高中數(shù)學(xué)解析幾何橢圓性質(zhì)與定義

1、橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用一、圓錐曲線圓錐與平面的截線通常有：圓、橢圓、雙曲線、拋物線，其中的橢圓、雙曲線、拋物線叫圓錐曲線，其中拋物線是圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線，雙曲線是圓錐面與平行于軸的平面相截而得的曲線，圓是圓錐面與垂直于軸的平面相截而得的曲線，其他平面截取的則為橢圓。圓錐曲線有一個(gè)共同的定義：即：圓錐曲線是到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常值的點(diǎn)之軌跡。二、橢圓的定義橢圓是平面上到兩定點(diǎn)的距離之和為常值的點(diǎn)之軌跡，也可定義為到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為一個(gè)小于1常值的點(diǎn)之軌跡。橢圓的第一定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F的距離的和等于常數(shù)2a (2a|FF|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓

2、。即：PF+PF=2a ，其中兩定點(diǎn)F、F叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離FF叫做橢圓的焦距。若2a=|FF|，為線段，若2ab0)，這樣的橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，焦點(diǎn)在X軸時(shí)，若，(ab0)，這樣的橢圓長(zhǎng)軸在y軸上。焦點(diǎn)在y軸時(shí)。有兩條線段，a、b中較大者為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，較短者為短半軸長(zhǎng)，當(dāng)ab時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為，焦距與長(zhǎng)、短半軸的關(guān)系: 橢圓的第二定義由橢圓的第一定義：可到橢圓方程為：將代入，可得：所以：由此可得：所以可得橢圓的第二個(gè)定義：平面上到定點(diǎn)F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合（定點(diǎn)F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）,其中定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn)，定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線（該定直線的

3、方程是）。常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意：準(zhǔn)線和焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)，左準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)右焦點(diǎn)下面我們介紹第二定義的幾何說(shuō)明：可以找到兩個(gè)球，它們均滿足：和圓錐相切于一個(gè)圓，與截面相切于一個(gè)點(diǎn)。一個(gè)在截面和圓錐頂角之間（即截得的圓錐體的內(nèi)切球，小球），另一個(gè)在截面與圓錐頂角異側(cè)（即圓錐體外切球，大球）。兩個(gè)球與截面相切的兩個(gè)點(diǎn)即是兩個(gè)焦點(diǎn)，兩個(gè)球與圓錐相切的兩個(gè)圓，那兩個(gè)圓所在的兩個(gè)平面（它們是平行的）分別與原來(lái)的截面的交線即是兩條準(zhǔn)線。通過(guò)三角函數(shù)的知識(shí)應(yīng)該可以證明截得的圖形上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到相應(yīng)準(zhǔn)線的比值為定值設(shè)P為截面b與圓錐交線上的動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)球與截面b的交點(diǎn)為固定點(diǎn)，即為橢圓的焦點(diǎn)，平面b與

4、平面a的交線為固定直線，即為橢圓的準(zhǔn)線。E為大球和截面b的交點(diǎn)，顯然PP1為動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，設(shè)大的球心為O，PE和PP2為大球外一點(diǎn)P到大球的兩個(gè)切線，所以有PE=PP2思考為什么PE一定為切線，（PE為截面b內(nèi)的直線，而截面b與球僅僅一個(gè)交點(diǎn)）橢圓的第三定義：橢圓的其他定義根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就是橢圓上的點(diǎn)與橢圓短軸兩端點(diǎn)連線的斜率之積是定值（）可以得出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率之積是常數(shù)k的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，此時(shí)k應(yīng)滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況。三、.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：1.橢圓的面積是ab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acos ， y=bs

5、in 舉例：若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）2. 標(biāo)準(zhǔn)形式為的橢圓在（x0，y0）點(diǎn)的切線為 ： 3.橢圓焦半徑公式 PF1=a+ex0 PF2=a-ex0 4.直線與橢圓位置關(guān)系 （1）弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則， （2）直線l：y=x+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，求PAB面積的最大值. （3）相切、相交、相離的條件6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相

