微積分課件：第一章習題課

1、第一章 函數與極限(習題課）（一）函數的定義（一）函數的定義（二）極限的概念（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內容函函 數數的定義的定義反函數反函數隱函數隱函數反函數與直接反函數與直接函數之間關系函數之間關系基本初等函數基本初等函數復合函數復合函數初等函數初等函數函函 數數的性質的性質單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調性單調性有界性有界性周期性周期性雙曲函數與雙曲函數與反雙曲函數反雙曲函數左右極限左右極限兩個重要兩個重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質的性質極限存在的極限存在的充要條件充要條件判定極限判定極限存在的準則存在的準則無窮小的比較無窮

2、小的比較極限的性質極限的性質數列極限數列極限函函 數數 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價無窮小等價無窮小及其性質及其性質唯一性唯一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關系關系無窮大無窮大 )(limxf左右連續(xù)左右連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數連續(xù)函數的的 性性 質質初等函數初等函數的連續(xù)性的連續(xù)性間斷點定義間斷點定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件連續(xù)函數的連續(xù)函數的運算性質運算性質非初等函數非初等函數的連續(xù)性的連續(xù)性 振蕩間斷點振蕩間斷點 無窮間斷點無窮

3、間斷點 跳躍間斷點跳躍間斷點 可去間斷點可去間斷點第一類第一類 第二類第二類 求極限的常用方法求極限的常用方法1.利用連續(xù)性求極限利用連續(xù)性求極限;2.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;3.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;4.利用無窮小運算性質求極限利用無窮小運算性質求極限;5.利用左右極限求分段函數分段點處極限利用左右極限求分段函數分段點處極限;6.利用分子或分母有理化利用分子或分母有理化;7.利用兩個重要極限；利用兩個重要極限；8.利用等價無窮小替換；利用等價無窮小替換； 9.利用極限存在準則求極限利用極限存在準則求極限10.其它方法其它方法二、典型例題二、典型例題例例1

4、 1.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數求函數xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時時當當解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 則則xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn時時當當例例4 4.)sin1tan1(lim

5、310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設設,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例6 6.1,2cos1,1)(的連續(xù)性的連續(xù)性討論討論 xxxxxf 解解改改寫寫

6、成成將將)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內內連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然 xf,1時時當當 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時時當當 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(連連續(xù)續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連連續(xù)續(xù)在在 xf例例7 7).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得證明必有一點證明必有一點且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設設證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0