概率問題79745

1、概率原理1重視概念的甄別，即弄清某些容易混淆的概念之間的區(qū)別。 在概率論中存在許多容易混淆的概念，如果不能認真區(qū)分，仔細加以甄別，就不能正確理解這些重要概念，在應(yīng)用時就會產(chǎn)生各種各樣的錯誤。Ø 互不相容事件與相互獨立事件是最容易混淆的一對概念“互不相容”是指兩個事件不能同時發(fā)生。而“相互獨立”則是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響。Ø 隨機變量的獨立性與不相關(guān)性是兩個既有區(qū)別又有聯(lián)系的概念對兩個隨機變量而言，相互獨立不相關(guān)。Ø 條件概率P(A|B)與乘積概率P(AB) 也是容易混淆的一對概念一般來說，當事件同時發(fā)生時，常用，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)

2、系中，用。如袋中有9個白球1個紅球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求：(1)第二次才取到白球的概率；(2)第一次取到的是白球的條件下，第二次取到的也是白球的概率。問題(1)是求第一次取到紅球且第二次取到白球這一積事件的概率，而問題(2)則是求在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的條件概率。 2善于識別一些重要的概率模型并能正確進行計算是提高分析和解決概率實際問題能力的關(guān)鍵。 在概率論中有許多經(jīng)長期實踐概括出的重要概率模型（簡稱“概型”），學(xué)生必須了解其背景、特點和適用范圍，要熟記計算公式，以便能正確應(yīng)用。例如： （1）古典概型：一類具有有限個“等可能”發(fā)生的基本事件的概率模型。 （2

3、）完備事件組模型：若干個兩兩互不相容的事件在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的一類概率模型。它主要用于某些復(fù)雜事件的計算全概率公式，以及某些條件概率的計算貝葉斯公式。（3）伯努利概型與二項分布模型：伯努利概型是關(guān)于獨立重復(fù)試驗序列的一類重要的概率模型，其特點是各個重復(fù)試驗是獨立進行的，且每次試驗中僅有兩個對立的結(jié)果：事件發(fā)生或不發(fā)生，則在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為 ，其中。（4）普阿松分布：例如，電話交換臺在單位時間內(nèi)所接到的呼喚次數(shù)；到某商店去購物的顧客人數(shù)；放射性物質(zhì)不斷放出的質(zhì)點數(shù)。（5）正態(tài)分布最重要的概率模型：人體的身高、體重，測量的誤差等都服從正態(tài)分布。（6）均勻分布“等可

4、能”取值的連續(xù)化模型：如果連續(xù)隨機變量僅在某有限區(qū)間內(nèi)取值，且具有概率密度則稱服從區(qū)間上的均勻分布。教 學(xué) 內(nèi) 容 ( Contents )Chapter One 隨機事件及其概率(Random Events and Probability)一、概率論的誕生及應(yīng)用(Naissance and application of probability theory)1. 概率論的誕生一、1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局, 且誰先贏 局便算贏家, 若在一賭徒勝 局 (),另一賭徒勝局()時便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本” 為題求教于帕斯卡, 帕斯卡與費馬通信討論這一問題, 于1654

5、 年共同建立了概率論的第一個基本概念-數(shù)學(xué)期望2. 概率論的應(yīng)用概率論是數(shù)學(xué)的一個分支,它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律. 一方面，它有自己獨特的概念和方法，另一方面，它與其他數(shù)學(xué)分支又有緊密的聯(lián)系，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要組成部分.概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域, 例如天氣預(yù)報, 地震預(yù)報, 產(chǎn)品的抽樣調(diào)查; 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門,在通訊工程中可用以提高信號的抗干擾性,分辨率等等. 概率論就是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.二、隨機現(xiàn)象(Random phenomenon) 自然界和社會上所觀察到的現(xiàn)象: 確定性現(xiàn)象 隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

6、實例 確定性現(xiàn)象的特征 條件完全決定結(jié)果隨機現(xiàn)象 在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗或觀察之前不能預(yù)知確切的結(jié)果. 實例 隨機現(xiàn)象的特征 條件不能完全決定結(jié)果1. 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系 , 其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.2. 隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性, 但在大量試驗或觀察中, 這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.如何來研究隨機現(xiàn)象?隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.Problem: 什么是隨機試驗?1.§1.1 隨機事件(Random Events)一、 隨機試

