浙南名校聯(lián)盟(溫州九校)2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

1、浙南名校聯(lián)盟（溫州九校）2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1 .本卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘；2 .答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。3 .所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4 .考試結(jié)束后，只需上交答題紙。一、選擇題。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 .設(shè)集合A XW R|0/, B .漢£囚聞（1討，則-I （）A."二| B.也閨 C.D.【答案】A【解析】【分析】先由不等式乂卜I得出集合B,再由交集的運算即可求出結(jié)果.【詳解】由 川 I得I,即 依ER . 1 :

2、"一 1,所以故選A【點睛】本題主要考查交集的運算，熟記定義即可，屬于基礎(chǔ)題型 2 .雙曲線 3為2 .二的焦點坐標(biāo)為（）A.??；閔 B. . C.D.。，冏【答案】B【解析】【分析】由雙曲的標(biāo)準(zhǔn)方程求出ab',進(jìn)而可求出?,然后即可求出焦點坐標(biāo).【詳解】由Y . 2可得/、'I，焦點在x軸上，所以.47，因此匕'5所以焦點坐標(biāo)為k 土點。）；故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程，由標(biāo)準(zhǔn)方程可求出卜二，并確定焦點位置，從而可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型./ x + y- J < 0.3 .設(shè)實數(shù)* j-滿足,三0.，則x .yj的最小值為（） 2

3、x-y i I> 0A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，再令化目標(biāo)函數(shù) LX7為VFT，由直線在y軸的截距的范圍確定目標(biāo)函數(shù)的最值即可 .【詳解】由約束條件作出可行與如圖，令 ；不，則&乂.2,因此求乂一，的最小值，即是求 直線y丁在y軸截距的最大值，由圖中虛線可知，當(dāng)虛線過點（0,1）時，直線b乂.1截距最大，即4 m 0-1* 1.故選C【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，只需由約束條件作出可行域，再化目標(biāo)函數(shù)為直線的斜截式方程即可求解，屬于基礎(chǔ)題型4 .若復(fù)數(shù)占一二卜i, u cosu十 R）,其中l(wèi)是虛數(shù)單位，則 , z-,1的最大值

4、為（）【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得 M -表示復(fù)數(shù)，卜；，“四！十由對應(yīng)的兩點間的距離，由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù) 句2 t :對應(yīng)的點為復(fù)數(shù) “彈卜特山口對應(yīng)的點上七二42 ' cusa)' 4 ( . suid)- Jl * 工丁卜 4 - i I - 2祖即值 + 0 # + 2V5 4 ,其中 snip "二'I%-聞轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)點故選C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將 的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型5 .函數(shù)瓜q吧"的圖象可能是（）X【解析】由正弦函數(shù)確定函數(shù)D.吧值域的

5、大致范圍，以及特殊值驗證即可判斷x【詳解】因為Of，江時，sinx ' （i,所以SJ11X> 0sinx二0,所以鱉0；故排XJt 3U1.除A、C選項；又,所以排除D,故選B【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖像，特殊值法在處理函數(shù)圖像中非常實用，屬于基礎(chǔ)題型6 .已知修，bwR,貝卜ab是卜"的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】【分析】由充分條件與必要條件的定義即可判斷出結(jié)果.【詳解】令1=k - 若窗b,則3)- fW ,即a - J-b- J，即J -/一b，故二b”是 “J.曰_ b”的充分條件；又也令o,則k o,

6、所以函數(shù) 際個-在“0上單調(diào)遞增，在9 + w上單調(diào) 遞減，所以s)- Rb時，不一定能推出H b;綜上，飛 S'是飛".2-a."的充分不必要條件.故選A【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出結(jié)果，屬于?？碱}型.7 .甲、乙二人均從5種不同的食品中任選一種或兩種吃，則他們一共吃到了3種不同食品的情況有()A. 84 種 B. 100 種 C. 120 種 D. 150 種【答案】C【解析】【分析】由分步乘法計數(shù)原理先由 5種食物中選擇3種，共C；種情況；第二步，將3種食物編號，用列舉法列舉所有情況即可；【詳解】由分步乘法計數(shù)原理：第

