高等數(shù)學：9-3 三重積分

1、1三重積分的三重積分的概念概念三重積分的計算三重積分的計算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)(triple integral)第三節(jié)三重積分第三節(jié)三重積分第九章第九章 重積分重積分2是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的上的如當各小閉區(qū)域直徑中的最大值如當各小閉區(qū)域直徑中的最大值在每個在每個iv ),(iii ),2 , 1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1. 三重積分的定義三重積分的定義nvvv ,21將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域 其中其中iv 并作和并作和作乘積作乘積),(zyxf設設有界函數(shù)有界函數(shù). .也表示它的體積也表示它的體積.表示第表示

2、第i個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域,上任取一點上任取一點三重積分三重積分一、三重積分的概念一、三重積分的概念(define)3記為記為函數(shù)函數(shù)),(zyxf趨于零時這和的極限總存在趨于零時這和的極限總存在,iiiniivf ),(lim10 則稱此極限為則稱此極限為 在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的三重積分上的三重積分. vzyxfd),(即即 vzyxfd),(體積元素體積元素三重積分三重積分43. 三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義設被積函數(shù)設被積函數(shù), 1),( zyxf VvVd1連續(xù)函數(shù)一定可積連續(xù)函數(shù)一定可積2. 三重積分存在性三重積分存在性則區(qū)域則區(qū)域V 的體積為的體積為在在上是可積的上是可積的.)

3、,(zyxf當當?shù)娜胤e分存在性時的三重積分存在性時,),(zyxf稱稱三重積分三重積分(existence)54. 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類似與二重積分的性質(zhì)類似.補充三重積分補充三重積分vzyxfd),(0為為f的的偶偶函函數(shù)數(shù)z對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關(guān)于變量關(guān)于變量z的的奇奇 函數(shù)函數(shù).即對稱點的函數(shù)值即對稱點的函數(shù)值僅僅符號相反（或者是函數(shù)值相等）僅僅符號相反（或者是函數(shù)值相等） vzyxfd),(則則 (1),坐標面對稱坐標面對稱xOy關(guān)于關(guān)于的的奇奇函函數(shù)數(shù)z為為f21 若域若域xOy在在為為其中其中 1坐標面的上半部區(qū)域坐標

4、面的上半部區(qū)域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)三重積分三重積分(property)6或或,坐標面對稱坐標面對稱關(guān)于關(guān)于xOz 的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是yf而得結(jié)果為零而得結(jié)果為零.例例,2222azyx vzyxd22 vzy d2 0vzy d221 0 則則為為設域設域 部分部分的的為為01 z ,1坐標面對稱坐標面對稱關(guān)于關(guān)于xOz 的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是yf,坐標面對稱坐標面對稱關(guān)于關(guān)于xOy 的偶函數(shù)的偶函數(shù)是是zf三重積分三重積分7例例,2222azyx vyzxd2 0 vzyd22 vzyd4222 0的的偶偶函函數(shù)數(shù)yx,4vzyxfd),( vzyxfd),(則則(2),

5、都對稱都對稱xOzyOz關(guān)于兩個坐標面關(guān)于兩個坐標面 若域若域 同同為為f 是是其中其中2在第一在第一,五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域.為為設域設域 是是2在一在一,五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域,則則2 三重積分三重積分f, x y為之一的奇函數(shù)8 1988年研究生考題年研究生考題,選擇選擇,3分分, 0,22221 zRzyx：設空間區(qū)域設空間區(qū)域 ;d4d)(21 vxvxA;d4d)(21 vyvyB;d4d)(21 vzvzC.d4d)(21 vxyzvxyzDC則則( )成立成立.三重積分三重積分22222,0,0,0,xyzRxyz：9關(guān)于關(guān)于三個三個坐標坐標面面都都對稱對稱

6、,在第在第一一卦限部分的區(qū)域卦限部分的區(qū)域.例例,2222azyx vyzxd 0 vzyd22 vzyd8223 0f同同為為f vzyxfd),(則則 若域若域(3)的的偶偶函函數(shù)數(shù)zyx,3 vzyxfd),(8 是是其中其中3為為設域設域 是是3在第一在第一 三重積分三重積分卦限的部分卦限的部分, 則則, ,zx y為之一的奇函數(shù)10 vzyxfd),(則則 為為f0為為f vzyxfd),(2(4)4 關(guān)于關(guān)于原點對稱原點對稱,的奇函數(shù)的奇函數(shù)zyx,的的偶偶函函數(shù)數(shù)zyx,三重積分三重積分關(guān)于原點對稱的一半?yún)^(qū)域關(guān)于原點對稱的一半?yún)^(qū)域.4其中為 中若( , , ),(,)x y zx

