處理橢圓最值問(wèn)題的八大策略

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流處理橢圓最值問(wèn)題的八大策略.精品文檔.處理橢圓最值問(wèn)題的八大策略數(shù)學(xué)組 陳東生 圓錐曲線最值問(wèn)題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣,處理方法靈活等特點(diǎn)為高考命題者在此知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)綜合問(wèn)題提供了理論依據(jù)。如何選用恰當(dāng)方法，明晰解題思路，是多數(shù)考生亟待解決的問(wèn)題，筆者，教你“八招”。一：探求變量間的相關(guān)函數(shù)例1：點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值。解：（1）略 （2）直線AP的方程是+6=0。 設(shè)

2、點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是。 于是=,又66,解得=2。 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離由于66, 當(dāng)=時(shí),d取得最小值點(diǎn)評(píng)：本題求解難點(diǎn)是如何將動(dòng)點(diǎn)M與橢圓上點(diǎn)P間的距離表示成某個(gè)變量的函數(shù)，常見(jiàn)處理方法是大膽引入變量，利用設(shè)而不求方法或直接換元變多元為一元函數(shù)進(jìn)行求解二：尋求橢圓特征量的等式或不等式例2：若為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。解：不妨設(shè)，則，利用到角公式及得：（），又點(diǎn)在橢圓上，故， 化簡(jiǎn)得又即則， 解得。故橢圓離心率的最小值為。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題求解關(guān)鍵是如何建立橢圓中的三大特征量之間的關(guān)系。常用方法是通過(guò)對(duì)橢圓上的特殊點(diǎn)（如頂點(diǎn)、

3、焦點(diǎn)）的連線或由其圍成的圖形進(jìn)行。分析，確定滿足的條件，進(jìn)而求解。三、利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程特征巧用三角代換求最值： 例3求橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離. 解：橢圓的參數(shù)方程為則橢圓上任意一點(diǎn)P坐標(biāo)為,到直線的距離為= ，d取最大值，即；，d取最小值，即 點(diǎn)評(píng)：因?yàn)闄E圓方程為類似于三角中的同角的平方關(guān)系,故經(jīng)常用三角代換轉(zhuǎn)化為角的運(yùn)算，對(duì)于解題往往會(huì)收到奇效，但一定要注意角的范圍.四：利用焦點(diǎn)三角形相關(guān)性質(zhì)求最值例4：已知橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)為，如果曲線C上存在一點(diǎn)Q，使，求橢圓離心率的最小值。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小值為。點(diǎn)評(píng)：此法求最值問(wèn)題關(guān)鍵是合理利

4、用焦點(diǎn)三角形正弦定理或余弦定理建立的邊角關(guān)系，再利用橢圓定義確定其隱含條件，找出其變量關(guān)系，建立等式并利用三角函數(shù)的有界性解題。五：利用題中數(shù)字特殊性由第二定義轉(zhuǎn)化例5已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)（1，0）是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，求|PA|+3|PF|的最小值. 解：橢圓右準(zhǔn)線設(shè)P在上的射影為D，由橢圓第二定義有.過(guò)A作于E,交橢圓于P3, P3使得達(dá)到最小值為7 點(diǎn)評(píng)：利用第二定義實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化，本小題一般情形假如題設(shè)與本題類同，所求的便是的最小值六：利用橢圓的對(duì)稱美例6已知的焦點(diǎn)為F1、F2，在直線上找一點(diǎn)M,求以F1、F2為焦點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)M且點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的橢圓方程.

5、oxyF1F2MF1解：F1（-2，0）、F2（2，0），F(xiàn)1關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為F1(-6,-4),連接F1 、F2交于點(diǎn)M即為所求，,c=2, b2=16，所求橢圓為.點(diǎn)評(píng)：橢圓是一個(gè)很對(duì)稱的幾何圖形對(duì)稱是數(shù)學(xué)美的一個(gè)非常重要的方面，充分發(fā)掘幾何圖形的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以把復(fù)雜的運(yùn)算簡(jiǎn)單化.七：利用平面幾何知識(shí)PMyOlF1F2xN例7：如圖，在直線上任意取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)作橢圓，問(wèn)當(dāng)在何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出最短長(zhǎng)軸為多少？解：橢圓的兩焦點(diǎn)分別為（3，0）、（3,0），作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線的方程為由方程組得的坐標(biāo)（6，3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)（9,6）

6、,所以直線的方程。解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)（5,4）。由于，點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問(wèn)題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形邊間關(guān)系或兩點(diǎn)連線最短、垂線段最短的思想，此法較直觀，易于求解。八、借助向量有關(guān)結(jié)論解題例8 P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x2+=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸上的焦點(diǎn).已知與共線，與共線，且·=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值. 解. 即.當(dāng)MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時(shí)，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設(shè)MNy軸，則PQx軸.F(0, 1) MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2S四邊形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2當(dāng)MN,PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，設(shè)MN的方程為y=kx+1 (k0)，代入橢圓中得(k2+2)x2+2kx1=0, x1+x2=, x1·x2=同理可得：S四邊形PMQN=|MN|·|PQ|=(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)).又S四邊形PMQN =，此時(shí), S四邊形PMQN綜上可知：(S四邊形PMQN )max=2, (S四邊形PMQN )min= 點(diǎn)