高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)講義微積分初步

1、微積分初步一、微積分的基本概念1、極限極限指無限趨近于一個(gè)固定的數(shù)值兩個(gè)常見的極限公式 *2、導(dǎo)數(shù)當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限叫做導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)含義，簡(jiǎn)單來說就是y隨x變化的變化率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該點(diǎn)切線的斜率。3、原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù) 對(duì)原函數(shù)上每點(diǎn)都求出導(dǎo)數(shù)，作為新函數(shù)的函數(shù)值，這個(gè)新的函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)。4、微分和積分 由原函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)：微分由導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)：積分微分和積分互為逆運(yùn)算。例1、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義，推導(dǎo)下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1） （2） （3） 二、微分1、基本的求導(dǎo)公式（1） （2）（3） *（4）（5） *（6）（7） （8）（9） （10）*（11） *（

2、12）*（13） *（14）2、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)（1）（2）（3）例2、求y=tanx的導(dǎo)數(shù)3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 對(duì)于函數(shù)y=f(x)，可以用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)看成y=fg(x)，即y=f(u)，u=g(x) 即：例3、求的導(dǎo)數(shù)例4、求的導(dǎo)數(shù)三、積分1、基本的不定積分公式 下列各式中C為積分常數(shù)（1） （2）（3） *（4）（5） （6）（7） *（8）*（9） *（10）2、簡(jiǎn)單的定積分求法（即牛頓萊布尼茨公式）物理競(jìng)賽中最基本的微積分公式牛頓萊布尼茨公式：若f(x)是F(x)在區(qū)間a, b上的導(dǎo)函數(shù), 則 而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f(x)求原函數(shù)F(x)的過程，其實(shí)就是不定積

3、分的過程。3、換元積分法(1)第一類換元積分（湊微法）例5、求* (2)第二類換元積分法技巧性較強(qiáng)，沒有一定的通法，高中階段很少用到。*例6、物理例題：例7、已知地球的半徑為R，質(zhì)量為M。將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從地面移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處，此過程中，萬有引力做了多少功？例8、求半徑為R，質(zhì)量均勻的半圓形薄板的重心位置例9、求常見幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。各物體質(zhì)量均為m，桿長均為L，半徑均為r(1)均勻桿繞中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(2)均勻桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)(3)均勻圓盤繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)*(4)均勻球繞中軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.2附 微積分閱讀材料*一、求極限的羅必塔法則 此時(shí)可以對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)后再求極限，從而避免出現(xiàn)未定式無法計(jì)算的情況。如果求導(dǎo)后仍

4、然是未定式，可多次利用羅必塔法則。如果始終是未定式，則此方法失效。例1：例2： *二、分部積分法理解、運(yùn)用起來容易出錯(cuò)，高中階段很少用到。根據(jù)函數(shù)相乘的求導(dǎo)公式：移項(xiàng)可得： 兩邊取積分：*例3、求*例4、求利用分部積分法的步驟：(1)將被積函數(shù)分為兩部分，一部分可以看做是原函數(shù)，即u，另一部分可以看做是導(dǎo)函數(shù)，即v。(2)右邊第一項(xiàng)為兩個(gè)原函數(shù)uv的乘積，第二項(xiàng)將原函數(shù)u變?yōu)閷?dǎo)函數(shù)u，導(dǎo)函數(shù)v變?yōu)樵瘮?shù)v，相乘后再求積分。利用分部積分法的技巧：上述過程的難點(diǎn)在于對(duì)v求積分，以及對(duì)uv求積分。因此，要將被積函數(shù)拆成適當(dāng)?shù)膬刹糠?，使得這兩個(gè)積分求解起來都比較容易。三、簡(jiǎn)單的常微分方程（分離變量法）

5、*例5：放射性元素衰變問題 設(shè)鈾的衰變速度與未衰變的原子數(shù)目M成正比已知t=0時(shí)未衰變的鈾的含量為M0，求M隨時(shí)間變化的函數(shù)。解：變量為M和t，分離變量得：兩邊分別求不定積分：根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù)C：帶入后消去C可得：*例6：電容器充放電問題 電容為C的電容經(jīng)過充電后，兩端電壓為U0。從t=0時(shí)刻開始串聯(lián)上電阻R進(jìn)行放電。求電壓U隨時(shí)間t的變化函數(shù)。解：聯(lián)立上面兩式可得：分離變量可得：兩邊分別求不定積分：根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù)C0：帶入后消去C0可得：可以看到，RC的值與電容器放電的快慢有關(guān)，因此RC也叫做RC電路的時(shí)間常數(shù)。類似的，RL電路中，時(shí)間常數(shù)為L/R。此外，求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和電磁振蕩問題時(shí)也需要求解微分方程，不過采用的方法是試探解法。*四、泰勒展開將一個(gè)函數(shù)寫成多項(xiàng)式的形式各項(xiàng)分別為零階小量、一階小量、二階小量常用于近似處理和對(duì)小量的討論。理解公式前兩項(xiàng)的幾何意義。公式最后一項(xiàng)表示剩下所有的項(xiàng)，相對(duì)于都是小量。常見