材料力學第4章_238402081

1、哪些內力會產(chǎn)生切應力哪些內力會產(chǎn)生切應力? ?xAxFANdyAxMzAdzAxMyAdyAxyFAQdAxyzAdzAxzFAQdxAxzMyAd 第4章 扭轉彎曲 扭轉的實例攪拌器攪拌器攪拌軸自行車有哪些扭轉構件?荷蘭人口:1600萬，但全國自行車擁有量1700萬輛，人均擁有量位居世界第一 工程中承受切應力的構件請判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉ABC扳手齒輪系傳遞功率AF發(fā)動機傳動軸 工程中承受切應力的構件請判斷哪個截面將優(yōu)先發(fā)生剪切破壞?第4章 切應力的特征切應力互等定理切應力互等定理xyzdxdydzEFGOu切應力的特征切應力的特征xyzdxdydzEFGOu切應力的特征切應力的特征xyzd

2、xdydzyzxdddxzydddEFGOu切應力的特征切應力的特征xyzdxdydz在微元體的兩個相互垂直的截面上, 垂直于截面交線(棱邊)的切應力數(shù)值相等.切應力方向: 共同指向交線（棱邊）, 或共同離開交線（棱邊）第4章 圓軸扭轉的變形特征圓軸扭轉的變形特征實驗分析對稱性論證圓軸受扭轉后表面的矩形將發(fā)生什么變化？圓軸表面畫出圓周線和縱向平行線變形前圓周線和縱向平行線將發(fā)生什么變化？變形后圓周線: 形狀、大小、間距沒變化縱向平行線：繞軸線轉繞軸線轉水平傾斜實驗觀察到的結果圓軸受扭轉后表面的縱向線和圓周線交叉所圓軸受扭轉后表面的縱向線和圓周線交叉所得到的得到的矩形將發(fā)生什么變化？矩形將發(fā)生什

3、么變化？ABCDABCD 觀察到的現(xiàn)象觀察到的現(xiàn)象: 矩形變?yōu)槠叫兴倪呅尉匦巫優(yōu)槠叫兴倪呅未俗冃问呛畏N應力引起的?ABCD 為什么為什么4個面上都存在切應力個面上都存在切應力?如果認為： 受扭轉的圓桿(軸)內部變形與表面變形一致平面假定：平面平面橫截面大小形狀不變半徑直線橫截面: 繞軸線的剛性轉動反對稱分析論證， 對稱面上同一圓周任意兩點CD變形后一定在原來平面上(對稱面)反對稱分析論證反證反證:若若變形后最大圓周變形后最大圓周任意兩點任意兩點CDCD不在原來平面上不在原來平面上對稱面最大圓周上CD兩點變形后保持在原來的平面內(對稱面內)而且在同一圓周上。反證法的證明反證法的證明對稱面內部的圓

4、周:同一圓周上的任意兩點變形后保持在對稱面內而且在同一圓周上。問題問題: 對稱面各點變形后保持在原來的平面內(對稱面內),變形前同一圓周上的點變形后仍然還在同一圓周上.對稱面內不同圓周上的各點變形的步調怎樣?反對稱分析論證反對稱分析論證: :對稱面對稱面不同圓周上的各點變形步調是一致的不同圓周上的各點變形步調是一致的 假設平面不是剛性轉動，直徑將變成曲線，A端觀察者看到的情形。 假設平面不是剛性轉動，直徑將變成曲線，B端觀察者看到的情形。AB兩側觀測結果相反，產(chǎn)生矛盾不同圓周上的各點變形若假定步調不一致對稱面各點變形后保持在原來的平面內(對稱面內)變形前同一圓周上的點變形后仍然還在同一圓周上.

