【真題體驗(yàn)】4.(2015 全國 I 卷)設(shè)命題 p： ?nC N, n2>2n,貝U p為()A.?nCN, n2>2nB.?nCN,

23、n2<2n C. ?nC N, n2<2n D. ?n C N, n2=2n【答案】C【解析】命題 p的量詞“ ？”改為“ ？”，"n 2>2n”改為“n &2n”， p： ?nC N, n22n.1 15.(2018 天津卷)設(shè)*6 R,則“ x-2 <2” 是 “x 3<1” 的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A11【解析】 由x- 2 <2,得0<x<1 ,所以0<x3<1;由x3<1,得x<1,不能推出0vx<1.所以"x 2迂是

24、"x 3<1 "的充分而不必要條件.16.(2019 濟(jì)南調(diào)研)“a=0”是“函數(shù) f(x) =sin x x +a為奇函數(shù)”的 條件.【答案】 充要1【解析】 顯然a=0時，f(x) = sin x x為奇函數(shù)；當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，f( x) + f(x) = sin( x) _x+ a+ sin x x+ a= 0.因此 2a= 0,故 a= 0.所以“a=0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的充要條件.【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一充分條件與必要條件的判斷【例1】(1)(2018 北京卷)設(shè)a, b均為單位向量，則“ |a 3b| = |3a + b| ”是“ ab”的()A.

25、充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2m*1, x>0,(2)設(shè)函數(shù) f(x) =1 則 “m>1 是聯(lián)一1)>4 ”的()x x? x<0.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】 (1)C(2)A【解析】 (1)|a 3b| =|3a+b|? (a 3b)2=(3a+b)2? a2 6a b+9b2=9a2+6a b+ b2,又. |a| = |b|=1, . .a - b= 0? a±b,因此 |a - 3b| = |3a + b| 是 “ab” 的充要條件.1(2)當(dāng) m>1

26、 時，f f(-1) =f ( 1)'PIT =f(2) =22m+1>4,1 當(dāng) f f(1)>4 時，f f(-1) =f -( -1) -(TT =f(2) =22. 1>4=22, . 2m+ 1>2,解得 m>2.故"m>1是"f f( 1)>4 "的充分不必要條件 .【規(guī)律方法】充要條件的兩種判斷方法 定義法：根據(jù)p? q, q? p進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p, q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷【訓(xùn)練1 (2018 浙江卷)已知平面 a ,直線 m, n滿足m? a , n? a ,則&q

27、uot;m/ n"是"m/ a ”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】 A【解析】若m?a , n? a , m/ n,由線面平行的判定定理知m/ a .若m/ a , m? a , n? a ,不一定推出m/ n,直線m與n可能異面，故“ m/ n”是“mil a ”的充分不必要條件.考點(diǎn)二充分條件、必要條件的應(yīng)用,1"典例遷移【例2】(經(jīng)典母題)已知P= x|x2 8x 20W0,非空集合 S= x|1 -m< xW1+m.若xCP是xCS的必 要條件，求m的取值范圍.【答案】 見解析【解析】由 x28x

28、 20W0,得2WxW10, .P= x| -2<x<10. xCP是xCS的必要條件，則 S?P.1 一 m5 2,1+mC 10,解得 m13.又 S為非空集合，1 -m< 1+ m解得0.綜上，m的取值范圍是0 , 3.【遷移探究1】 本例條件不變，若 xCP是xC S的必要不充分條件，求m的取值范圍.【答案】 見解析【解析】由例知，S巳1m< 1+m,1 m< 1+m,. 1 mi> 2,或 1 mA 2，1 + m<101 + m< 10,解得 0Wm<3 或 0Wm<3，0Wmc 3,故m的取值范圍是0 , 3.【遷移探究