7、一步：由 5種食物中選擇3種，共C；種情況；第二步：將3種食物編號為A,B,C,則甲乙選擇的食物的情況有：(AB.C), (AB, AC),(AB. BC), (AC, B), |(AC. BQ, (UC, A), (A, BC), (BC. AC)|, (B, AC), (13Ct AB),(AC. AB),AB)共 12 種情況，因此他們一共吃到了 3種不同食品的情況有12C； = 12。種.故選C【點睛】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理，按定義逐步計算，最后求乘積即可，屬于?？碱}型.8 .已知隨機(jī)變量 伙的分布列如下表：X-101Pabc其中工b# j。.若X的方差DXW：對所有&E

8、Q1-6都成立，則()A. bw， B. bw, C. b之J D. b>|【答案】D【解析】【分析】先由分布列求出方差，再結(jié)合題意列不等式求解即可【詳解】由、的分布列可得：伙的期望為EX-a+b c - I ,所以X的方差DX =(-1 + a- e)% + (a - c)2b + (1 + a - c)2c = (a - c)3(a + b 4- c) -2(a - c)i + a - c = - (a - c)" + a -J - b - - - -j- + - b因為1,1-b ,什 口 ， 所以當(dāng)且僅當(dāng)時，DX取最大值1.b, 211 i2又DXn對所有a w (01

9、-用都成立，所以只需1-bwj解得b弓，故選D【點睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的方差，根據(jù)不等式的最值，即可求參數(shù)的范圍，屬于中檔題型.9 .如圖，在三棱柱|ABC .'BQ中，點p在平面片B£內(nèi)運動，使得二面角p-ABY|的平面角與二面角P-BC-八的平面角互余，則點1：的軌跡是()c-g題圖).A. 一段圓弧 B.橢圓的一部分 C. 拋物線 D. 雙曲線的一支【答案】D【解析】【分析】將三棱柱特殊化，看作底面以 B為直角的直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，然后設(shè)出點口的坐標(biāo),作出點Q在下底面的投影，由對稱性知：點P與點Q的軌跡一致，研究點 Q的軌跡即可.【詳解】不妨令三棱柱為

10、直三棱柱，且底面是以 B為直角的直角三角形，令側(cè)棱長為m,以B的為坐標(biāo)原點，BA方向為x軸，BC方向為y軸，BE；方向為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)世所以QMy，過點u作以QD，AB于點D,作QEBC于點1一,則上PDQ即是二面角P- AB C的平面角，EPEQ即是二面角P- BC - A的平面角, .PQ所以.EQ又二面角p. ABC的平面角與二面角 也阮-3的平面角互余，所以unEPDQri必PEQ，即PQ PQ 1,所以 QD-QE - IQ，oT,因 ,所以 QE 定QD ),DQ EQ所以有*-1小，所以¥即點Q的軌跡是雙曲線的一支，所以點 p的軌跡是雙曲線的一支.故選D【

11、點睛】本題主要考查立體幾何的綜合應(yīng)用，特殊值法是選擇題中非常實用的一種作法，用 特殊值法求出點的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，即可判斷出結(jié)果，屬于中檔試題 10 .設(shè)，瑞是方程的兩個不等實根，記 " = 口"十pin EN*).下列兩個命題:數(shù)列依的任意一項都是正整數(shù)；數(shù)列國J第5項為10.()A.正確，錯誤 B.錯誤，正確C.都正確 D. 都錯誤【答案】A【解析】【分析】先由方程求出oj)之間的關(guān)系，進(jìn)而可得 加的特征，由數(shù)列遞推式即可判斷出結(jié)果 .【詳解】因為網(wǎng)口是方程/. x. 口的兩個不等實根，所以a”|1,刈-1,因為、N，所以= an + 1 + Pn+1 = (d +&#

