等差數(shù)列第一課時(shí)學(xué)案3

1、6等 差 數(shù) 列第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式知能目標(biāo)解讀1.通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，并會(huì)用等差數(shù)列的概念判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列.2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.3.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，能用函數(shù)的觀點(diǎn)解決等差數(shù)列問(wèn)題.4.掌握等差中項(xiàng)的定義，并能運(yùn)用它們解決問(wèn)題.5.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念.難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其運(yùn)用.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.等差數(shù)列的定義（1）關(guān)于等差數(shù)列定義的理解，關(guān)鍵注意以下幾個(gè)方面：如果一個(gè)數(shù)列，不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不是等差

2、數(shù)列.一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差盡管等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)檫@些常數(shù)不一定相同，當(dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，此數(shù)列不是等差數(shù)列.求公差時(shí)，要注意相鄰兩項(xiàng)相減的順序.d=an+1-an(nN+)或者d=an-an-1 (nN+且n2).（2）如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列?要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需證明對(duì)任意正整數(shù)n,an+1-an是同一個(gè)常數(shù)(或an-an-1 (n1)是同一個(gè)常數(shù)).這里所說(shuō)的常數(shù)是指一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).注意:判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的定義式：an+1-an=d(d為常數(shù)).若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，可舉一個(gè)特例進(jìn)行否定，也可以證明a

3、n+1-an或an-an-1 (n1)不是常數(shù)，而是一個(gè)與n有關(guān)的變數(shù)即可.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）通項(xiàng)公式的推導(dǎo)常用方法：方法一（疊加法）：an是等差數(shù)列，an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,a3-a2=d,a2-a1=d.將以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：an是等差數(shù)列，an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：an是等差數(shù)列，則有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a

4、2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法是以后解決數(shù)列題的常用方法，應(yīng)注意體會(huì)并應(yīng)用.（2）通項(xiàng)公式的變形公式在等差數(shù)列an中，若m，nN+，則an=am+(n-m)d.推導(dǎo)如下：對(duì)任意的m,nN+，在等差數(shù)列中，有am=a1+(m-1)dan=a1+(n-1)d 由-得an-am=(n-m)d,an=am+(n-m)d.注意：將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an=dn+a1-d，從函數(shù)角度來(lái)看，an=dn+(a1-d)是關(guān)于n的一次函數(shù)(d0時(shí))或常數(shù)函數(shù)(d=0時(shí))，其圖像是一條射線上一些間距相等的點(diǎn)，其中公差d是該射線所在直線的斜率，

5、從上面的變形公式可以知道，d= (nm).（3）通項(xiàng)公式的應(yīng)用利用通項(xiàng)公式可以求出首項(xiàng)與公差;可以由首項(xiàng)與公差求出等差數(shù)列中的任意一項(xiàng);若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)數(shù).3.從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是些正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當(dāng)d0時(shí)，an為遞增數(shù)列，如圖（甲）所示.當(dāng)d0時(shí)，an是數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，an是數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是數(shù)列.答案1.差同一個(gè)常數(shù)2.a與b的等差中項(xiàng)3.（1）an-an-1

6、=d(常數(shù))(2)等差數(shù)列（3）4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d5.遞增常遞減思路方法技巧命題方向等差數(shù)列的定義及應(yīng)用例1判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.（1）an=3n+2；（2）an=n2+n.分析利用等差數(shù)列定義，看an+1-an是否為常數(shù)即可.解析(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN+).由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.說(shuō)明利用定義法判斷等差數(shù)列的關(guān)鍵是看an+1-an得到的結(jié)論是否是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，

7、則不是等差數(shù)列.至于它到底是一個(gè)什么樣的數(shù)列，這些不再是我們研究的范疇. 1 n=1變式應(yīng)用1試判斷數(shù)列cn，cn= 是否為等差數(shù)列. 2n-5n2解析c2-c1=-1-1=-2,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2).cn+1-cn(n1)不等于同一個(gè)常數(shù)，不符合等差數(shù)列定義.cn不是等差數(shù)列.命題方向等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a5=11,a8=5,求a11.分析利用通項(xiàng)公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通項(xiàng)公式的變形形式an=am+(n-m)d求解.解析解法一：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知，得 a1+4d=1

