非線性回歸分析(教案

1、1.3非線性回歸問題,知識目標(biāo)：通過典型案例的探究，進(jìn)一步學(xué)習(xí)非線性回歸模型的回歸分析。能力目標(biāo)：會將非線性回歸模型通過降次和換元的方法轉(zhuǎn)化成線性化回歸模型。情感目標(biāo)：體會數(shù)學(xué)知識變化無窮的魅力。教學(xué)要求：通過典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)：通過探究使學(xué)生體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法.教學(xué)難點(diǎn)：了解常用函數(shù)的圖象特點(diǎn)，選擇不同的模型建模，并通過比較相關(guān)指數(shù)對不同的模型進(jìn)行比較.教學(xué)方式：合作探究教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：對于非線性回歸問題,并且沒有給出經(jīng)驗公式,這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散

2、點(diǎn)圖,把它與必修模塊數(shù)學(xué)1中學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的圖象作比較,挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù),然后采用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,使其得到解決.二、講授新課：1. 探究非線性回歸方程的確定：1. 給出例1：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立與之間的回歸方程.溫度21232527293235產(chǎn)卵數(shù)個711212466115325（學(xué)生描述步驟，教師演示）2. 討論：觀察右圖中的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，即兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系. 如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)

3、分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選線性回歸模型來建模；如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，就需選擇非線性回歸模型來建模. 根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=的周圍（其中是待定的參數(shù)），故可用指數(shù)函數(shù)模型來擬合這兩個變量. 在上式兩邊取對數(shù)，得，再令，則，而與間的關(guān)系如下：X21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784觀察與的散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)變換后樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合. 利用計算器算得，與間的線性回歸方程為，因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為. 利用回歸方程探究非線

4、性回歸問題，可按“作散點(diǎn)圖建模確定方程”這三個步驟進(jìn)行. 其關(guān)鍵在于如何通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題.三、合作探究例2.：煉鋼廠出鋼時所用的盛鋼水的鋼包,在使用過程中,由于鋼液及爐渣對包襯耐火材料的侵蝕,使其容積不斷增大,請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出使用次數(shù)x與增大的容積y之間的關(guān)系. 【解】先根據(jù)試驗數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖,如圖所示：使用次數(shù)x23456789增大的容積y6.428.209.589.509.7010.009.939.99zabt，t、z的數(shù)值對應(yīng)表為：zabt，t、z的數(shù)值對應(yīng)表為：【題后點(diǎn)評】作出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型是解決本題的關(guān)鍵，在這里線性回歸模型起

5、了轉(zhuǎn)化的作用.例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立與之間的回歸方程.溫度21232527293235產(chǎn)卵數(shù)個711212466115325 2、討論：觀察右圖中的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，即兩個變量呈非線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系. 如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選線性回歸模型來建模；如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，就需選擇非線性回歸模型來建模. 根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=的周圍（其中是待定的參數(shù)），故可用指數(shù)函數(shù)模型來擬合這兩個變量.X2

6、1232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784 在上式兩邊取對數(shù)，得，再令，則，而與間的關(guān)系如下： 觀察與的散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)變換后樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合. 利用計算器算得，與間的線性回歸方程為，因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為. 利用回歸方程探究非線性回歸問題，可按“作散點(diǎn)圖建模確定方程”這三個步驟進(jìn)行. 其關(guān)鍵在于如何通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題. 2. 小結(jié)：用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟. 3、常見的非線性回歸模型 冪函數(shù)曲線 y=axb 處理方法：兩邊取自然對

7、數(shù)得：lny=lna+blnx; 再設(shè) 則原方程變成 y=lna+bx,再根據(jù)一次線性回歸模型的方法得出lna和b 指數(shù)曲線 y=aebx 處理方法: 兩邊取自然對數(shù)得：lny=lna+bx; 再設(shè) 則原方程變成 y=lna+bx,再根據(jù)一次線性回歸模型的方法得出lna和b 倒指數(shù)曲線 處理方法：兩邊取自然對數(shù)得：lny=lna+; 再設(shè) 則原方程變成 y=lna+bx,再根據(jù)一次線性回歸模型的方法得出lna和b 對數(shù)曲線 y=a+blnx 處理方法：設(shè) 則原方程變成 y=a+bx,再根據(jù)一次線性回歸模型的方法得出a和b三、鞏固練習(xí)：天數(shù)x/天 1 2 34 56繁殖個數(shù)y/個 6 12 25 49 95190 為了研究某種