6、交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。5范圍即|x|a，|y|b，這說(shuō)明橢圓在直線x=a和直線y=b所圍成的矩形里(圖2-18)注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)6對(duì)稱性x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心即橢圓中心7頂點(diǎn)只須令x=0，得y=b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，

7、0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)8離心率教師直接給出橢圓的離心率的定義：再講清離心率e的幾何意義：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比ac0， 0e1再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響：(2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓圖形就是圓了課堂練習(xí)：1已知 是橢圓 上一點(diǎn)，若 到橢圓右準(zhǔn)線的距離是 ，則 到左焦點(diǎn)的距離為_2若橢圓 的離心率為 ，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是_答案：1 21或23求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程：(1)25x2+4y2-100=0，

8、(2)x2+4y2-1=04我國(guó)發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程的方程4答案：頂點(diǎn)(0，2)可能是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故分兩種情況求方程：5點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是12，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形三、例題講解例1：求出橢圓方程和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程；解：因?yàn)榘褭E圓向右平移一個(gè)單位即可以得到橢圓所以問(wèn)題1中的所有問(wèn)題均不變，均為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程分別為：，；長(zhǎng)軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程分別為：，；思考：求出橢圓方程準(zhǔn)線方

9、程例2、設(shè)AB是過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準(zhǔn)線（ ）A.相切 B.相離 C.相交 D.相交或相切分析：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？解：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為；過(guò)點(diǎn)A、B、M分別作出準(zhǔn)線的垂線，分別記為由梯形的中位線可知又由橢圓的第二定義可知即又且故直線與圓相離例3、已知點(diǎn)為橢圓的上任意一點(diǎn)，、分別為左右焦點(diǎn)；且求的最小值 求的最小值 求的最小值分析：應(yīng)如何把表示出來(lái)解：左準(zhǔn)線：，作于點(diǎn)D，記由第二定義可知： 故有所以有當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是變式1：的最小值；解：變式2：的最

10、小值；解：DAF111MF211其最小值=10-AF2課堂練習(xí)：已知的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。例4. 已知 ， 為橢圓 上的兩點(diǎn)， 是橢圓的右焦點(diǎn)若 ， 的中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離是 ，試確定橢圓的方程解：由橢圓方程可知 、兩準(zhǔn)線間距離為 設(shè) ， 到右準(zhǔn)線距離分別為 ， ，由橢圓定義有 ，所以 ，則 ， 中點(diǎn) 到右準(zhǔn)線距離為 ，于是 到左準(zhǔn)線距離為 ， ，所求橢圓方程為 例5方程表示什么曲線？解：；即方程表示到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比常數(shù)（且該常數(shù)小于1）方程表示橢圓例6、（06四川高考15）如圖把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等分，過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的

11、上半部分于七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則=解法一：，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則不妨設(shè)其焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)由得解法二：由題意可知和關(guān)于軸對(duì)稱，又由橢圓的對(duì)稱性及其第一定義可知，同理可知，故例7.動(dòng)圓與定圓C1：（x+1）2+y2=36內(nèi)切, 與定圓C2：（x-1）2+y2=4外切，求圓心M的方程。橢圓練習(xí)題1橢圓第二定義的應(yīng)用：例1設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，為其左焦點(diǎn)，求的最值例2在橢圓上求一點(diǎn)，使它到兩焦點(diǎn)的距離之積為16例3已知A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)，若，中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求橢圓方程例4已知橢圓，問(wèn)能否在軸下方的橢圓弧上找到一點(diǎn)M，使M到下準(zhǔn)線的距離等于M到兩焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)？若能找到，求出

12、此點(diǎn)坐標(biāo)；若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由例5一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)是和，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是，求這個(gè)橢圓的方程例6已知橢圓方程為是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，求：（1）的最小值；（2）的最大值和最小值例7已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且求的面積橢 圓1. 點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