概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上授課章節(jié)第一章 隨機變量的數(shù)字特征授課形式授課時間第 周 周 （ 月 日） 第 至 節(jié)教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：能力目標(biāo)：素質(zhì)目標(biāo)：教學(xué)重點教學(xué)難點補充內(nèi)容教學(xué)場地及教具使用教學(xué)過 程方法手段時間分配導(dǎo) 入隨機變量的概率分布完整地描述了隨機變量統(tǒng)計規(guī)律，但是在實際問題中求得隨機變量的概率分布并不容易，而且對某些問題來說，只需知道它的某些特征，我們把刻畫隨機變量某些方面特征的數(shù)值稱為隨機變量的數(shù)字特征。本章主要研究隨機變量的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征。新 課4.1 隨機變量的期望4.1.1 離散型隨機變量的期望引例 10人參加考試，1人得100分，6人得80分，3人

2、得60分，求10人考度的平均分。定義若X的分布律為 P（X=xi）=pi，i=1，2當(dāng)級數(shù)絕對收斂時（即收斂）就說是離散型隨機變量X的期望。記作EX，即說明：（1）若X取值為有限個x1，x2，xn則（2）若X取值為可列無限多個x1，x2，xn則這時才要求無窮級數(shù)絕對收斂。很明顯，X的期望EX體現(xiàn)隨機變量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。4.1.2 下面介紹幾種重要離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望。1.兩點分布隨機變量X的分布律為分布EXX（0,1）XB（n,p）XP（）pnp4.1.3下面介紹離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-1 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk，k=1，2，。令

3、Y=g（X），若級數(shù)絕對收斂，則隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望為特別情形4.1.4 連續(xù)型隨機變量的期望對于連續(xù)型隨機變量的期望，形式上可類似于離散型隨機變量的期望給予定義，只需將和式中的xi改變x,pi改變?yōu)閒（x）dx（其中f（x）為連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)）以及和號“”演變?yōu)榉e分號“”即可。定義4-2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），若廣義積分絕對收斂，則稱該積分為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（簡稱期望或均值），記為EX，即1.均勻分布設(shè)隨機變量X在a,b上服從均勻分布，其概率密度為則 在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機變量的期望是該區(qū)間中點。2.指數(shù)分布設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分

4、布，其概率密度為解：在微積分中有 即指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為參數(shù)的倒數(shù)。3.正態(tài)分布設(shè)其概率密度為則X的期望E（X）=。（不證）上面三種情況列表如下（可以作為公式使用）分布EXXU（a,b）XE（）XN（，2）下面介紹連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-2 設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fX（x），又隨機變量Y=g（X），則當(dāng)收斂時，有4.1.5二維隨機變量函數(shù)的期望定理4-3 （1）若（X，Y）為離散型隨機變量，若其分布律為pijPX=xi,Y=yi，邊緣分布律為則（2） 其（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，f（x,y）,fx（x）,fY（y）分別為（X，Y）的概率密度與邊緣概率密度，則證明

5、略。定理4-4 設(shè)g（X，Y）為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（X，Y）的函數(shù)g（X，Y），（1） 若（X，Y）為離散型隨機變量，級數(shù)收斂，則（2） 若（X，Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分收斂，則4.1.6期望的性質(zhì)期望有許多重要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以進行期望的運算。下面列舉的這些性質(zhì)對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量而言，都可以利用隨機變量函數(shù)的期望與二維隨機變量函數(shù)的期望公式加以證明。性質(zhì)4-1 常數(shù)的期望等于這個常數(shù)，即E（C）=C，其中C為常數(shù)。證明 常數(shù)C作為隨機變量，它只可能取一個值C，即PX=C=1，所以E（C）=C·1=C性質(zhì)4-2 常數(shù)與隨機變量X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機

6、變量X的期望的乘積，即E（CX）=C·E（X）。證明 設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f（x），則有當(dāng)X為離散型隨機變量時，請讀者自證。有E（CX+b）=CEX+b性質(zhì)4-3隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）。證明 不妨設(shè)（X，Y）為二維隨機變量，其概率密度為f（x,y）,Z=X+Y是（X，Y）的函數(shù)，有=E（X）+E（Y）。這一性質(zhì)可作如下推廣：E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1，C2為常數(shù)。結(jié)合性質(zhì)4-2與性質(zhì)4-3可證此性質(zhì)。一般地，設(shè)X1，X2，,Xn為n個隨機變量，則有E（X1+X2+Xn）= EX1+ EX2

7、+ EXnE（C1X1+C2X2+CnXn）=C1EX1+C2EX2+ CnEXn性質(zhì)4-4兩個相互獨立的隨機變量乘積的期望等于期望的乘積，即若X，Y是相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y）。證明 僅證連續(xù)型情況，因為X，Y相互獨立，所以f（x,y）=fX（x）fY（y），=E（X）E（Y）由數(shù)學(xué)歸納法可證得：當(dāng)X1，X2，Xn相互獨立時有E（X1X2Xn）=E（X1）E（X2）E（Xn）。4.2.1方差的概念定義4-3設(shè)隨機變量的期望存在，則稱為隨機變量X的方差，記作D(X),即D(X)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。從隨機變量的函數(shù)的期望看，隨機變量X的方差D(X)即是X的函數(shù)的期

8、望。由方差定義可知，當(dāng)隨機變量的取值相對集中在期望附近時，方差較小；取值相對分散時，方差較大，并且總有.若X為離散型隨機變量，其分布律為則（4.2.1）若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則（4.2.2）在計算方差時，用下面的公式有時更為簡便；即X的方差等于的期望減去X的期望的平方。當(dāng)X是離散型隨機變量時，(4.2.4)當(dāng)X是連續(xù)型隨面變量時，(4.2.5)4.2.2常見隨機變量的方差1.0-1分布設(shè)X的分布律為其中0P1,則X的方差D(X)=P(1-P).因為而故（2）二項分布設(shè)XB(n,p) 則有 (不證)（3）泊松分布設(shè)XP(),則有 (不證)（4）均勻分布設(shè)XU(a,b),則有

9、（5）指數(shù)分布設(shè)(6)正態(tài)分布可以證明，若下表是六種常見分布的期望和方差的結(jié)果。要求大家熟記下面公式。4.2.3方差的性質(zhì)性質(zhì)4-5常數(shù)的方差等于零，隨機變量與常數(shù)之和的方差等于隨機變量的方差，即D(C)=0,D(X+C)=D(X). 性質(zhì)4-6常數(shù)與隨機變量乘積的方差等于這個常數(shù)的平方與隨機變量方差的乘積，即，其中C為常數(shù) 性質(zhì)4-7兩個獨立隨機變量之和的方差等于它們方差之和，即若X，Y相互獨立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)上式最后一項E(XE(X)(YE(Y)=EXYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X

10、)E(Y)，因為X與Y相互獨立，有E(XY)=E(X)E(Y)，因而上式為零因此D(X+Y)=D(X)+D(Y)注意：證明過程中得到有用結(jié)論E(XE(X)(YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y)這一性質(zhì)也可推廣到n個相互獨立的隨機變量情況：若相互獨立，則將這一性質(zhì)應(yīng)用于二項分布可知，二項分布隨機變量X能表示成n個相互獨立的兩點分布隨機變量之和：，因為的方差為pq,k=1，2，n，則4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)對二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的期望和方差之外，還需討論X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征，本節(jié)主要討論這方面的數(shù)字特征。4.3.1協(xié)方差定義4-4設(shè)有二維隨機變量（X，Y），且E（X），E（Y）存在，如果存在，則稱此值為X與Y的協(xié)方差