蘇州市2015屆高三數(shù)學(xué)必過關(guān)題8解析幾何

1、高三必過關(guān)題8 解析幾何一、填空題例1 經(jīng)過點(diǎn)P（2，-1），且過點(diǎn)A（-3，-1）和點(diǎn)B（7，-3）距離相等的直線方程 _答：x=2或x+5y+3=0.提示：若過P點(diǎn)的直線垂直于x軸，點(diǎn)A與點(diǎn)B到此直線的距離均為5，所求直線為x=2;若過P點(diǎn)的直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)的方程為y+1=k(x-2), 即kx-y+(-1-2k)=0. 由 ,即|5k|=|5k+2|, 解得k=-所求直線方程為x+5y+3=0； 綜上，經(jīng)過P點(diǎn)的直線方程為x=2或x+5y+3=0.例2 已知三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是B (2,1)、C (-6, 3), 垂心是H (-3, 2),第三個(gè)頂A的坐標(biāo)為 答：（-19，-62）提

2、示： ACBH， , 直線AC的方程為y=5x+33 (1)ABCH， , 直線AB的方程為y=3x-5 (2)由（1）與（2）聯(lián)立解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-19，-62）.例3過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是 答：提示：容易遺漏過原點(diǎn)的直線例4 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離分別為1,2，則符合條件的直線的條數(shù)為 .答：2提示：以A點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與以B點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓相交公切線只有2條。例5若過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答：提示： 容易忽視成為圓的條件例6已知為圓的兩條互相垂直的弦，交于點(diǎn)，且，則四邊形的面積等于 答： 5 提示：由得弦心距相等，再由OM=得

3、弦心距為，所以=例7 已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則= 答： 3提示：因?yàn)?，所以以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，設(shè)此圓方程為，則且例8曲線（）與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是 答： 提示：數(shù)形結(jié)合，注意曲線為上半圓，直線過定點(diǎn)（2,4）。例9如果圓上至少有三點(diǎn)到直線的距離為，那么直線的斜率的取值范圍為 .答： 提示：圓心（2,2）半徑，直線橫過原點(diǎn)，弦心距例10 已知圓M：和直線過直線上一點(diǎn)A作BAC，使BAC=45，AB過圓心M，且B，C在圓M上，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為 答：提示： 圓心M（2,2）半徑， 例11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，“方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的充要條

4、件是“實(shí)數(shù)k ”答：（1,3）提示：例12已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)若，則橢圓的離心率為_答：提示：由題意設(shè)，所以，所以所以例13已知橢圓的上焦點(diǎn)為，直線和與橢圓相交于點(diǎn)，則 答： 8提示：用定義，對(duì)稱。注意兩個(gè)直線分別過上下兩個(gè)焦點(diǎn)。例14設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線l過兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為，則雙曲線的離心率為_ 答： 提示：要用條件舍去另一解例15如圖，在中，、ABCDE邊上的高分別為、，則以、為焦點(diǎn)，且過、的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為 答：提示：用定義求例16若方程表示準(zhǔn)線平行于軸的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .答：提示：注意分母不為零。例17我國2008年

5、9月25日發(fā)射的“神七”載人飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面為，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離為，地球半徑為，則飛船運(yùn)行軌道的短軸長為 。答：提示：a+c=n+R,a-c=m-R例18已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .答：提示：，故例19以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心作一個(gè)圓，使此圓過橢圓的中心，并交橢圓于點(diǎn)，若過橢圓左焦點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的右準(zhǔn)線與圓的位置關(guān)系是 .（填“相交”、“相離”或“相切”）答：相交提示：證明例20已知方程對(duì)應(yīng)的曲線為是與曲線有關(guān)的兩定點(diǎn)，下列關(guān)于曲線的命題正確的有 （填序號(hào)）。曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓

6、的一部分；曲線關(guān)于軸、軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；是曲線上任意一點(diǎn)，；是曲線上任意一點(diǎn)，；曲線圍成的圖形面積為30.答：提示：數(shù)形結(jié)合二、解答題例21已知過點(diǎn)A（1，1）且斜率為m（m0）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q，過P、Q作直線2x+y=0的垂線，垂足為R、S，求四邊形PRSQ面積的最小值.解析：設(shè)l的方程為y1=m（x1），則P（1+，0），Q（0，1+m）.從而可得直線PR和QS的方程分別為x2y=0和x2y+2（m+1）=0.又PRQS，RS=.又PR=，QS=，四邊形PRSQ為梯形，S四邊形PRSQ=+·=（m+）2（2+）2=3.6.四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6.例