7、yz (,)( , , )fxyzf x y z (,)( , , )fxyzf x y z特別注意：特別注意：對稱點上積分微元的相等對稱點上積分微元的相等或者是剛好反號是問題的本質(zhì)屬性！或者是剛好反號是問題的本質(zhì)屬性！11.lkjizyxv 則則zyxvdddd 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 在直角坐標系下計算三重積分在直角坐標系下計算三重積分故故直角坐標系下直角坐標系下的體積元素為的體積元素為在直角坐標系下在直角坐標系下三重積分可表為三重積分可表為 vzyxfd),().(是是小小長長方方體體iv 在直角坐標系中在直角坐標系中, 如果用平行于坐標面的如果用平行于坐標面的平面的來

8、劃分平面的來劃分, zyxzyxfddd),(三重積分三重積分12直角坐標系中將三重積分化為三次積分直角坐標系中將三重積分化為三次積分),(:11yxzzS Dyx ),(,1穿入穿入從從 z 投影法投影法思想是思想是),(:22yxzzS ( (先一后二法先一后二法) )如圖如圖, 閉區(qū)域閉區(qū)域 xOy在在面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域D, ,過點過點作直線作直線,穿出穿出從從2z三重積分三重積分xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z13,看作定值看作定值先將先將yx ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyx

9、fyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型),(yxF再計算再計算zzyxf只看作只看作將將),(的函數(shù)的函數(shù),上的二重積分上的二重積分在閉區(qū)間在閉區(qū)間 Dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd三重積分三重積分則則14 vzyxfd),( 軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于 z如何寫出當如何寫出當D為為Y型閉域型閉域時時,21( , )( , )( , , )dzx yzx yf x y zz21( )( )ddbyxayxx

10、y注注化為三次積分的公式化為三次積分的公式三重積分三重積分S的邊界曲面的邊界曲面內(nèi)部的直線與閉區(qū)域內(nèi)部的直線與閉區(qū)域 相交不多兩點情形相交不多兩點情形.三重積分三重積分15所以所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積三重積分可以化為六種不同次序的三次積分分(累次積分累次積分).和積分域和積分域選取適當?shù)娜畏e分進行計算選取適當?shù)娜畏e分進行計算.解題時解題時, 要依據(jù)具體的被積函數(shù)要依據(jù)具體的被積函數(shù)),(zyxf同樣同樣,也可以把積分域也可以把積分域向向yOz、zOx面投影面投影.三重積分三重積分16,dddcos43zyxzyxIV .20, 10, 10),( zyxzyxV 解解 由

11、于由于V是長方體是長方體, 故故20115141 Iyy d104 xx d103 例例三次積分的上、下限三次積分的上、下限都是常數(shù)都是常數(shù),三重積分三重積分計算三重積分計算三重積分其中其中V是長方體是長方體 xyzO2 zzdcos017解解1:22 yxD化三重積分化三重積分 zyxzyxfIddd),(為三次積分為三次積分,例例222yxz 22xz 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 22222xzyxz由由三重積分三重積分其中積分區(qū)域為由曲面其中積分區(qū)域為由曲面得交線得交線, 由此推出投影區(qū)域由此推出投影區(qū)域 ：故故 2211xyx 11 xz 11221122222d),(ddxy

12、xxxzzyxfyxI 222yx22x xyzO22xz 222yxz 18例例 求求 zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解解2ye 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),應先應先x對積分對積分 zyx10d 10d)1(yy2114e一定要一定要交換積分次序交換積分次序. I211(1)00(1)ddyy zyyez 1 zyx三重積分三重積分xyzO 10d)1(yy yzyzye102)1()1(d2 yzyzzye10)1(d)1(219,dddzyxzxyV 計計算算所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域與與平平面面1 z解解 畫積分區(qū)域的草圖畫積分區(qū)域的草圖.采用