29、2本例條件不變，若 xCP的必要條件是xCS,求m的取值范圍.【答案】見解析【解析】 由例知P= x| -2<x<10,若xC P的必要條件是 xCS,即xC S是xC P的必要條件，P? S,1 m< 1 + m,. 1me 2，解得 m>9.1 + m> 10,故m的取值范圍是9 , +8).【遷移探究3】 本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)m,使xC P是xC S的充要條件？并說明理由.【答案】見解析【解析】由例題知P=x| -2<x<10.若xCP是xCS的充要條件，則 P= S,1 m= 2,mi= 3,1 + m= 10,m= 9, 這樣的m不存

30、在.【規(guī)律方法】充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上. 解題時需注意：(1) 把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式 ( 或不等式組) 求解 .(2) 要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn). 尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.(3) 數(shù)學(xué)定義都是充要條件.【訓(xùn)練2 (2019 臨沂月考)設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2 4ax+3a2<0, aC R； q：實(shí)數(shù)x滿足x2x 6W。或x2 2x 8>0. 若 a<0 且 p 是 q 的充分不必要

31、條件，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.見解析【解析】 由 p 得(x3a)(x - a)<0 ,當(dāng) a<0 時，3a<x<a.則 x< 4 或 x> 2.由 q 得 x2x 6<0 或 x2 + 2x 8>0,則一2WxW3 或 x< 4 或 x>2 , 設(shè) p： A= (3a , a), q： B=(8, 4)U2, +8), 又p是q的充分不必要條件.2可知 A? B,aW 4 或 3a> 2,即 aw 4 或 a> 一 3.2又< a<0,a< 4 或3wa<0,2即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(8, - 4 U

32、 -3, 0 .考點(diǎn)三全稱量詞與存在量詞角度1全(特)稱命題的否定【例31(1)命題“？nCN*, f(n) C N*且f(n) w n”的否定形式是()A.?nCN*, f(n) N*且 f(n) >nB.?nCN*, f(n)N*或 f(n) >nC.?n0CN*, f(n0) N*且 f(n0)>n0D.?n0CN*, f(n0) N*或 f(no)>no(2)(2019 德州調(diào)研)命題“？XoCR, 1<f(x 0) W2”的否定形式是()A.?xCR, 1<f(x) <2B.?x°e R, 1<f(x 0尸 2C?XoC R,

33、 f(x o)<1 或 f(x o)>2D.?x R, f(x) <1 或 f(x)>2【答案】(1)D(2)D【解析】(1)全稱命題的否定為特稱命題，命題的否定是：？n0eN*, f(n 0)N*或 f(n0)>n。.(2)特稱命題的否定是全稱命題，原命題的否定形式為“ ？xC R, f(x) <1或f(x)>2 ” .角度2含有量詞(？、？)的參數(shù)取值問題【例 32】(經(jīng)典母題)已知 f(x) =ln(x 2+ 1) , g(x) = 2 m 若對？XiC 0 , 3 , ?XzC 1 , 2,使得 f(x 1) >g(x 2),則實(shí)數(shù)m的取

34、值范圍是 1【答案】4, +°°1【解析 】當(dāng) xC 0 , 3時，f(x)min =f(0) = 0,當(dāng) xC 1 , 2時，g(x)min = g(2) =43 對？xiC0,113 , ?x2(E 1 , 2使得 f(x i) >g(x 2)等價于 f(x)min >g(x)min ,得 O4m 所以4.【遷移探究】若將“ ？xzC 1 , 2”改為“ ？xzC 1 , 2”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是1 【答案】2, +°°1【解析】當(dāng) xC 1 , 2時，g(x)max =g(1) =2成對？x 0 , 3 , ?xzC 1

35、 , 2使得 f(x 1) >g(x 2)等價11于 f(x)min >g(x)max,得 0>2m, 1.2.【規(guī)律方法】1.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論.2.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決【訓(xùn)練3】(2 019 衡水調(diào)研)已知命題p： ?xCR log 2(x2+x+a)>0恒成立，命題 q： ?x°C2, 2,2a<2xc,若命題p和q者B成立，則實(shí)數(shù) a