8、1 a1=19 解得 .a1+7d=5 d=-2a11=19+(11-1)(-2)=-1.解法二：a8=a5+(8-5)d,d=-2.a11=a8+(11-8)d=5+3(-2)=-1.說(shuō)明(1)對(duì)于解法一，根據(jù)方程的思想，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出a1和d，確定通項(xiàng)，此法也稱(chēng)為基本量法.(2)對(duì)于解法二，根據(jù)通項(xiàng)公式的變形公式為：am=an+(m-n)d,m,nN+，進(jìn)一步變形為d=，應(yīng)注意掌握對(duì)它的靈活應(yīng)用.變式應(yīng)用2已知等差數(shù)列an中，a10=29,a21=62,試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng). a10=a1+9d=29解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有 ， a21=a1+20d=62解得a

9、1=2,d=3.an=2+(n-1)33n-1.令an3n-1=91,得n=N+.91不是此數(shù)列中的項(xiàng).命題方向等差中項(xiàng)的應(yīng)用例3已知a,b,c成等差數(shù)列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列？分析已知a,b,c成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的定義，可知a+c=2b,然后要證其他三項(xiàng)a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列，同樣考慮等差中項(xiàng).當(dāng)然需用到已知條件a+c=2b.解析因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(

10、a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列.說(shuō)明本題主要考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，如果a,b,c成等差數(shù)列，則有a+c=2b;反之，若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.變式應(yīng)用3已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)xn=2np+nq(nN,p,q為常數(shù))，且x1、x4、x5成等差數(shù)列.求：p,q的值.分析由x1、x4、x5成等差數(shù)列得出一個(gè)關(guān)于p,q的等式，結(jié)合x(chóng)1=3推出2p+q=3,從而得到p,q.解析由x1=3,得2p+q=3,又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得325p+

11、5q=25p+8q,由得q=1,p=1.說(shuō)明若三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則a+c=2b,即b為a,c的等差中項(xiàng)，這個(gè)結(jié)論在已知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到.探索延拓創(chuàng)新命題方向等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例4某公司經(jīng)銷(xiāo)一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬(wàn)元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損？解析由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an,則an-an-1=-20,(n2,nN),每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an,且首項(xiàng)a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)

12、(-20)=-20n+220.若an0,則該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損，由an-20n22011,即從第12年起，該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損.說(shuō)明關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，首先要建立數(shù)列模型將實(shí)際問(wèn)題數(shù)列化.變式應(yīng)用42012年將在倫敦舉辦奧運(yùn)會(huì)，倫敦將會(huì)有很多的體育場(chǎng)，為了實(shí)際效果，體育場(chǎng)的看臺(tái)一般呈“輻射狀”.例如，某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)座位是這樣排列的：第一排有150個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多20個(gè)座位，你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎？第10排可坐多少人？分析分析題意知，看臺(tái)上的每一排的座位數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列.解析由題意知，每排的座位數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)為a1=150,公差為d=20的等差數(shù)列，a

13、n=a1+(n-1)d=150+(n-1)20=20n+130,則a10=330,即第10排可坐330人.名師辨誤做答例5已知數(shù)列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).（1）判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）求an的通項(xiàng)公式.誤解（1）an=an-1+2,an-an-1=2(為常數(shù))，an是等差數(shù)列.（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.辨析忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)之間的整體關(guān)系，而判斷特殊數(shù)列的類(lèi)型是初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤.事實(shí)上，數(shù)列an從第2項(xiàng)起，以后各項(xiàng)組成等差數(shù)列，而an不是等差數(shù)列，an=f(n)應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型.正解（1）當(dāng)n3時(shí)，an=an-1+2

14、,即an-an-1=2.當(dāng)n=2時(shí)，a2-a1=0不滿足上式.an不是等差數(shù)列.（2）a2=1,an=an-1+2(n3)，a3=a2+2=3.a3-a2=2.當(dāng)n3時(shí)，an-an-1=2.an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不滿足此式. 1 (n=1)an= .2n-3 (n2)課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.（2011重慶文，1）在等差數(shù)列an中,a2=2,a3=4,則a10=（）A.12B.14C.16D.18答案D解析該題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由其兩項(xiàng)求公差d.由a2=2,a3=4知d=2.a10=a2+8d=2+82=18.2.已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=