12、39;% + (? + 優(yōu)用邛-泮=(£+ p%+ p)-耶儂"1 1) = (£十 a.】,即當(dāng)a時，數(shù)列依小中的任一項都等于其前兩項之和，又、-a I P 1,1=/十=儂十鏟=2耶=3,所以石-1電4, % 7,密虱卜力 11,以此類推，即可知：數(shù)列 的任意一項都是正整數(shù)，故正確；錯誤；因此選A【點睛】本題主要考查命題真假的判斷，根據(jù)方程與數(shù)列的結(jié)合，由方程的根確定數(shù)列的遞推式及數(shù)列的前幾項，進(jìn)而判斷出結(jié)果，屬于中檔試題 二、填空題。11 .九章算術(shù)中記載了 “今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？” .其意思是“若干個人合買一頭

13、豬，若每人出 100,則會剩下100;若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價，則X-，卜.【答案】(1).10 (2). 900【解析】【分析】由題意列出方程組，求解即可 .【詳解】由題意可得黑七二丁，解得x-W, v-900.故答案為10 900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎(chǔ)題型12 .某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為，表面積為 一.正視圖俯視圖.(2).卜由:士【解析】【分析】2,棱錐的高為1,再由棱錐由三視圖先得到該三棱錐的底面是等腰直角三角形，且斜邊長為 的表面積公式和體積公式即可求解2,棱錐白高為1

14、,所【詳解】由三視圖可知該三棱錐的底面是等腰直角三角形，且斜邊長為 以底面直角邊的邊長為布, 所以該三棱錐的體積為 V -表面積為.故答案為：體積;表面積22 * 1【點睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求幾何體的體積與表面積，先由三視圖確定幾何體 的形狀，再由表面積和體積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型inC, c- I ,則b-_, AABC面積13 .在、ABC中，內(nèi)角|aRC所對的邊分別是 ®be若'muA的最大值為【答案】(1).1(2).由正弦定理，結(jié)合C, c- I,可求出b；由三角形面積公式以及角 A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因為kmA , asinC ,

15、所以由正弦定理可得ba -冠，所以5 l 1 ;所以22,當(dāng)MnA ,即A-9T時，三角形面積最大.故答案為(1). 1 (2).【點睛】本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.14 .實數(shù)式i - 口1_234.5)滿足：對任意xWR,都有(1/8修"七工。a"卜電尺氣 卬"十町一則12 3 4 5 6【答案】 (1).1 (2). 7【解析】【分析】由二項展開式可直接求出各項的系數(shù)，即可求出 久。0一之士進(jìn)而可求出結(jié)果【詳解】由二項展開式可得(I t= C十- 十 十 十 = I - 5x 十 Uh"十 1

16、忌十 十一，所以 . - I* 力 5.叼】0. % - 1Q % - 5. % - 1 ,故答案為(1). 1 (2).【點睛】本題主要考查二項式定理，由二項展開式可求出每一項的系數(shù)，進(jìn)而可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.15 .已知拋物線/一 2px(p > 3的焦點為R若拋物線上存在點|A ,使得線段一中的中點的橫坐標(biāo)為1,則 AF| .【答案】2【解析】【分析】先由AI的中點的橫坐標(biāo)為1,結(jié)合百點坐標(biāo)，求出點A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果 .【詳解】由題意設(shè)因為罔的中點的橫坐標(biāo)為1,所以;4K，即2一2因為拋物線上任一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以AF| -'十 工 爭卜.故答

17、案為2【點睛】本題主要考查拋物線的定義和簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型16.若向量滿足；1 E，c ¥。且(e a (c - b) -0則也也巴士!S I的最小值是【解析】【分析】K OC = c，由mG-， = 0確定點C的軌跡,再設(shè)|a + b|最小值.設(shè)!小一，血設(shè)OB=ba 4- b| + |a - b 2x + 2y表示點。到以AB為直徑的圓上任一點E，OC=由G =； d)-U可知C八LCB,所以點C在以AB為直徑的圓上;的距離，所以最大值即是點 O到圓心E的距離加半徑，即向土1+y所以|a -l- b| + a - b|c|XH,即最小值為2.故答案為2.【點睛】本題主要考查平