5、對稱面內不同圓周上的各點變形的步調保持一致總結論總結論:圓軸扭轉時，橫截面圓軸扭轉時，橫截面 保持平面，并且保持平面，并且截面只發(fā)生剛性轉動。截面只發(fā)生剛性轉動。分析了對稱面的情況分析了對稱面的情況, 任意截面任意截面?對于任意截面對于任意截面:一定可以找到以這個截面為對稱面的一段扭轉軸一定可以找到以這個截面為對稱面的一段扭轉軸,采取同樣方法采取同樣方法,可證明可證明 圓軸扭轉時，橫圓軸扭轉時，橫截面截面 保持平面，并且保持平面，并且只能發(fā)生剛性轉動。只能發(fā)生剛性轉動。圓軸扭轉變形前的截面，變形后仍保持為平面，圓軸扭轉變形前的截面，變形后仍保持為平面，截面形狀和大小不變，直徑仍保持為直線截面形

6、狀和大小不變，直徑仍保持為直線.圓軸扭轉的平面假定圓軸扭轉的平面假定截面僅發(fā)生剛性轉動截面僅發(fā)生剛性轉動如何分析圓軸扭轉的變形協(xié)調條件如何分析圓軸扭轉的變形協(xié)調條件?r 假定m-m截面和n-n截面的相對轉角為dmmnn在扭矩作用下(切出桿微元)表面上觀察到的變形rdrdx)( xddaccc選取半徑為選取半徑為 的微圓柱單元的微圓柱單元在桿微元基礎上 xddaccc與半徑成正比dxd 單位長度上的扭轉角應變形式的變形協(xié)調方程物性關系物性關系GxGGdd xddGG為剪切彈性模量為剪切彈性模量xddGG)(分析: 作用于圓軸表面微元ABCD的四條邊上,半徑方向線與ABCD面垂直,也與垂直分布方向

7、xAM).Ad).(在橫截面半徑為處取微元:dA合成的力（）dAMx把作用在微元上，對形心取矩A2PAdIxGGdd,GIMxdd,MdAxddGPxxA2AxMAd極慣性矩xGGddPxGIMxdd PIMxPddGIMxx單位長度扭轉角 PIMx結論結論: 切應力沿橫截面半徑線性分布切應力沿橫截面半徑線性分布, 方向方向:垂直于半徑垂直于半徑特殊點的切應力特殊點的切應力: =0, maxPPmaxmaxWMIMxxmaxPPIW Wp 扭轉截面系數(shù)16323P4PdWdI,16132143P44PDWDI,為什么設計空心截面為什么設計空心截面?切應力哪些區(qū)域較大切應力哪些區(qū)域較大?節(jié)省材料

8、節(jié)省材料研究外加力偶矩與功率P和轉速n的關系傳動軸的扭矩計算傳動軸的扭矩計算工程計算中,作用于傳動軸上的外力偶通常不直接給出給出軸傳遞功率P(KW)給出轉速n(轉/分)每秒鐘輸入功每秒鐘輸入功WW=PX1000(Nm)輸入功由扭矩作用在軸上完成輸入功由扭矩作用在軸上完成:扭矩在每秒完成的功為扭矩在每秒完成的功為:602 nT角位移1000602PnT外加力偶矩T與功率P和轉速n的關系外加力偶矩與功率P和轉速n的關系T=9549P(kW) n(r/min) (Nm)已知：實心圓軸與空心圓軸通過牙嵌式離合器已知：實心圓軸與空心圓軸通過牙嵌式離合器連接傳遞功率。連接傳遞功率。P傳7.5kW, n=1

9、00r/min, 最大切應力均為 40MPa,空心圓軸的內外直徑之比 = 0.5。求求: 實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑和空心軸的外直徑D2。例 題 1兩軸上最大切應力均等于兩軸上最大切應力均等于40MPa.nPMx=T=9549兩軸轉速相同兩軸轉速相同,傳遞功率相同傳遞功率相同,故兩軸上作用的故兩軸上作用的扭矩相同扭矩相同.解：例 題 1nPMx=T=95497.5= 9549 100=716.2 N mmax=WP116 MxMx= d13=40 MPa=0.045 m=45 mmd1=16 716. 2 40 1063實心軸解：例 題 1432xPxmax116DMWM m

