中國民航大學(xué)大學(xué)物理學(xué)第05章剛體力學(xué)基礎(chǔ)

1、2021/4/212021/4/225-1 5-1 剛體的運動剛體的運動5-2 5-2 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律 5-3 5-3 定軸轉(zhuǎn)動的功和能定軸轉(zhuǎn)動的功和能 5-5 5-5 進動進動5-4 5-4 定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 和角動量守恒定律和角動量守恒定律2021/4/232021/4/241.1.剛體剛體 內(nèi)部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不內(nèi)部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。 剛體是實際物體的一種理想的模型剛體是實際物體的一種理想的模型 剛體可視為由無限多個彼此間距離保持不變的質(zhì)剛

2、體可視為由無限多個彼此間距離保持不變的質(zhì)元組成的質(zhì)點系。元組成的質(zhì)點系。2021/4/252.1 2.1 平動：平動：運動過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運動運動過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。過程中始終保持方向不變。 特點：特點：剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加速度。速度。2.2.剛體的運動剛體的運動2021/4/262.2 2.2 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：剛體上所有質(zhì)點都繞同一軸線作圓周運動。剛體上所有質(zhì)點都繞同一軸線作圓周運動。若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱為若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱為定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動。特點：特點：剛體內(nèi)所有點具有相同的角位移、角速度和

3、剛體內(nèi)所有點具有相同的角位移、角速度和角加速度。角加速度。zO2021/4/273.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 3.1 3.1 定軸轉(zhuǎn)動的角量描述定軸轉(zhuǎn)動的角量描述 角位置：角位置： ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dddtdtxOP rv 角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動中其方向沿轉(zhuǎn)軸角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。的方向并滿足右手螺旋定則。2021/4/28角量的單位為角量的單位為rad,rad/s,rad/s2。質(zhì)點作勻變速曲線運動時，其角量的變化規(guī)律與勻變質(zhì)點作勻變速曲線

4、運動時，其角量的變化規(guī)律與勻變速直線運動中線量的規(guī)律相似，表示如下：速直線運動中線量的規(guī)律相似，表示如下：22020t20012tt2021/4/293.2 3.2 角量和線量的關(guān)系角量和線量的關(guān)系rv 2tnararxOP rv質(zhì)元轉(zhuǎn)過的圓弧長：質(zhì)元轉(zhuǎn)過的圓弧長：rsrv2021/4/2102021/4/2111.1.力對轉(zhuǎn)軸的力矩力對轉(zhuǎn)軸的力矩 力對轉(zhuǎn)軸上參考點力對轉(zhuǎn)軸上參考點O O的力矩矢量的力矩矢量: : FrMFrMzzrOPdFzr大?。捍笮。簊inFrMz方向：方向：，即沿轉(zhuǎn)動軸方向方向沿Fr2021/4/212 力對轉(zhuǎn)軸的力矩矢量力對轉(zhuǎn)軸的力矩矢量zFO rrOPdF/Fzr一

5、般情況一般情況FFF/平行轉(zhuǎn)軸平行轉(zhuǎn)軸 垂直轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸 能改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)只有FFrMz2021/4/213FrMz結(jié)論：結(jié)論：zdPOrFFzFO rzr 力對轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩力矩等于在等于在轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的外力內(nèi)的外力 F 的大的大小和小和 F 與軸之間的垂直距離與軸之間的垂直距離 d 的乘積。的乘積。2021/4/2142 2剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量2.1 2.1 質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量：質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量： 質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸上參考點質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸上參考點O O的角動量矢量的角動量矢量: : zmOrpprLprLz大?。捍笮。簉prpLzsin方向：方向：，即沿轉(zhuǎn)動軸方向方向

6、沿pr2021/4/215zdmOrpP/pO rzr對轉(zhuǎn)軸的角動量對轉(zhuǎn)軸的角動量一般情況一般情況ppp/平行轉(zhuǎn)軸平行轉(zhuǎn)軸 垂直轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸 對軸向角動量有貢獻只有pprLz2021/4/216zLrp結(jié)論：結(jié)論：zdmOrpP/pO rzr對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的角動量角動量等于在等于在轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的動量內(nèi)的動量p 的大小的大小和和 p與軸之間的垂直距離與軸之間的垂直距離 d 的乘積。的乘積。2021/4/2172.2 2.2 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量 zOriimiv 組成剛體的所有質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量的和組成剛體的所有質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量的和: :2izii ii iLmv rmr