7、22已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25, 直線：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(mR),證明直線與圓相交；(2) 求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)，求直線的方程證明：（1）將直線的方程整理為（x+y-4）+m(2x+y-7)=0，由, 直線過定點(diǎn)A（3，1）， （3-1）2+（1-2）2=5<25，點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，故直線恒與圓相交.（2）圓心O（1，2），當(dāng)截得的弦長最小時(shí)，AO，由kAO= -, 得直線的方程為y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.例23已知圓滿足：（1）截y軸所得弦長為2，（2）被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3：1，（3）圓心到直線：x-2y=0

8、的距離為，求這個(gè)圓方程解：設(shè)所求圓圓心為P（a,b），半徑為r，則點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|，由題設(shè)知圓P截x軸所對(duì)劣弧對(duì)的圓心角為900，知圓P截x軸所得弦長為r，故r2=2b2, 又圓P被 y軸所截提的弦長為2，所以有r2=a2+1，從而2b2-a2=1. 又因?yàn)镻（a,b）到直線x-2y=0的距離為，所以d=，即|a-2b|=1, 解得a-2b=1,由此得, 于是r2=2b2=2, 所求圓的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.例24已知圓通過不同的三點(diǎn)，且圓C在點(diǎn)P處的切線的斜率為1.（1）試求圓的方程；CQPOy·R（2）若點(diǎn)

9、A、B是圓C上不同的兩點(diǎn)，且滿足，試求直線AB的斜率；若原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求直線AB在軸上的截距的范圍。解析：（1）設(shè)圓方程為，則圓心，且PC的斜率為-1所以解得，所以圓方程為（2），所以AB斜率為1設(shè)直線AB方程為，代入圓C方程得設(shè)，則原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，即整理得，例25已知（）求過點(diǎn)A與相切的直線l的方程；（）設(shè)關(guān)于直線l對(duì)稱的圓，則在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得P到兩圓的切線長之比為？薦存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由解析：（1），因?yàn)辄c(diǎn)A恰在上，所以點(diǎn)A即是切點(diǎn)，所以，直線l的方程為；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A恰為C1C2中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，或，由得，由得，求此

10、方程無解。綜上，存在兩點(diǎn)P（-2，0）或P（10，0）適合題意例26已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過作直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).解析：（1）設(shè)，由題可知，所以，解之得：故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或（2）設(shè)直線的方程為：，易知存在，由題知圓心到直線的距離為，所以，解得，或，故所求直線的方程為：或（3）設(shè)，的中點(diǎn)，因?yàn)槭菆A的切線所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓是以為圓心，以為半徑的圓，故其方程為：化簡得：，此式是關(guān)于的恒等式，故解得或所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)或.例27如圖，F(xiàn)是橢

11、圓的左焦點(diǎn)，A,B分別是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)C在x軸上，三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線相切（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)A的直線與圓M交于P,Q兩點(diǎn)，且求直線的方程解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以即所以故所以得BC方程為 令得即，所以圓M的半徑為圓心M（c，0）因?yàn)閳AM恰好與直線相切，所以故所求的橢圓方程為 （2）因?yàn)樗运訫到直線的距離等于1 依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線即所以解得，故所求的直線的方程為 例28已知橢圓C：1(ab0)的右準(zhǔn)線l的方程為x，短軸長為2（1）求橢圓C的方程；（2）過定點(diǎn)B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A1，A2）兩點(diǎn)，設(shè)直線PA1與

12、直線QA2相交于點(diǎn)M（2x0，y0）試用x0，y0表示點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；求證：點(diǎn)M始終在一條定直線上解析：（1）由得 橢圓C的方程為；（2）A1（2，0），A2（2，0），方程為MA1的方程為：，即代入，得，即=，則=即P（，）同理MA2的方程為， 即代入，得，即= 則=即Q（，）P，Q，B三點(diǎn)共線，即 即由題意，則或若，即，則P，Q，M為同一點(diǎn)，不合題意，點(diǎn)M始終在定直線上例29一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線l:上一點(diǎn)反射后，恰好穿過點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的方程；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上除長軸兩端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，試問在軸上是否存在兩定點(diǎn)、，使得直線、的斜率之積為定值？若存在，請(qǐng)求出定值，并求出所有滿足條件的定點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解析：（1）設(shè)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為，則且，解得，即，故直線的方程為由，解得 （2）因?yàn)?，根?jù)橢圓定義，得，所以又，所以所以橢圓的方程為 （3）假設(shè)存在兩定點(diǎn)為，使得對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)（除長軸兩端點(diǎn)）都有（為定值），即·，將代入并整理得（）由題意，（）式對(duì)任意恒成立，所以，解之得 或所以有且只有兩定點(diǎn)，使得為定值 例30設(shè)圓，動(dòng)圓，（1）求證：圓、圓相交于兩個(gè)定點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的