2011湖南省高考數(shù)學(xué)試題（理科數(shù)學(xué)）

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿(mǎn)分150分。參考公式：（1），其中為兩個(gè)事件，且， （2）柱體體積公式，其中為底面面積，為高。 （3）球的體積公式，其中為求的半徑。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若，為虛數(shù)單位，且則A， B. C. D. 2.設(shè)集合則 “”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件3.設(shè)圖1是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A. B. C. D. 4.

2、通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：由算得，.參照附表，得到的正確結(jié)論是A 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”5.設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則的值為A.4 B.3 C.2 D.16.由直線(xiàn)與曲線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積為A. B.1 C. D. 7.設(shè)m1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)Z=x+my的最大值小于2，則m 的取值范圍為A.（1，） B.（，） C.（

3、1,3 ） D.（3，）8.設(shè)直線(xiàn)x=t 與函數(shù) 的圖像分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)t的值為A.1 B. C. D. 填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)號(hào)后的橫線(xiàn)上。（一）選做題（請(qǐng)考生在9、10、11三題中任選一題作答，如果全做，則按前兩題記分）9.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線(xiàn)C2的方程為，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 10.設(shè),則的最小值為 。11.如圖2，A,E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC=4，ADBC,垂足為D,B

4、E與AD相交與點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為 。（二）必做題（1216題）12.設(shè)是等差數(shù)列，的前項(xiàng)和，且，則= .13.若執(zhí)行如圖3所示的框圖，輸入，,則輸出的數(shù)等于 。14.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中, 設(shè)則 =_.15.如圖4，EFGH 是以O(shè) 為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形。將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰C影部分）內(nèi)”，則（1）P(A)= _； (2)P(B|A)= . 16.對(duì)于 ,將n 表示 ,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí), 為0或1.記為上述表示中為0的個(gè)數(shù)（例如：）,故, ),則（1）_;(2) _;三、解答題：本大題共6小題

5、，東75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。17.（本小題滿(mǎn)分12分）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為,b,c，且滿(mǎn)足csinA=cosC.(）求角C的大??；（）求sinA-cos (B+)的最大值，并求取得最大值時(shí)角A、B的大小。18. （本小題滿(mǎn)分12分）某商店試銷(xiāo)某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷(xiāo)售量（件）0123頻數(shù)1595試銷(xiāo)結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。(）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布

6、列和數(shù)學(xué)期望。 19.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖5，在圓錐中，已知=，的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).()證明：平面 平面;()求二面角的余弦值。20.（本小題滿(mǎn)分13分）如圖6，長(zhǎng)方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v（v0），雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為。E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=時(shí)。（）寫(xiě)出y的表達(dá)式（）設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少。21. (本小題滿(mǎn)分13分） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線(xiàn) 截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。（）求，的方程；（）設(shè)與y軸的焦點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與相交于點(diǎn)A,B,直線(xiàn)MA,MB分別與相交與D,E.(i)證明：MDME;(ii)記MAB,MDE的面積分別是,.問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l,使得=?請(qǐng)說(shuō)明