36、的取值范圍為 . 5 【答案】4, 2【解析】 當(dāng)命題p成立時，x2+x+a>1恒成立，即x2 + x+a1>0恒成立， 5:. = 1 4(a 1)<0,解得 a>4.當(dāng)命題 q 成立時，2aW(2x c)max, xoC2, 2 , 1. a< 2.故4<aw2,a的取值范圍是 4，2 .【反思與感悟】1 .充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法(1)定義法(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)A=x|p(x) , B=x|q(x);若A?B,則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A? B,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若A= B,則p

37、是q的充要條件.2 .要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，再對照否定結(jié)構(gòu)去寫，否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.【易錯防范】1 .判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言.2 .注意命題所含的量詞，對于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定【核心素養(yǎng)提升】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算一一突破雙變量“存在性或任意性”問題邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點(diǎn)、推理的形式、結(jié)論的表達(dá).解決雙變量“存在性或任意性”問題關(guān)鍵就是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等彳轉(zhuǎn)化”為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系)，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的

38、邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)類型1形如“對任意XiCA,者B存在X2CB,使得g(X2)= f(x 1)成立"191【例 1】 已知函數(shù) f(x) = x3+(1 a)x 2a(a+2)x , g(x) =qx3,若對任意 Xi - 1, 1,總存在 x?C0 , 2,使得f'僅1) + 22乂1 = 9僅2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】見解析1 【解析】由題意知，g(x)在0 , 2上的值域?yàn)?一3, 6 .1令 h(x) =f ' (x) + 2ax=3x2 + 2x a(a + 2),則 h' (x) = 6x+2,由 h' (x) =

39、 0 得 x= 3.1111當(dāng) xC 1, 3 時，h' (x)<0 ;當(dāng) xC 3, 1 時，h' (x)>0 ,所以h(x)min = h 3 = a2 2a 3.又h (1) <6,111由題意可知，h(x)的值域是 3, 6的子集，所以 a22a3 3,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,h (1) <6,0.【評析】理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，此類問題求解的策略是“等價轉(zhuǎn)化”，即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a的不等式組，求得參數(shù)的取值范圍.類型2 形如“存在x1 CA及x2C B,使得f(x1)

40、= g(x2)成立"2x31x+1，xe 2, 1 ,7tx【例 2】 已知函數(shù) f(x) =11i 函數(shù) g(x) = ksin q - 2k+ 2(k>0),若存在 xi 0 , 13x + 6, xC 0，2，及x2C 0 , 1,使得f(x 1)=g(x2)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】見解析3k【解析】由題意，易得函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,1, g(x)的值域?yàn)?2k, 2-T ,并且兩個值域有公共部分.先求沒有公共部分的情況，即22k>1或2 |k<0,解得k<2或k>4,所以，要使兩個值域有公共部分，k1 4 的取值范圍是 2，3 .【評

41、析】本類問題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”，上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想.另外，若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”，則“等價轉(zhuǎn)化”策略是利用“ f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍類型3 形如“對任意x1CA,者B存在x2CB,使得f(x1)<g(x2) 成立"41【例 3】已知函數(shù) f(x) =x + x, g(x) =2x + a,若？x1 C 2, 1 , ?xzC 2 , 3,使得 f(x 1)<g(x 2),則實(shí)數(shù) a的取值范圍是.1【答案】 2，十0°【解析】依題意知f(x)max wg(x)m

42、ax.41117. f(x) =x + x在 2，1 上是減函數(shù)，f(x)max = f 2 = 2 .又 g(x) =2x+a 在2, 3上是增函數(shù)，g(x)max=8 + a, 171因此 2 w 8+ a,則 a> 2.【評析】理解量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)max wg(x)max ,利用函數(shù)的單調(diào)性，求 f(x)與g(x) 的最大值，得關(guān)于 a的不等式求得a的取值范圍.思考1:在例3中，若把“ 2X26 2 , 3”變?yōu)椤?？xzC 2 , 3”時，其它條件不變，則a的取值范圍是問題“等價轉(zhuǎn)化”為f(x)max wg(x)min ,請讀者完成11思考2:在例3中，若將例