15、3-2n,則它的公差為（）A.2B.3C.2D.3答案C解析an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),公差為2，故選C.3.方程x2-6x+1=0的兩根的等差中項(xiàng)為（）A.1B.2C.3D.4答案C解析設(shè)方程x2-6x+1=0的兩根為 x1、x2,則x1+x2=6.其等差中項(xiàng)為=3.二、填空題4.在等差數(shù)列an中，a2=3,a4=a2+8,則a6=.答案19解析a2=3,a4=a2+8, a1+d=3 a1=-1 , 解得 .a1+3d=a1+d+8 d=4a6=a1+5d=-1+20=19.5.已知a、b、c成等差數(shù)列，那么二次函數(shù)y=ax2+2bx+c(a0)的圖像與x軸的交點(diǎn)有 個(gè).

16、答案1或2解析a、b、c成等差數(shù)列，2b=a+c,又=4b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c)20.三、解答題6.在等差數(shù)列an中，已知a5=10,a12=31,求通項(xiàng)公式an. a1+4d=10 a1=2解析由題意得 , 解得 .a1+11d=31 d=3an=-2+(n-1)33n-5.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.等差數(shù)列1，-1，-3，-5，-89，它的項(xiàng)數(shù)為（）A.92B.47C.46D.45答案C解析a1=1，d=-1-1=-2,an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,由-89=-2n+3，得n=46.2.如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）A.a1+a8a4+a5D.a1a8=

17、a4a5答案B解析設(shè)公差為d,則a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,a1+a8=a4+a5.3.已知數(shù)列3,9,15,3(2n-1),那么81是它的第（）A.12項(xiàng)B.13項(xiàng)C.14項(xiàng)D.15項(xiàng)答案C解析由3(2n-1)=81,解得n=14.4.在等差數(shù)列an中，a2=-5,a6=a4+6,則a1等于（）A.-9 B.-8 C.-7 D.-4答案B a1+d=-5解析由題意，得 ，a1+5d=a1+3d+6解得a1=-8.5.數(shù)列an中，a1=2,2an+1=2an+1,則a101的值是（）A.49B.50C.51D.52答案D解析由2an+1=2an+1得a

18、n+1-an=，an是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=2,公差d=,an=2+ (n-1)= ,a101=52.6.已知a=,b=,則a,b的等差中項(xiàng)為（）A. B. C. D. 答案A解析=.7.設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為12，前三項(xiàng)積為48，則它的首項(xiàng)為（）A.1B.2C.4D.3答案B a1+a2+a3=12 a1+a3=8解析由題設(shè) ，,a2=4,a1a2a3=48 a1a3=12a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的兩根，又a3a1,a1=2.8.an是首項(xiàng)為a1=4,公差d=2的等差數(shù)列，如果an=2012,則序號(hào)n等于（）A.1003B.1004C.1005D.1006答案

19、 C解析 a1=4,d=2,an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,2n+2=2012,n=1005.二、填空題9.三個(gè)數(shù)lg(-),x,lg(+)成等差數(shù)列，則x=.答案0解析由等差中項(xiàng)的運(yùn)算式得x=0. 10.一個(gè)等差數(shù)列的第5項(xiàng)a2=10,且a1+a2+a3=3,則a1=,d=.答案-2,3 a5=a1+4d=10 a1+4d=10 a1=-2解析由題意得 , 即 ， . a1+a1+d+a1+2d=3 a1+d=1 d=311.等差數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為x，2x+1，4x+2，則它的第5項(xiàng)為.答案4解析2(2x+1)=x+(4x+2),x=0,則a1=0,a2=1,d=a

20、2-a1=1,a5=a1+4d=4.12.在數(shù)列an中，a1=3，且對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)（,）在直線x-y-=0上，則an=.答案3n2解析由題意得 - =,數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， =n,an=3n2.三、解答題13.在等差數(shù)列an中：(1)已知a5=-1,a8=2,求a1與d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. a1+(5-1)d=-1 a1=-5解析(1)由題意知 ，解得 .a1+(8-1)d=2 d=1 a1+a1+(6-1)d=12 a1=1（2）由題意知 ，解得 ，a1+(4-1)d=7， d=2a9=a1+(9-1)d=1+82=17.14.已知函數(shù)f(x)= ，數(shù)列xn的通項(xiàng)由xn=f(xn-1) (n2,且nN+)確定.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1=時(shí)，求x100.解析(1)