偶然誤差的處理

1、§1.2  偶然誤差的處理 在這一節(jié)里，我們假定在沒有系統(tǒng)誤差存在的情況下，來討論偶然誤差問題。 一、測量結果的最佳值多次測量的平均值 對某一物理量進行測量時，最好進行多次重復測量。根據多次重復測量的結果，可能獲得一個最接近真值的最佳值。在相同條件下，對某物理量x進行了n次重復測量，其測量值分別 當測量次數無限增多時，根據偶然誤差的性質可以證明：該平均值作為測量的結果。 二、算術平均絕對誤差 真值無法得到，誤差也就無法估算。由于平均值是最佳值，可以把它作為近真值來估算誤差。一般定義測量值與平均值之差為“偏差”或“離

2、差”，它們與誤差是有區(qū)別的。然而當測量次數很多時，“偏差”會接近誤差。在以下討論中，不去嚴格區(qū)分“偏差”和誤差，把它們統(tǒng)稱為誤差。取量結果表達式可寫為 三、標準誤差方均根誤差a 在現代實驗測量中，通常用標準誤差來衡量一組測量值的精密度，標準誤差就是均方根誤差。物理量x的標準誤差用x表示，它的定義是：當測量次數無限多時，有測量次數不可能無限多，根據誤差理論，當測量次數有限時，(1-4)式應改寫成：(1-5)式是n次重復測量中單次測量的標準誤差，n次測量結果平均當偶然誤差用標準誤差來表示時，測量結果應寫為四、相對誤差 我們把測量結果及其偶然誤差寫為x±x的形

3、式，其中x是測量值，它可以是一次測量值，也可以是多次測量的平均值；x是絕對誤差，它可以是一次測量中絕對誤差的絕對值，也可以是平均絕對誤差或標準誤差。在對同一對象采用不同精度的儀器或測量方法來測量時，x能夠表示出測量的不同精確度。但對不同對象進行測量時，卻反映不出不同的精確度。例如，用米尺測量兩物體的長度，測量結果為：x1=100.00±0.05cm，x2=10.00±0.05cm，兩者的絕對誤差相同，均為0.05cm，但誤差點測量值的比例不同，前者的精確度高于后者。因此，引入相對誤差，它可以評價上述兩測量結果精確度的差別。相對誤差通常用百分比表示，所以又稱為百分比誤差。相對

4、誤差E定義為(1-8)式中的x通常取平均值，也可以用公認值或理論值代替。例  對某電壓測量的數據處理(見表1-1)。表1-1電壓的測量在計算過程中，誤差一般取一位且應與測量值的尾位對齊，誤差的尾數只進不退。本例中的偶然誤差分別用平均絕對誤差、標準誤差、平均標準誤差來表示時，其對應的測量結果為U=10.00±0.02V；U=10.00±0.03V；U=10.00±0.02V。 五、間接測量的誤差估算 物理實驗中的被測量N，往往通過與直接測量量的函數關系計算出來。我們稱N為間接測量量或復合量。計算間接測量量值時，是將各直接測量量的平均值代

5、入有關函數式求出。由于各直接測量量的平均值均有誤差，因此計算的結果也必然具有一定的誤差，這稱為誤差的傳遞，其誤差的大小取決于各直測量誤差的大小以及函數的具體形式。設間接測量量與若干個直測量有下述函數關系：Nf(x，y，)                (1-9)x，y，表示直測量。對上式求全微分，得：式中，dx，dy，和dN都是微小改變量，可以看成是各量值的誤差，并分別用x，y，和N代替它們，則絕對誤差公式表示為(1-11)式稱為函數誤差算術傳遞的基本公式。將(1-10)式兩邊平方后略去高階小項，得根據(1-11)式和(1-13)式，我們把常用函數的誤差算術傳遞公式和標準誤差傳遞公式列成表1-2以備查用。表1-2常用函數的誤差傳遞公式例  測得一金屬圓柱體的質量m=162.38±0.01g，長度1=39.92±0.01mm、直徑d=24.927±0.002mm，求其密度和誤差若題設中的誤差為平均絕對誤差，用誤差算術傳遞公式：求得其