7、驗(Random experiment)我們遇到過各種試驗。在這里，我們把試驗作為一個含義廣泛的術(shù)語，它包括各種各樣的科學(xué)試驗，甚至對某一事物的某一特征的觀察也認為是一種試驗。下面舉一些試驗的例子：拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。：將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。：拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。：記錄車站售票處一天內(nèi)售出的車票數(shù)。：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。這些試驗都具有以下的特點：1、 可以在相同的條件下重復(fù)地進行；2、 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；3、 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。

8、在概率論中，我們將具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗(Random experiment)。二、 樣本空間(Sampling space)對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預(yù)知試驗的結(jié)果，但試驗的一切可能的結(jié)果是已知的，我們把隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間(Sampling space)，記為。樣本空間的元素，即的每個結(jié)果，稱為樣本點(Sampling point)。例如，上面的個隨機試驗的樣本空間分別為：；這里的是售票處一天內(nèi)準備出售的車票數(shù)。；這里表示最低溫度，表示最高溫度。并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會小于，也不會大于。三、 隨機事件(Random event)在隨機試驗中，可

9、能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情就叫隨機事件(Random event)。隨機事件常用大寫字母表示，它是樣本空間的子集合。在每次試驗中，當且僅當子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱事件發(fā)生。例如在中，如果用表示事件“擲出奇點數(shù)”，那么是一個隨機事件。由于在一次投擲中，當且僅當擲出的點數(shù)是1，3，5中的任何一個時才稱事件發(fā)生了，所以我們把事件表示為。同樣地，若用表示事件“擲出偶點數(shù)”，那么也是一個隨機事件，.對于一個試驗，在每次試驗中必然發(fā)生的事件，稱為的必然事件(Certain event)；在每次試驗中都不發(fā)生的事件，稱為的不可能事件(Impossible event)。例如在中，“擲出的點數(shù)不超過6”就是

10、必然事件，用集合表示這一事件就是的樣本空間.而事件“擲出的點數(shù)大于6”是不可能事件，這個事件不包括的任何一個可能結(jié)果，所以用空集表示。對于一個試驗，它的樣本空間是的必然事件；空集是不可能事件。必然事件與不可能事件雖已無隨機性可言，但在概率論中，常把它們當作兩個特殊的隨機事件，這樣做是為了數(shù)學(xué)處理上的方便。四、 事件間的關(guān)系與運算(Relation and operation of events)因為事件是一個集合，因而事件間的關(guān)系和運算是按集合間的關(guān)系和運算來處理的。下面給出這些關(guān)系和運算在概率中的提法。并根據(jù)“事件發(fā)生”的含義，給出它們在概率中的含義。設(shè)試驗的樣本空間為，而是的子集。（1）事

11、件的包含與相等(Inclusion and equivalent relation) 若事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生，則稱事件包含事件，記為或者。若且，即，則稱事件與事件相等。（2）事件的和(Union of events) 事件與事件至少有一個發(fā)生的事件稱為事件與事件的和事件，記為.事件發(fā)生意味著：或事件發(fā)生，或事件發(fā)生，或事件與事件都發(fā)生。事件的和可以推廣到多個事件的情景。設(shè)有個事件，定義它們的和事件為中至少有一個發(fā)生，記為.（3）事件的積(Product of events) 事件與事件都發(fā)生的事件稱為事件與事件的積事件，記為，也簡記為。事件（或）發(fā)生意味著事件發(fā)生且事件也發(fā)生，即與都發(fā)生。

12、類似的，可以定義個事件的積事件=都發(fā)生。（4）事件的差(Difference of events) 事件發(fā)生而事件不發(fā)生的事件稱為事件與事件的差事件，記為。（5）互不相容事件(互斥)(Incompatible events) 若事件與事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件是互斥的，或稱它們是互不相容的。若事件中的任意兩個都互斥，則稱這些事件是兩兩互斥的。(6) 對立事件(Opposite events) “不發(fā)生”的事件稱為事件的對立事件，記為.和滿足：，。（7）事件運算滿足的定律 設(shè)為事件，則有交換律(Exchange law)：；。結(jié)合律(Combination law)：；。分配律(Dis

