學(xué)年論文-1new

1、數(shù)值計(jì)算方法二分法的實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)091班 xxx 指導(dǎo)教師：xxx（xxxx大學(xué)xx院 陜西 xx 710021）摘 要：本文根據(jù)二分法不斷取中點(diǎn),區(qū)間不斷縮小且區(qū)間的中點(diǎn)逐漸逼近方程根(或函數(shù)零點(diǎn))的精確值的無(wú)限逼近的極限思想，與區(qū)間迭代的數(shù)值算法,從方程的近似解、求函數(shù)零點(diǎn)的近似值以及解決實(shí)際問(wèn)題三個(gè)方面滲透了算法思想，具體描述了二分法的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：二分法，區(qū)間，精度Practical Application of the Numerical MethodBisection MethodAbstract: In this paper, according to the dichotomy

2、 constantly take the midpoint, shrinking the interval of interval and the midpoint gradually approximation equation root (or function zero) precise value of the limits of the infinite approximation thought, and interval iteration numerical algorithm is proposed, from the approximate solution of the

3、equation for function approximation of zero and solve practical problems through three aspects, detailed description of the arithmetic idea dichotomy.Key words : Dichotomy, range, precision原文摘 要：原文數(shù)值計(jì)算方法二分法的實(shí)際應(yīng)用 根據(jù)大二第二學(xué)期在數(shù)值計(jì)算方法課程中對(duì)于二分法求解非線性方程的算法之后，了解到二分法具有：算法簡(jiǎn)單，輕易理解，且總是收斂的的優(yōu)點(diǎn)，所以現(xiàn)在依據(jù)所學(xué)知識(shí)用二分法解決求方程的近似解

4、、求函數(shù)零點(diǎn)的近似值以及實(shí)際問(wèn)題。1 二分法解題的模型1）計(jì)算的有根區(qū)間端點(diǎn)處的值 ；2）計(jì)算的區(qū)間中點(diǎn)的值；3）若為有根區(qū)間，否則為有根區(qū)間；4）對(duì)重復(fù)上述步驟，即： ，且根據(jù)誤差估計(jì)二分到一定次數(shù)達(dá)到精度，從而求得近似值。2 二分法的應(yīng)用在二分法中,由于不斷取中點(diǎn),區(qū)間不斷縮小,區(qū)間的中點(diǎn)逐漸逼近方程根(或函數(shù)零點(diǎn))的精確值,所以二分法體現(xiàn)了無(wú)限逼近的極限思想,主要有以下三方面的應(yīng)用。1) 二分法求方程的近似解例1 用二分法求方程在區(qū)間的實(shí)數(shù)解。(精確度0.01) 解 設(shè),由,由零點(diǎn)存在性定理知,區(qū)間可作初始區(qū)間,用二分法逐次計(jì)算列表如下:由于精確度,二分次數(shù)是6次時(shí),|2.53125-2

5、.515625|=0.015625>0.01,不合題意;當(dāng)二分次數(shù)是7次時(shí),|2.5234375-2.515625|=0.0078125<0.01,所以原方程的近似解可取為2.5234375。因此，精確度與方程的精確解和近似解的差的絕對(duì)值有關(guān),若這個(gè)絕對(duì)值小于某個(gè)數(shù)值,那么這個(gè)數(shù)值就是精確度.即若設(shè)方程的精確解為,近似解為,由于和都位于區(qū)間上,則。相關(guān)精確定義：若區(qū)間的長(zhǎng)度,則稱為方程近似解的精確度,此時(shí).所以區(qū)間任意一個(gè)值都是滿足精確度的近似解,故該題取區(qū)間上的任何一個(gè)值都符合題意,為方便不妨取區(qū)間的端點(diǎn)作為近似解。2) 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值例2 已知函數(shù)。(1)當(dāng)精確度為