7、 ziiiiiizJrmrmL)(22iiizrmJ2剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量： 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量：剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量： zzLJ2021/4/2183 3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律dtLdM)(zzzJdtddtdLM若若常量zJ，則，則zzJM簡寫為：簡寫為：JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 2021/4/219連續(xù)體：連續(xù)體：dmrJ24.2 4.2 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算4 4轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量4.1 4.1 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性大小剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性大小 的量度。的量度。 2iirmJ分立體：分立體：

8、計算轉(zhuǎn)動慣量的三個要素計算轉(zhuǎn)動慣量的三個要素:(1):(1)總質(zhì)量總質(zhì)量 (2)(2)質(zhì)量分質(zhì)量分布布 (3)(3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置2021/4/220(1) I (1) I 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉(zhuǎn)動慣量例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉(zhuǎn)動慣量LzOxdxM2020231MLdxLMxdxxILL 木木鐵鐵II4 4轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2021/4/221(2) (2) I I 與質(zhì)量分布有關(guān)與質(zhì)量分布有關(guān)例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dlOmRRO

9、mrdrdlRdmRIRL 202022203222mRRmRdlRR rdrds 2dsdm rRmrrRmd2d222 2302022d2dRmrrRmmrIRm2021/4/222OLxdxMzLOxdxMz(3) (3) I I 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)20231dMLxxIL 2222121dMLxxILL 2021/4/2234.3 4.3 平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：平行軸定理：2zCJJmdiririmCOzzd2222222()(2)()0zi iiiiiiiiiii iiiiCJmrm rdm rdr dmrm dJmd2021/4/22

10、4垂直軸定理垂直軸定理:yxzJJJimOzxyxiyiri22222()zi iiiiiiiiiiiixyJmrm xym xm yJJ2021/4/225解：（解：（1 1）對對稱軸）對對稱軸dRdmldJ4421cos321212420 441418cos32mRRdRJ 例例 求質(zhì)量均勻分布的半圓形薄板對（求質(zhì)量均勻分布的半圓形薄板對（1 1）它的對稱）它的對稱軸；（軸；（2 2）它的直邊；（）它的直邊；（3 3）通過質(zhì)心平行于直邊的軸的轉(zhuǎn)）通過質(zhì)心平行于直邊的軸的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓弧直徑為動慣量。設(shè)圓弧直徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 。 mRmCR)3()2() 1 (Oxy取半圓上取半圓上

11、窄條窄條為為 。dyyydmdRRlddm22cos2 )sin(cos2sinRlRydy2021/4/226（2 2）對直邊）對直邊mCR)3()2() 1 (OxyDJ設(shè)設(shè) 為整圓對直徑的轉(zhuǎn)動慣量。為整圓對直徑的轉(zhuǎn)動慣量。DJJ211因因 和和 DJJ212故有故有 21241mRJJ（3 3）對通過）對通過C且平行于直邊（且平行于直邊（2 2）232mdJJ應(yīng)用平行軸定理：應(yīng)用平行軸定理： ，先求質(zhì)心位置：，先求質(zhì)心位置：222223070. 091641mRmRmdJJ34322130RmRxdyymydRC22yRx2021/4/227 5. 5.轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 解題

12、要點解題要點:2021/4/228 m2 m1RR1T2T m1gFm2gT1MgT2a2021/4/229O2021/4/230COmg2021/4/231FOr(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物體掛在繩的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速端，試計算飛輪的角加速解解 (1)JFr 2rad/s 239502098.JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別mgT例例求求一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量 J=0.5 kgm2，

13、飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計，不計， (見圖見圖)2mrJmgr22rad/s 8212010502098.2021/4/232圓盤以圓盤以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動在桌面上轉(zhuǎn)動, ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止解解rrsmd2ddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例求求 到圓盤靜止所需到圓盤靜止所需時間時間取一質(zhì)元取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律摩擦力矩摩擦力矩R2021/4/233例例 一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知，轉(zhuǎn)動慣量已知，轉(zhuǎn)動慣量231mlJ ，現(xiàn)有一水平力作用于距軸為，現(xiàn)有一