13、tributive law)：；。對偶律(Dual law)：；。Example 1.1 向指定目標射三槍，觀察射中目標的情況。用、分別表示事件“第1、2、3槍擊中目標”，試用、表示以下各事件：（1）只擊中第一槍；（2）只擊中一槍；（3）三槍都沒擊中；（4）至少擊中一槍。Solution （1）事件“只擊中第一槍”，意味著第二槍不中，第三槍也不中。所以，可以表示成 。（2）事件“只擊中一槍”，并不指定哪一槍擊中。三個事件“只擊中第一槍”、“只擊中第二槍”、“只擊中第三槍”中，任意一個發(fā)生，都意味著事件“只擊中一槍”發(fā)生。同時，因為上述三個事件互不相容，所以，可以表示成 +.（3）事件“三槍都沒

14、擊中”，就是事件“第一、二、三槍都未擊中”，所以，可以表示成 .（4）事件“至少擊中一槍”，就是事件“第一、二、三槍至少有一次擊中”，所以，可以表示成 或 + .§1.2 概率的統(tǒng)計定義(The Statistic Definition of Probability)一、 頻率(Frequency)設(shè)為任一隨機試驗，為其中任一事件，在相同條件下，把獨立的重復(fù)做次，表示事件在這次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)（稱為頻數(shù)）。比值稱為事件在這次試驗中出現(xiàn)的頻率(Frequency)。人們在實踐中發(fā)現(xiàn)：在相同條件下重復(fù)進行同一試驗，當試驗次數(shù)很大時，某事件發(fā)生的頻率具有一定的“穩(wěn)定性”，就是說其值在某確定

15、的數(shù)值上下擺動。一般說，試驗次數(shù)越大，事件發(fā)生的頻率就越接近那個確定的數(shù)值。因此事件發(fā)生的可能性的大小就可以用這個數(shù)量指標來描述。二、 概率的統(tǒng)計定義(The statistic definition of probability)Definition 1.1 設(shè)有隨機試驗，若當試驗的次數(shù)充分大時，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近擺動，則稱數(shù)為事件的概率(Probability)，記為：。(Let be a random experiment, a number is called the probability of a event if the frequency of swings near

16、by steadily.) 概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計定義，統(tǒng)計定義是以試驗為基礎(chǔ)的，但這并不是說概率取決于試驗。值得注意的是事件出現(xiàn)的概率是事件的一種屬性。也就是說完全決定于事件本身的結(jié)果，是先于試驗客觀存在的。概率的統(tǒng)計定義只是描述性的，一般不能用來計算事件的概率。通常只能在充分大時，以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值。三、 概率的性質(zhì)(The property of probability)（1）.（2） ， .（3）若，則.（4）.（5）.特別地，若 ， ，.（6）對任意兩個事件，有.這條性質(zhì)可以推廣到多個事件。設(shè)是任意個事件，則有Example 1.2 設(shè)事件的概率分別為 .在

17、下列三種情況下分別求的值：（）與互斥；（）（）Solution 由性質(zhì)（5），=.（1） 因為與互斥，所以，=P(B)= （2） 因為所以=（3） =§1.3 古典概型(Classical Probability)一、 古典概型（等可能概型）(Classical probability)“概型”是指某種概率模型?！肮诺涓判汀笔且环N最簡單、最直觀的概率模型。如果做某個隨機試驗時，只有有限個事件可能發(fā)生，且事件滿足下面三條：（1）發(fā)生的可能性相等（等可能性）；（2）在任意一次試驗中至少有一個發(fā)生（完備性）；（3）在任意一次試驗中至多有一個發(fā)生（互不相容性）。具有上述特性的概型稱為古典概型

18、(Classical probability)或等可能概型。稱為基本事件(Basic events)。等可能概型中事件概率的計算：設(shè)在古典概型中，試驗共有個基本事件，事件包含了個基本事件，則事件的概率為Example 1.3 一袋中有8個大小形狀相同的球，其中5個黑色球，三個白色球?，F(xiàn)從袋中隨機地取出兩個球，求取出的兩球都是黑色球的概率。Solution 從8個球中取出兩個，不同的取法有種。若以表示事件取出的兩球是黑球，那么使事件發(fā)生的取法為種，從而/=5/14Example 1.4 在箱中裝有100個產(chǎn)品，其中有3個次品，為檢查產(chǎn)品質(zhì)量，從這箱產(chǎn)品中任意抽5個，求抽得5個產(chǎn)品中恰有一個次品的