6、0.01時(shí),二分的次數(shù)最少為多少次可確定零點(diǎn)的近似值?(2)用二分法求1,1.5的一個(gè)零點(diǎn).(精確到0.01)解 (1)設(shè)函數(shù)零點(diǎn)的精確值為,近似值為,由精確度定義可知,又,所以,即,則,即二分的次數(shù)最少為6次可確定零點(diǎn)的近似值。(2)由,根據(jù)零點(diǎn)存在性定量可知,區(qū)間可作為初始區(qū)間,用二分法逐次計(jì)算,列表如下:當(dāng)二分次數(shù)是5次時(shí),|1.3281-1.3125|=0.0155>0.01,不合題意;當(dāng)二分次數(shù)是6次時(shí)|1.3281-1.3203|=0.0078<0.01,符合精確度要求,綜上，即為所求零點(diǎn)。因此，該題首先要滿足精確度0.01,二分次數(shù)需6次,此時(shí)區(qū)間1.3203,1.3

7、281兩端點(diǎn)精確到0.01,近似值不同,所以再取中點(diǎn)即為所求零點(diǎn)。當(dāng)區(qū)間兩端點(diǎn)精確到0.01數(shù)值相等時(shí),函數(shù)零點(diǎn)的近似值即為端點(diǎn)的近似值,如在例1中,區(qū)間兩端點(diǎn)精確到的近似值都是2.52,那么該方程精確到0.01的實(shí)數(shù)解就是2.52,從中可看出“精確度”和“精確到”是有區(qū)別的,“精確到”往往和有效數(shù)字“形影不離”,是一個(gè)近似值,而“精確度”與精確值和近似值的差的絕對(duì)值有關(guān),它可取區(qū)間上的任何一個(gè)值作為近似值。3)用二分法思想解決實(shí)際問(wèn)題 例3 在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里,從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的一條10km的電話線路發(fā)生了故障,如何迅速查出故障所在?如果沿著線路一小段一小段地查找,每查一次要爬一次

8、電線桿,10km長(zhǎng)的線路大約有200余根電線桿,維修電路的工人師傅如何工作才能把故障的范圍縮小到100m以內(nèi)?至少要查多少次?解 設(shè)A表示閘門,B表示指揮部,他首先從中點(diǎn)C點(diǎn)查,用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)AC段正常,斷定故障在BC段,再到BC中點(diǎn)D來(lái)查,這次發(fā)現(xiàn)BD段正,可見(jiàn)故障在CD段,再到CD的中點(diǎn)E來(lái)查每查一次,就把待查的線路長(zhǎng)度縮短一半,則由精確度定義得10×10，32且,解得,即至少查7次就可以把故障發(fā)生的范圍縮小在100米以內(nèi)。數(shù)學(xué)分析和數(shù)值實(shí)踐表明，該算法不僅能夠正確判定設(shè)計(jì)方程是否有解，而且在有解的情況下能夠正確求出該解，計(jì)算量小，計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定,但有以下缺點(diǎn)：收斂速度太慢，優(yōu)點(diǎn)浪費(fèi)時(shí)間浪費(fèi)時(shí)間，總之，二分法不僅可用來(lái)求方程的近似解以及函數(shù)的零點(diǎn),還可以用來(lái)查找線路、水管、氣管,還能用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢等,做到在最短的時(shí)間內(nèi)用最小的精力去解決問(wèn)題。3 總結(jié)二分法本質(zhì)上是一種區(qū)間迭代的數(shù)值算法，還體現(xiàn)了非此即彼的哲學(xué)思想,它綜合了函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、極限等多種知識(shí),滲透了算法思想,還體現(xiàn)了非此即彼的哲學(xué)思想,它綜合了函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、極限等多種知識(shí),因此在很多方面都很有用。 參考文獻(xiàn)1 曾毅.改進(jìn)的遺傳算法在非線性方程組求解中的應(yīng)用J.華東交通大學(xué)學(xué)報(bào).2004.(04).136-138 2