13、采用先對先對x積分積分, 再對再對y、z積分積分的方法簡單的方法簡單.,10 ,0),( zzyzyDyz,),(yzDzy .022yzx 220010ddd1yzzxxyyzzI zyyzyzz02210d2d1zz d811027 222yxzV 為錐面為錐面其中其中例例.在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的部部分分三重積分三重積分將將V向向yOz平面投影平面投影對任一對任一x取值為取值為.361 先對先對z積分積分?得平面區(qū)域得平面區(qū)域xyzO1 20 截面法截面法(紅色部分紅色部分)( (先二后一法先二后一法) )截面法的一般步驟截面法的一般步驟(1)向某軸向某軸把積分區(qū)域把積分區(qū)域 )(軸

14、軸如如z投影投影, ,得投影區(qū)間得投影區(qū)間;,21cc(2),21ccz 對對, 的平面去截的平面去截軸且平行軸且平行用過用過xOyz;zD得截面得截面(3)計算二重積分計算二重積分 zDyxzyxfdd),();(zFz的函數(shù)的函數(shù)其結(jié)果為其結(jié)果為(4).d)(21 cczzF最后計算單積分最后計算單積分xzoy 1c2czzD三重積分三重積分21 即即 zDyxzyxfcczvzyxfdd),(dd),(21 cczzF21d)(當被積函數(shù)僅與變量當被積函數(shù)僅與變量z有關(guān)有關(guān),截面法的公式還有兩個截面法的公式還有兩個.用上公式簡便用上公式簡便. 希自己推希自己推注注且截面且截面Dz易知時易

15、知時,三重積分三重積分22 zyxzddd zDyxdd1| ),(zyxyxDz zDyxdd截面法截面法( (先二后一法先二后一法)解解)1)(1(21zz 10dzz計算三重積分計算三重積分 ,dddzyxz為為其中其中 例例.1所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域三個坐標面及平面三個坐標面及平面 zyx原式原式= zzzd)1(21210.241三重積分三重積分111xyzO1 zyxzD23 zzyxyzz101010ddd zyzyzz1010d)1(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) xzd dyzDzy 10計算三重積分計算三重積分 ,dddzyxz為為其中其中 .1所圍成的閉

16、區(qū)域所圍成的閉區(qū)域三個坐標面及平面三個坐標面及平面 zyx三重積分三重積分 zyxzddd 102d)(121zzz.241 111xyzO1 zyx zyxzddd yxDzzxy10dd 24已知橢球已知橢球V: 內(nèi)點內(nèi)點(x,y,z)處質(zhì)量處質(zhì)量的體密度為的體密度為: 求求橢球的橢球的質(zhì)量質(zhì)量.1222222 czbyax提示提示vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 ,222222czbyax 三重積分三重積分25解解因為因為vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 而而 vaxVd22等于等于 xDzy

17、dd 222211axcaxb xaxaad22 zyddxD:1222222的面積的面積橢圓橢圓axczby 221axbc 其中其中三重積分三重積分26由對等性知由對等性知abc 154 VVvczvbydd2222因此因此.54abcM 所以所以 vaxVd22xaxaad22 xDzydd)1(dd22axbczyxD abc 154三重積分三重積分22222(1)daabcxxxaa27xyzO222224yxzyxaz 及及求曲面求曲面.V所所圍圍立立體體體體積積解解 兩曲面的交線為兩曲面的交線為 22222ayxaz所以所以,:xyDxOyV面面的的投投影影域域在在2222ayx

18、 VvVd 222224ddyxayxDzxy xyDyxyxa d)4(22222 d)4(d202220 aa例例極坐標極坐標三重積分三重積分38(22).3a28,0 ,20 z規(guī)定規(guī)定xyzo ),(zyxM),( Pz , , 直角坐標直角坐標與與柱面坐標柱面坐標的關(guān)系為的關(guān)系為cos ,sin ,xyzz 就叫點就叫點M的的柱面坐標柱面坐標.三重積分三重積分2. .利用柱面坐標利用柱面坐標計算三重積分計算三重積分cylindrical coordinates設設M(x, y, z)為空間內(nèi)一點為空間內(nèi)一點,并設點并設點M在在xOy面上的投影面上的投影P的極坐標為的極坐標為則這樣的三

19、個數(shù)則這樣的三個數(shù)29為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 柱面坐標柱面坐標系中系中, 以以z軸為中心軸的軸為中心軸的圓柱面圓柱面；過過z軸的軸的半平面半平面.與與xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐標面分別為三坐標面分別為z , 三重積分三重積分稱點稱點M的柱面坐標的柱面坐標),(zyxM),( PxyzO 30 xyzo 柱面坐標系柱面坐標系中的中的體積元素體積元素為為zvdddd V 在在柱面坐標系柱面坐標系中中, 如圖如圖,V 得小柱體得小柱體即即直角坐標系直角坐標系下三重積分與下三重積分與(紅色部分紅色部分).若以三坐標面分割空間區(qū)域若以三坐標面分割空間區(qū)域柱柱(面面)坐標系