19、概率。Solution 從100個產(chǎn)品中任意抽取5個產(chǎn)品，共有種抽取方法，事件=有1個次品，4個正品的取法共有種取法，故得事件的概率為Example 1.5 將個球隨機地放入個盒子中，求：（）每個盒子最多有一個球的概率；（）某指定的盒子中恰有（）個球的概率。Solution 這顯然也是等可能問題。先求個球隨機地放入個盒子的方法總數(shù)。因為每個球都可以落入個盒子中的任何一個，有種不同的放法，所以個球放入個盒子共有種不同的放法。 （1）事件=每個盒子最多有一個球的放法。第一個球可以放進個盒子之一，有種放法；第二個球只能放進余下的個盒子之一，有種放法；第N個球只能放進余下的個盒子之一，有種放法；所以共

20、有種不同的放法。故得事件的概率為（2）事件=某指定的盒子中恰有個球的放法。先從個球中任選個分配到指定的某個盒子中，共有種選法；再將剩下的個球任意分配到剩下的個盒子中，共有種放法。所以，得事件的概率為Example 1.6 在的整數(shù)中可重復(fù)的隨機取個數(shù)組成位數(shù)，求下列事件的概率：（）個數(shù)完全不同；（）個數(shù)不含奇數(shù)；（）個數(shù)中恰好出現(xiàn)4次。Solution 從9個數(shù)中允許重復(fù)的取6個數(shù)進行排列，共有種排列方法。（1）事件A=個數(shù)完全不同的取法有種取法，故（2）事件B=個數(shù)不含奇數(shù)的取法。因為6個數(shù)只能在2，4，6，8四個數(shù)中選，每次有4種取法，所以有取法。故（3）事件C=個數(shù)中恰好出現(xiàn)4次的取法。

21、因為6個數(shù)中恰好出現(xiàn)4次可以是6次中的任意4次，出現(xiàn)的方式有種，剩下的兩種只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有種取法。故二、 幾何概型(Geometric probability)上述古典概率是在有限樣本空間下進行的，為了克服這種局限性，我們將古典概型推廣。如果一個試驗具有以下兩個特點：（1） 樣本空間是一個大小可以計量的幾何區(qū)域（如線段、平面、立體）。（2） 向區(qū)域內(nèi)任意投一點，落在區(qū)域內(nèi)任意點處都是“等可能的”。那么，事件的概率由下式計算：Example 1.7 在一個均勻陀螺的圓周上均勻地刻上（，）上的所有實數(shù)，旋轉(zhuǎn)陀螺，求陀螺停下來后，圓周與桌面的接觸點位于0.5，上的概率

22、。Solution 由于陀螺及刻度的均勻性，它停下來時其圓周上的各點與桌面接觸的可能性相等，且接觸點可能有無窮多個，故 .Example 1.8 甲乙兩人相約點在預(yù)定地點會面。先到的人等候另一人分鐘后離去，求甲乙兩人能會面的概率。Solution 以，分別表示甲、乙二人到達的時刻，那末 ， ；若以表示平面上的點的坐標，則所有基本事件可以用這平面上的邊長為4的一個正方形： ， 內(nèi)所有點表示出來。二人能會面的充要條件是 （圖中陰影部分）；所以所求的概率為：.§1.4 條件概率(Conditional Probability)一、 條件概率(Conditional probability)

23、在實際問題中，常常會遇到這樣的問題：在得到某個信息以后（即在已知事件發(fā)生的條件下），求事件發(fā)生的概率。這時，因為求的概率是在已知發(fā)生的條件下，所以稱為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。記為。由此引入條件概率的一般定義：Definition 1.2 設(shè)是兩個事件，且，稱=為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率(Conditional probability)。(Suppose are two events and, = is called the conditional probability of under the condition that occurs.)計算條件概率可選擇兩種方法

24、之一：（1） 在縮小后的樣本空間中計算發(fā)生的概率.（2） 在原樣本空間中，先計算，再按公式=計算，求得.Example1.9 設(shè)某種動物有出生起活20歲以上的概率為80%，活25歲以上的概率為40%.如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物，問它能活25歲以上的概率？Solution 設(shè)事件=能活20歲以上；事件=能活25歲以上。按題意，由于，因此.由條件概率定義二、 乘法公式(Multiplication formula)由條件概率的定義容易推得概率的乘法公式(Multiplication formula)：利用這個公式可以計算積事件。乘法公式可以推廣到個事件的情形：若)，則Example1.10 在