18、面向量的基本定理，以及圓外一點到圓上任意一點距離的最大值的求法，常需要結(jié)合圖像求解，屬于中檔試題17.已知函數(shù) f(x 1 ax" * hx 4 (3在開區(qū)間(.LOi上單調(diào)遞減，則/的取值范圍是【解析】【分析】由函數(shù)在區(qū)間一 1,6上單調(diào)遞減，得到其導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，即f(.|)二(且(0)三。代入得到一個不等式組，可以把柴由題息,(xj -4 2ax * b三0在(, LU)恒成立".只需要的二戶即即可，整理得戶一作出其對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示；I hO)5 0I b <0所以把/一 b二視為平面區(qū)域內(nèi)的點與原點距離的平方，,- + + 功.的取值范圍是由點到

19、直線的距離公式可得 J- |詈所以/ +爐的最小值為手則八/故答案為【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，需要依題意寫出約束條件，作出可行域，再由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解，屬于中檔試題三、解答題。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。一 .iI18. (I)證明：smticosp -mitCh + 份 + sin(3一口)&.0 E R);(II )求函數(shù)(n) NUlXtnMN +-)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間【答案】(1)見證明；(2) 4 kx, + k兀很£1212【解析】【分析】(I)由兩角和與差的正弦公式求和即可得出結(jié)論成立；(II )先將函數(shù)Rxi整

20、理成正弦型復(fù)合函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期和遞增區(qū)間即可求出結(jié)果.【詳解】(I)證明：對任意(jl.P e R, sirxa 1 P)-sinucosp + cosump,兩式相加，得- smi a - 0) Kinucosp，即 smoCMp -卡 m(a + 份-3m(tx -p)p 2(II )由(I),真 1n7E 1x 小 1氧科也x) = $inxcos(x + -) =+ (x+ -)- suxx- (x + -» = -sin(2x 上 9不一不出(2乂 + -) - -Hr-1nn .1_ J.-故收的最小正周期T林r人兀TT JI/口 Bit力令-+<2

21、k + -<- + 2k m KE 工)，仔-+ kjcWxW + k(kEZ),23 21212故(k)的單調(diào)遞增區(qū)間是-i- kn, + kx (k Z).】？12【點睛】本題第一問主要考查三角恒等變換，需要考生熟記兩角和與差的正弦公式；第二問主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需要考生靈活掌握三角函數(shù)的周期與單調(diào)性，屬于?？碱} 型.19.在三棱臺ABOABi中，&XBC是等邊三角形，二面角 A BC-B1的平面角為 的“，幽y(I)求證：ArAlBC；(II )求直線|AB與平面BCC國二所成角的正弦值【答案】(1)見證明；(2) 三【解析】【分析】(I )先由線面垂直的判定定理

22、證明 院J平面SAO,進(jìn)而可得A J- BC ；(II )可以在幾何體中作出直線 AB與平面RCgB所成的角，解三角形即可；也可用向量的方法建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出直線的方向向量以及平面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值確定 線面角的正弦值【詳解】 證明：設(shè)AA.,鳴與CC交于點S，取棱的中點0，連結(jié)AQSO.B因|B£ line,故又c是棱BC的中點,故同理又SOAO匚平面SA0,且S0八A0-0,因此BC1平面SAC,又、八匚平面3A。，所以A/1BC；(II )方法一：作.XH 1SC,垂足為屈因BC J平面SA0,故工平面BCCEi,從而ZABH為直線Afi|與平面BCCJ'