20、坐標系下三重下三重積分的關(guān)系是積分的關(guān)系是 z 三重積分三重積分 z 31 如何計算如何計算柱坐標系柱坐標系下三重積分下三重積分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd 回想回想直角坐標系直角坐標系下計算三重積分方法下計算三重積分方法.將三重積分化為將三重積分化為,cos x,sin yzz 三次積分三次積分( (累次積分累次積分) )zvdddd 三重積分三重積分32 zyxzyxfddd),(柱坐標系柱坐標系下三重積分的計算下三重積分的計算, 可得可得柱坐標系柱坐標系下三重積分化為下三重積分化為三次積分三次積分 baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),

21、(),(2121d),(ddz , 與與x, y, z等同的看為三個變量等同的看為三個變量. 如如,極坐標極坐標不等式表示不等式表示, ).()(21 只要把被積只要把被積函數(shù)中的函數(shù)中的的計算公式的計算公式. 類比公式類比公式先先將將在在xOy面上的投影域用面上的投影域用三重積分三重積分33從而從而, ),()(21 zzfddd),sin,cos(故故 ),(),(21d),sin,cos( zzzzf )()(21d d: 再再確定確定的下的下, 上邊界面上邊界面),(1 zz ),(2 zz 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積三重積分三重積分、 、z. 12( , )( , )z

22、zz 34如積分域如積分域為圓柱域為圓柱域(如圖如圖). 20 ,0R ,0Hz vzyxfd),(則則: HRzzf0020d),sin,cos(dd 三重積分三重積分xyzO3520 ,0az ,cos20 解解 cos2 例例,d22 vyxz計算計算)0(0222 yxyx 所圍成所圍成.積分域用積分域用柱坐標柱坐標表示為表示為.982a 20d azz0d cos202d z原式原式 zddd 其中其中由半圓柱面由半圓柱面0, 0, 0 azzy及平面及平面: 三重積分三重積分Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222 xyx36例例222

23、yxz 已知立體內(nèi)任一點的質(zhì)量的體密度已知立體內(nèi)任一點的質(zhì)量的體密度解解vyxkMd)(22 因為因為222yxz 平面平面2222 yx柱面坐標柱面坐標求曲面求曲面2 z與與所圍立體的質(zhì)量所圍立體的質(zhì)量M,與該點與該點 到到z軸的距離的平方成正比軸的距離的平方成正比.22()(0)k xyk常數(shù)的的交線交線是是2 z與與2 z上的圓上的圓體密度函數(shù)為體密度函數(shù)為三重積分三重積分xyzO2 z222yxz 37的的下邊界面下邊界面是是),(2122yxz 上邊界面上邊界面是是故故zkddd2 222d z k316 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域xy 即即vyxkMd)(22 是半

24、徑為是半徑為2的圓域的圓域 d203 20dk . 2 z三重積分三重積分xyzO422 yxxy 02 , 0221;2z38解解zezddd2 如先對如先對z積分積分其中其中是由錐面是由錐面例例,ddd222zyxyxez 計計算算與平面與平面22yxz zyxyxezddd222 21 zz、所圍成的錐臺體所圍成的錐臺體.柱面坐標柱面坐標三重積分三重積分xyzO22yxz 39xyzO可看出如先對可看出如先對z積分積分,zezd2 (積不出來積不出來).zezddd2 ).(4ee zzezd2212 212ze 將遇到積分將遇到積分最后對最后對z積分積分.zyxyxezddd222 d

25、dd2zez0z 2120三重積分三重積分這里應先對這里應先對 、 積分積分,22yxz 40解解2)(zyx 222zyx 對稱性質(zhì)對稱性質(zhì))(2zxyzxy 是關(guān)于是關(guān)于yzxy 關(guān)于關(guān)于且且 vyzxyd)(0例例,d)(2vzyx 計算計算是拋物面是拋物面其中其中 所圍成的空間閉區(qū)域所圍成的空間閉區(qū)域.,的奇函數(shù)的奇函數(shù)y.面對稱面對稱zOx三重積分三重積分222222 zyxyxz和球面和球面同理同理,的奇函數(shù)的奇函數(shù)是關(guān)于是關(guān)于xzx.面對稱面對稱關(guān)于關(guān)于且且yOz vxzd0 xyzO2222 zyx22yxz 41vzyxd)(222 計算計算 20 10 222 z 三重積分