14、水平力作用于距軸為 l 處處求求 軸對棒的作用力（也稱軸反力）。軸對棒的作用力（也稱軸反力）。解解 設(shè)軸對棒的作用力為設(shè)軸對棒的作用力為 NyxNN ,JFl 由質(zhì)心運由質(zhì)心運動定理動定理2lmmaNFcxx022lmmamgNcyy) 123(2llFFJFlmlNxmgNyl l320 xN打擊中心打擊中心質(zhì)心運動定理與轉(zhuǎn)動定律聯(lián)用質(zhì)心運動定理與轉(zhuǎn)動定律聯(lián)用xNyNOCmg lF質(zhì)點系質(zhì)點系由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律2021/4/2342021/4/2351.1.力矩的功和功率力矩的功和功率 1.1 1.1 力矩的功力矩的功dOzP0PFrdl0AMdMddFrrdFdlFl dFdAsinsi

15、ncos2021/4/2362.2 2.2 力矩的功率力矩的功率MdtdMdtdAPMP 2021/4/2372 2剛體的轉(zhuǎn)動動能與重力勢能剛體的轉(zhuǎn)動動能與重力勢能 222221)(21)21(JrmvmEiiiiiik221JEk2.1 2.1 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能 O zrimivi2021/4/2382.2 2.2 剛體的重力勢能剛體的重力勢能 piiiiiiiiCEm ghmhmgmmghpCEmghhimi2021/4/2393.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 002201122ddddMJJJJdtddtdMdJ dJJ 0kkEEA剛體定軸轉(zhuǎn)動時合外力矩

16、對剛體所作的功等于剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動時合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量 2021/4/240O2021/4/241解：解：2021/4/242MmkR2021/4/2432021/4/2442021/4/2451.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 zzdLMdt00zzttzLLdtM00ttMdtLL簡寫為簡寫為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理0M 000LLJJ剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律2021/4/246 角動量守恒現(xiàn)象舉例角動量守恒現(xiàn)象舉例2021/4/247例例

17、如圖，長為如圖，長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的均勻細棒可饒過的均勻細棒可饒過O點的點的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m的質(zhì)點以的質(zhì)點以初速初速v0沿水平方向運動，與靜止在豎直位置的細沿水平方向運動，與靜止在豎直位置的細棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求上擺。求（1）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度 ；（2）兩者一起上擺的最大角度）兩者一起上擺的最大角度 。Olmv02021/4/2482021/4/249例例: 半徑半徑R、質(zhì)量、質(zhì)量M 的水平均勻圓盤可繞通過圓心的光滑豎直的水

18、平均勻圓盤可繞通過圓心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動，其邊緣有一質(zhì)量軸自由轉(zhuǎn)動，其邊緣有一質(zhì)量m 的人，二者最初相對地面靜的人，二者最初相對地面靜止止求求: 當人繞盤一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度？當人繞盤一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度？解：解：（人（人+盤）關(guān)于轉(zhuǎn)軸盤）關(guān)于轉(zhuǎn)軸O 的外力矩為零，的外力矩為零， （人（人+盤）角動量守恒盤）角動量守恒xO 以逆時針為正方向，在地面參照系以逆時針為正方向，在地面參照系02122 MRmR021 Mm021 Mm且且 2 222Mmm 2021/4/2502021/4/251進動進動: 高速自旋的物體的自轉(zhuǎn)軸在空間旋進的運動高速自旋的物體的自轉(zhuǎn)軸在空間旋進的運動高速自轉(zhuǎn)的陀螺在高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對支點陀螺重力對支點O 的力矩作用下發(fā)生進動的力矩作用下發(fā)生進動陀螺的角動量近似為陀螺的角動量近似為JL 角動量定理角動量定理tLMddtMLddM/Ld當當LM時時則則只改變方向，只改變方向，不改變大小不改變大小(進動進動)LOLgmMLd2021/4/252 進動角速度進動角速度所以所以1sins