高考講座-數(shù)列通項公式的求法

1、(44) 數(shù)列通項公式的求法 各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：，點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。二、公式法若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式求解。例2已知數(shù)列的前項

2、和滿足求數(shù)列的通項公式。解：由當時，有，經(jīng)驗證也滿足上式，所以點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并三、由遞推式求數(shù)列通項法對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全國卷I.22)已知數(shù)列中,其中，求數(shù)列的通項公式。P24（styyj）例3. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(20

3、04全國卷I.15)已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項 P24（styyj）例4. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，簡記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。（3）遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異例5設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.例6已知， ，求。解： 。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法

4、：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。(2006.重慶.14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項 P24（styyj）例7. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）（2006全國I.22）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項的和，（）求首項與通項； P25（styyj）解法：該類型較類型3要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例8. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊

5、乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式； P26（styyj）例9. 已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用進行求解。(2006.陜西.20) (本小題滿分12分) 已知正項數(shù)列an，其前n項和Sn滿足10Sn=an

6、2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項an P24（styyj）例10. 已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以類型7 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.解：因所以即（1）又因為所以.即（2）由（1）、（2）得：， 四、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪f

7、推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，從而得等比數(shù)列a+k。例12、數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數(shù)列 a2是以為公比，1為首項的等比數(shù)列a2=（） a=2（）說明：這個題目通過對常數(shù)1的分解，進行適

8、當組合，可得等比數(shù)列 a2，從而達到解決問題的目的。例13、數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項公式。解：由得設(shè)a，比較系數(shù)得解得是以為公比，以為首項的等比數(shù)列例14已知數(shù)列滿足，且，求解：設(shè)，則，是以為首項,以3為公比的等比數(shù)列點評：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型例15已知數(shù)列滿足， ，求解：將兩邊同除，得設(shè)，則令條件可化成，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列因,點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型2、通過分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這

9、種方法適用于型的遞推式，通過對系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。（2006.福建.文.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；例16、數(shù)列滿足=0，求數(shù)列a的通項公式。分析：遞推式中含相鄰三項，因而考慮每相鄰兩項的組合，即把中間一項的系數(shù)分解成1和2，適當組合，可發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列。解：由得即，且是以2為公比，3為首項的等比數(shù)列利用逐差法可得 = = = =例17、數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：由得設(shè)比較系數(shù)得，解得或若取，則有是以為公比，以為首項的等比數(shù)列由逐差法可得=說明：若本題中取，則有即得為常數(shù)列, 故可轉(zhuǎn)化為例13。

10、例18已知數(shù)列滿足,求解：設(shè)或則條件可以化為是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由,求出，從而化歸為上述已知題型五、特征根法1、設(shè)已知數(shù)列的項滿足,其中求這個數(shù)列的通項公式。作出一個方程則當時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.例19已知數(shù)列滿足：求解：作方程當時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是2、對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定

11、（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例20：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故3、如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。(2006.重慶.文.22)（本小題滿分12分）數(shù)列求數(shù)列的通項公式. 解：由已知，得，其特征方程為，解之，得，。 P26 (styyj)例21、已知數(shù)列滿足

12、性質(zhì)：對于且求的通項公式. 解: 數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例22已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)對于都有(2) 令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，當4，時，.(3)令則對于(4)、顯然當時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當時，則有令則得且2.當（其中且N2）時，數(shù)列從第項開始便不存在.于是知：當在集合或且2上取值時，無窮數(shù)列都不存在.說明：形如:遞推

13、式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型。(取倒數(shù)法)例23：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，六、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺.1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例24： 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項an.解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.例25： 數(shù)列中前n項的和，求數(shù)列的通項公式.解：當n2時，令，則，且是以為公比的等比數(shù)列，.2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.例26： 設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項公式an.解：由題設(shè)得.，.例27： 數(shù)列中，且，（nN*），求通項公式.解：（nN*）3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式，