26、三重積分 d)2(222103 20102322dddzvyxd)(22 zddd3 vzyxd)(2 柱坐標柱坐標 ).19216(15 xyzO2222 zyx22yxz 42).89290(60 vz d2 ,1323260 所以所以 222210dd zz 20d 對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)vzyxd)(222 2221020: z4三重積分三重積分vzyxd)(222 計算計算vzyxd)(2 的的偶偶函函數(shù)數(shù)yx,都對稱都對稱xOzyOz,關(guān)于兩個坐標面關(guān)于兩個坐標面同同為為fvyxd)(22 )19216(15 vzyxd)(2 43 當被積函數(shù)是當被積函數(shù)是),(),(),(22xyzf

27、xyzfyxzf 積分域積分域由圓柱面由圓柱面 (或一部分或一部分)、錐面、拋物面、錐面、拋物面用用所圍成的所圍成的.柱面坐標柱面坐標計算三重積分較方便計算三重積分較方便.三重積分三重積分44選擇題選擇題 曲面曲面 之內(nèi)及曲面之內(nèi)及曲面 zzyx2222 22yxz 之外所圍成的立體的體積之外所圍成的立體的體積.ddd)(2211020 zA.ddd)(2111020 zB.ddd)(110202 zC.ddd)(22111020 zDD).( V三重積分三重積分xyzOxyzOxyzO1:22 yxxy 45錐面錐面 被圓柱面被圓柱面22yxz 所截所截,求錐面下方、求錐面下方、 xOy面上

28、方、圓柱內(nèi)的區(qū)域面上方、圓柱內(nèi)的區(qū)域V 的體積的體積.xyx222 解解V=2V1, 提示提示 1d2VvV.932 12d d dVz zddd2 0 cos2002 V1為第一卦限部分的體積為第一卦限部分的體積.三重積分三重積分柱坐標柱坐標xyzOxyzOxyzO46 r P zyxA,0 記投影記投影向量與向量與x軸正方向的軸正方向的.20 ),( r規(guī)定規(guī)定, ,0 r),(zyxM OM再再將將正方向間的夾角為正方向間的夾角為軸軸與與zOM, r夾角為夾角為球面坐標球面坐標.稱稱為點為點M的的之之長長為為記記向向量量OM三重積分三重積分2. .利用球面坐標利用球面坐標計算三重積分計算

29、三重積分xyzO設設M(x, y, z)為空間內(nèi)一點為空間內(nèi)一點,向向xOy平面投影平面投影,47為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 球面坐標系球面坐標系中的三坐標面分別為中的三坐標面分別為原點為心的原點為心的球面球面；過過z軸的軸的半平面半平面球面坐標與直角坐標的關(guān)系球面坐標與直角坐標的關(guān)系為為,sinsin ry ,cossin rx cosrz 為常數(shù)為常數(shù) 原點為頂點、原點為頂點、z軸為軸為軸的軸的圓錐面圓錐面；三重積分三重積分 r zyxA),(zyxM xyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzO48球面坐標系球面坐標系中的中的體積元素體積元素為為rxyzo r dddsind2rrv

30、V 若以三坐標面分割空若以三坐標面分割空, V 得小六得小六面體面體(紅色部分紅色部分).于是于是,在在球面坐標系球面坐標系中，中， r sinr r 間區(qū)域間區(qū)域三重積分三重積分 sinr r sinr49 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先積積r、再再積積 . 后積后積2cos )sind d drrr (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin r三重積分三重積分50如積分域如積分域為球域為球域(如圖如圖).: Rfvf0020(ddd 則則,0 ,0Rr 20 ,cossin r,sinsin r

31、cosr sin2rrd三重積分三重積分xyzO)51az cosar 222zyx 4 .cos0 ar 解解 法一法一 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 計算計算例例是錐面是錐面其中其中 所圍的立體所圍的立體. .)0(222 aazzyx與平面與平面球面坐標球面坐標三重積分三重積分xyzOaz 222zyx 52 zyxyxIddd)(22raddd40cos020 d)0cos(51sin255403 a.105a cossinsincossinrzryrx cos0ar ,40 : ,20 34sinr三重積分三重積分2dsin d d dvrr 53 zyx