23、;所成白角.不妨設(shè) AB 2,則A0 <5, .MI-AOsmOM * 1o 一一 .Ml 3所以 aiMABII -.AB 4方法二：如圖，以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系 。.沖點Cl由(I ),上AOS為二面角菖-BC-Bi的平面角，則ZAOS -60” ,，SO 血*仍，則點八(A&0,鞏03,C(0.- L0) , S(-,0,a).設(shè)門(XJN)為平面BCC1B1,即平面SBC的一個法向量,2¥二。,(1)-不口 ER ) (II )見證明n： CB =0, ri - OS 0. I,即-1).設(shè)!是直線八0與平面BCgB1所成的角,|AB -n| 3I后而4【

24、點睛】本題第一問主要考查由線面垂直推面面垂直，需要用到線面垂直的判定定理；第二 問求線面角的正弦值，通常有兩種做法：立體幾何法(即在幾何體中直接作出直線與平面所 成的角，求解即可)和空間向量的方法(即建立適當(dāng)坐標(biāo)系求出直線的方向向量和平面的法向量，由向量的夾角確定線面角即可)；屬于常考題型.20.已知等比數(shù)列(唱的公比qE(OJ),前0項和為0山若內(nèi)，且三+正是久與氣的等差中項.(II )設(shè)數(shù)列 出滿足b 0,Tu<-(nEN【解析】【分析】(I)因為數(shù)列%：是等比數(shù)列，所以結(jié)合題意列出方程組，求出首項和公比即可得出結(jié)果;(II )先由累加法求出數(shù)列4J的通項，再由分組求和的方法求出數(shù)列

25、 可證明結(jié)論成立.【詳解】 由邑I % 一 ：1 ,得電I飛十詞 T.再由口，47,是,立的等差中項，得4為 - 2(七斗mrrl J1L即a1+%-三.-8由，得曳十的十工I, 網(wǎng)可I a3 - 2ad，即6辦一】7勾寸7% 0,亦即姬. 17q + 7 = d' 7I解得q :或一,又qE(0Ji,故q-.2|日2代入，得啊1 J,1 卜 q I 2q* 2所以' T q" " g q" - 1 - q1 ,W X-r1*即i;1 1n * t 為u-<T)尸 21(II )證明：對任意 hwN , S=-=1 -L=l 時,11 I -

26、 qI V1 1h + j-bjYH 1。-號) h + L-hj-r . 1 a” 一1一即又-i,若規(guī)定%則= 1l 1Za "于是，=%l%,%，1S WN*),從而1 1I尹了一 丁時=+力+，+%)7夠+即工4+%.“)=(1二)-(-) = - -ja13 中& 1 - - & 4】Hl I3,盧“3 331 *即TySEN ).【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，以及分組求和法求數(shù)列的前II的前n項和即n項和的問題，熟記公式即可求解，屬于?？碱}型.r苧21.已知直線I y 94 m與橢圓-_L=1(UJAb兩點.(第21題圖)(I)求k與：口的關(guān)系式

27、；(II )點Q與點工：關(guān)于坐標(biāo)原點。對稱.若當(dāng)k心率.【答案l (1)+ + di ) 廣匕4【解析】【分析】(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式等于(n)因點a與點k：關(guān)于坐標(biāo)原點0對稱，可得匕時，bOAB的面積取到最大值 ，可得OAK9 j.線的距離公式，以及(I)的結(jié)果，即可求解產(chǎn)二展+嘰【詳解】由區(qū).二，得品桿則A .%nJ 如什+ bV(m： - 2=口化簡整理，得1nLiA，。；(n)因點h與點F關(guān)于坐標(biāo)原點b對稱，故所以當(dāng)k 時，bOAB的面積取到最大值 ?從而原點口到直線1的距離 4 京又必故八b -0)恰有一個公共點P，與圓/ 一相交十，口時，AQAB的面積取到最大值K，求橢圓的離0,即可求出結(jié)果；XQAB的面積是占0巴3的面積的兩倍，再由當(dāng)k 二圮,進(jìn)而可得原點0到直線的距離，再由點到直 .+ 2獷匕口工：a7