25、一批由90件正品，件次品組成的產(chǎn)品中, 不放回接連抽取兩件產(chǎn)品，問第一件取正品，第二件取次品的概率。Solution 設(shè)事件=第一件取正品；事件=第二件取次品。按題意，=，=.由乘法公式三、全概率公式(Complete probability formula)為了計算復(fù)雜事件的概率，經(jīng)常把一個復(fù)雜事件分解為若干個互不相容的簡單事件的和，通過分別計算簡單事件的概率，來求得復(fù)雜事件的概率。全概率公式(Complete probability formula)：為樣本空間的一個事件組，且滿足：（1）互不相容，且;(2).則對中的任意一個事件都有Proof: 因為()=由假設(shè)，得到Example1.1

26、1 七人輪流抓鬮，抓一張參觀票，問第二人抓到的概率？Solution 設(shè)=第人抓到參觀票()，于是由全概率公式 .從這道題，我們可以看到，第一個人和第二個人抓到參觀票的概率一樣；事實上，每個人抓到的概率都一樣。這就是“抓鬮不分先后原理”。Example 1.12 設(shè)有一倉庫有一批產(chǎn)品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的次品率分別為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得正品的概率？Solution 以、表示諸事件“取得的這箱產(chǎn)品是甲、乙、丙廠生產(chǎn)”；以表示事件“取得的產(chǎn)品為正品”，于是： 按全概率公式 ，有： 四、 貝葉斯公式(Bayesian formula

27、)設(shè)是樣本空間的一個事件，為的一個事件組，且滿足：（1）互不相容，且;(2).則這個公式稱為貝葉斯公式(Bayesian formula)，也稱為后驗公式。Example 1.13 發(fā)報臺分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號“”和“”，由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出信號“”時，收報臺未必收到信號“.”，而是分別以0.8和0.2收到“”和“”；同樣，發(fā)出“”時分別以0.9和0.1收到“”和“” 。如果收報臺收到“”，問它沒收錯的概率？Solution 設(shè)=發(fā)報臺發(fā)出信號“”，=發(fā)報臺發(fā)出信號“”，收報臺收到“”，收報臺收到“”；于是，；按貝葉斯公式，有所以沒收錯的概率為.Example 1.14 根據(jù)

28、以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如下效果：對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為0.95 ；非肝炎病人的試驗呈陰性的概率為0.95 .對自然人群進行普查的結(jié)果為：有千分之五的人患有肝炎?，F(xiàn)有某人做此試驗結(jié)果為陽性，問此人確有肝炎的概率為多少？Solution 設(shè)某人做此試驗結(jié)果為陽性，某人確有肝炎；由已知條件有，；從而，；由貝葉斯公式，有本題的結(jié)果表明，雖然，這兩個概率都很高。但若將此實驗用于普查，則有，即其正確性只有8.7%.如果不注意到這一點，將會經(jīng)常得出錯誤的診斷。這也說明，若將和搞混了會造成不良的后果。§1.5 事件的獨立性(Independence of Events)一、 事件的

29、獨立性(Independence of events)設(shè)，是兩個事件，一般而言，這表示事件的發(fā)生對事件的發(fā)生的概率有影響，只有當時才可以認為的發(fā)生與否對的發(fā)生毫無影響，這是就稱兩事件是獨立的。這時，由條件概率可知，由此，我們引出下面的定義。Definition 1.3 若兩事件，滿足,則稱，相互獨立(Mutual independence)。 (The events ，is called independent mutually if .)Theorem 1.1 若四對事件中有一對是相互獨立的，則另外三對也是相互獨立的.(If there is one dual of the four eve

30、nts is independence, then the rest are also independence.)（證明留給學(xué)生）在實際問題中，我們一般不用定義來判斷兩事件，是否相互獨立，而是相反，從試驗的具體條件以及試驗的具體本質(zhì)分析去判斷它們有無關(guān)聯(lián)，是否獨立？如果獨立，就可以用定義中的公式來計算積事件的概率了。Example 1.15 兩門高射炮彼此獨立的射擊一架敵機，設(shè)甲炮擊中敵機的概率為0.9，乙炮擊中敵機的概率為0.8，求敵機被擊中的概率？Solution 設(shè)=甲炮擊中敵機，=乙炮擊中敵機，那么敵機被擊中=；因為與相互獨立，所以，有Note：事件的獨立性與互斥是兩碼事，互斥性表示兩個事件不能同時發(fā)生，而獨立性則表示他們彼此不影響。Definition 1.4 設(shè)是三個事件，如果滿足：則稱這三個事件是兩兩獨立的。(Three events are called independence between them if .)Definition 1