32、yxIddd)(22 aaz ddd2020 aa03d)(2 54254aaa .105a azzyx222az 法二法二 采用采用:xyD: ,0a ,20 柱面坐標柱面坐標222ayx z222ayx 三重積分三重積分xyzOaz 222zyx 54解解4 ,40 22222azyx 由由22yxz 由由: ,20ar 采用采用例例由錐面和球面圍成由錐面和球面圍成, , 所成的公共部分的體積所成的公共部分的體積. .2222222xyzazxy求由立體與球面坐標球面坐標三重積分三重積分 V zyxddd1 ar20020ddd4 .)12(343a 403d3)2(sin2 a sin2

33、rxyzO022dsin d d dvrr 2ra55解解積分域關(guān)于積分域關(guān)于xOy坐標面對稱，坐標面對稱， zyxzyxzyxzddd1)1ln(2222220 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222被積函數(shù)是被積函數(shù)是z的奇函數(shù)的奇函數(shù).例例利用利用對稱性對稱性簡化計算簡化計算其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域. 1222 zyx為為 三重積分三重積分xyzO56 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222球球rddd sin2r01 00 2 10223020d1)1ln(dcossindrrrr 或或積分區(qū)域積分區(qū)域1222 zyx為為 cosr)1ln(2r 21r 00(

34、sincos d0) 三重積分三重積分57當積分區(qū)域是球形域當積分區(qū)域是球形域或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面, ,被積函數(shù)具有被積函數(shù)具有的形式時的形式時, ,用用球面坐標球面坐標計算三重積分較簡便計算三重積分較簡便. .或是球的一部分或是球的一部分;三重積分三重積分222()f xyz581989年研究生考題年研究生考題(數(shù)學一數(shù)學一)計算計算, 5分分 .d)(vzx求求解解 vzxd)( vxd vzd 積分域積分域被積函數(shù)是被積函數(shù)是 vxd圍成的空間區(qū)域圍成的空間區(qū)域, ,x的奇函數(shù)的奇函數(shù).面面對對稱稱，關(guān)關(guān)于于yOz0三重積分三重積分

35、 vzd dd cosr sin2r rd014 200)(20 )sin21(402 )41(104r .8 球球請再用柱面坐標做請再用柱面坐標做.xyzO22221zxyzxy設 是曲面與59 2003年研究生考題年研究生考題(數(shù)學一數(shù)學一) 12分分三重積分三重積分 設函數(shù)設函數(shù))(xf 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零,d)(d)()()(22)(222 tDtyxfvzyxftF ,d)(d)()(2)(22 tttDxxfyxftG 其中其中,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性

36、. (2) 證明證明,0時時當當 t).(2)(tGtF 60三重積分三重積分,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 解解 因為因為 )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF 球球極坐標極坐標 200220dsin)(ddtrrrf tf0220d)(d ttfrrrf02022d)(d)(2 ttrrrfrrrf02022d)(d)(2 (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性.rrr61三重積分三重積分 )(tF2 trrtrrfttf022d)()()( ttrrrfrrrftF02022d)(

37、d)(2)( trrrf022d)( 設函數(shù)設函數(shù))(xf 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零 所以所以,內(nèi)內(nèi)在在), 0()( tF 單調(diào)增加單調(diào)增加.0 ), 0( t (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性.62 (2) 證證 因因 (2) 證明證明,0時時當當 t).(2)(tGtF 三重積分三重積分 ttrrfrrrf0202d)(d)( ,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD tttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22 要證明要證明,0時時 t),(2)(tGtF 只需證明只需證明,0時時 t, 0)(2)( t

38、GtF 即即20202202d)(d )(d)(rrrfrrfrrrfttt )(tg ttrrrfrrrftF02022d)(d)(2)(令令. 0 63三重積分三重積分則則rrtrftftgtd)()()(0222 0 故故內(nèi)內(nèi)在在), 0()( tg 單調(diào)增加單調(diào)增加.因為因為,0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 ttg所以所以有有時時當當,0 t).0()(gtg ,0, 0)0(時時故當故當又又 tg, 0)( tg因此因此,0時時當當 t).(2)(tGtF (2) 證明證明,0時時當當 t).(2)(tGtF 設函數(shù)設函數(shù))(xf 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零20202202d)(d )(d)()(rrrfrrfrrrftgttt 64柱面坐標系下柱面坐標系下計算三重積分計算三重積分柱面坐標體積元素柱面坐標體積元素 )三重積分三重積分三、小結(jié)三