43、3中“？x1C 2, 1 ”改為“ ？x1C 2, 1 "，其它條件不變，則 a的取值范圍是.問題“等價轉(zhuǎn)化”為 f（x）min wg（x）max,請讀者自行求解 .【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】（建議用時：30分鐘）一、選擇題1 .命題“ ？xCZ,使x2+2x+m< 0”的否定是（）A. ?xCZ,使 x2+2x+m>0B.不存在 xCZ,使 x2+2x+m>0C.?xCZ,使 x2+2x + m<0D.?xC Z,使 x2+2x+m>0【答案】D【解析】特稱命題的否定為全稱命題 .故選D.2 .命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是（）A.所有實(shí)數(shù)的

44、平方都不是正數(shù)B.有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)D.至少有一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)【答案】D【解析】 因?yàn)椤叭Q命題”的否定一定是“特稱命題”，所以命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是：“至少有一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)”.3 .設(shè) xC R,則“2 x>0" 是"|x 1| W1” 的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由2-x>0,得x<2,由|x 1| W1,得0WxW2.當(dāng)x<2時不一定有 0WxW2,而當(dāng) 0WxW2時一定有x<2,. “2 x>0”是“|

45、x 1| W1”的必要不充分條件2一口"曰的4.（2019 -焦作模擬）命題p： cos 0 = 2 ,命題q： tan 0 = 1,貝U p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】必三【解析】由 cos 0 = 2，得。=± 4 +2k 兀，kCZ,則 tan 。=±1,故p?/q, p是q的不充分條件；兀由 tan 0=1,# 0 = 7 + k 兀，k C Z,則 cos 0 = ± 2 ,故q?/p, p是q的不必要條件；所以p是q的既不充分也不必要條件.5.（2017 浙江卷）已知等差數(shù)列an

46、的公差為d,前n項(xiàng)和為S.,則“d>0”是“S 4+&>23”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】 C【解析】 由 S4+ S6-2S5= S6- S5- （S5 S4） = a6a5= d,所以 S4+ S6>2S5等價 d>0,所以 “d>0” 是“S4+ S6> 2s5'的充要條件.6.已知命題 p： “？xC0, 1, a>ex",命題 q： “？x0CR, X02+4x0+a = 0” .若命題 p 和 q 都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（4 , +8）B.

47、1 , 4C.e , 4D.（巴1）【答案】 C【解析】對于p成立，a>（ex）max, .a>e.對于q成立，知x2+4x+a = 0有解，則 A = 16 4a>0,解得 a<4.綜上可知e<a<4.7.（2017 北京卷）設(shè)m, n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)入，使得m=入n”是“m-n<0”白（ （）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】 A【解析】存在負(fù)數(shù) 入，使得 n n,則mn=入n n=入|n|2<0 ;反之 m- n= |m|n|cos m n><0? cos兀兀<

48、 m n> <0?m nC 2，兀，當(dāng)mX nC 2，兀時，mX n不共線.故“存在負(fù)數(shù) 入，使得入n”是"mn<0"的充分不必要條件.8 .命題“ ？xC1 , 2） , x2aW0”成立的一個充分不必要條件可以是（）A.a>1B.a>1C.a>4D.a>4【答案】D【解析】命題成立的充要條件是 ？xC 1 , 2), a>x2恒成立，即a>4.，命題成立的一個充分不必要條件可以是a>4.二、填空題9 .直線x yk=0與圓(x 1)2+y2=2有兩個不同交點(diǎn)的充要條件是 .【答案】1<k<3|1 0

49、 k|【解析】直線xyk= 0與圓(x 1)2 + y2= 2有兩個不同交點(diǎn)等價于/42,解之得一1<k<3.10 .已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的充要條件，那么 p是q的 條件.【答案】充分不必要【解析】由已知得p? r, r? s, s? q, p? r ? s? q.但由于r推不出p,所以q推不出p,故p是q的充分不必要條件.11 .已知“p： (x m)2>3(x m)”是"q： x2+3x4<0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】(一8, - 7 U 1 , +OO)【解析】p： x>m+ 3或x<m, q： 4&l