10、10402 .71616362 40.51 D對于空心軸，根據(jù)=40 MPa算得0.046 m46 mmd20.5D2=23 mm解：例 題 1空心軸D246 mmd223 mm 實心軸d1=45 mm二軸的橫截面面積之比為28. 15 . 01110461045122332222121DdAA二軸的橫截面面積之比為實心空心結論結論: 若軸的長度相同若軸的長度相同, 在最大切應力相同的在最大切應力相同的情況下情況下,實心軸比空心軸所用材料多?？招妮S實心軸比空心軸所用材料多?？招妮S可節(jié)省材料，降低成本。可節(jié)省材料，降低成本。28. 15 . 01110461045122332222121DdAA

11、A1為實心軸，為實心軸，A2為空心軸為空心軸圓軸扭轉的變形特征圓軸扭轉的變形特征:劃出與軸線平行和垂直的縱向線和橫向線橫截面的橫向線變?yōu)榍€橫截面的橫向線變?yōu)榍€,發(fā)生翹曲發(fā)生翹曲由此可見由此可見:平面保持平面不成立平面保持平面不成立.由于翹曲由于翹曲, 平面假定不成立，矩形截面平面假定不成立，矩形截面桿扭轉時的切應力與圓截面桿有很大的桿扭轉時的切應力與圓截面桿有很大的差別。差別。圓截面扭轉的切應力公式無法應用.如何分析矩形截面桿扭轉下的切應力如何分析矩形截面桿扭轉下的切應力?彈性力學理論介紹結論研究研究:矩形截面桿扭轉,截面角點切應力特點矩形截面桿扭轉,截面邊界上各點的切應力方向有哪些規(guī)律?

12、角點微元角點微元注意微元各面與桿件的對應關系注意微元各面與桿件的對應關系角點區(qū)域角點區(qū)域前表面上表面00 zyzxyxyz, 由剪應力互等定律由剪應力互等定律00 xzxy, 角點切應力等于零角點切應力等于零0yxyz由剪應力互等定律由剪應力互等定律0 xyA邊緣各點切應力沿邊界的切線方向邊緣各點切應力沿邊界的切線方向A研究邊界上的切應力注意微元各面與桿件的對應關系注意微元各面與桿件的對應關系 截面最大切應力發(fā)生在長邊中點.角點切應力等于零; 邊緣各點切應力沿切線方向; 截面最大切應力發(fā)生在長邊中點.21maxhbCMxmax1maxC 長邊中點處長邊中點處 短邊中點處短邊中點處 bC1、C1

13、見書上表4-1(表5-2,二版)高度高度h,寬度寬度b, C1,C1與高寬比有關與高寬比有關h3133301.C長短邊比長短邊比1021maxhbCMx 長邊中點處長邊中點處 沿厚度方向近似線性分布第4章 PddGIMxxdxGIMdpxdxGIMdpxBABAABllGIMpxBA圓軸扭轉下兩截面相對轉角公式：MxMx扭轉剛度lGIMpxBABA的正負號與Mx正負號相同.關于關于 BA的正負號規(guī)定的正負號規(guī)定ABG2G1已知固定的圓截面等直桿AB(剛度GIP), 在截面C受到扭轉外力偶m的作用, 試求支座反力偶矩.B開口與閉口薄壁圓管的扭轉切應力哪個承載能力強?直徑壁厚直徑、壁厚相等的薄壁圓

14、管，承受扭矩直徑、壁厚相等的薄壁圓管，承受扭矩Tmaxmax1.5D開閉題4-6maxmax1.5D開閉,10Dmaxmax15開閉設計中：避免用開口薄壁桿件承受扭矩補4-1：直徑d = 25mm的鋼軸上焊有兩凸臺，凸臺上套有外徑D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，當桿承受外扭轉力遇矩T = 73.6Nm時，將薄壁管與凸臺焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量G = 40MPa。試：1分析卸載后軸和薄壁管的橫截面上有沒有內力，二者如何平衡？ 2確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應力。兩類切應力:扭轉,彎曲關注:分析方法的差別zzxIyM在MZ作用下:截

15、面的厚度方向:z軸過y軸上任一點作z軸平行線,各點切應力相等切應力函數(shù)僅與y坐標有關zMzy與圓軸扭轉切應力的分析方法不同與圓軸扭轉切應力的分析方法不同確定梁的橫截面上任意點處的彎曲切應力薄鄙1122任意形狀任意形狀開口開口薄壁截面薄壁截面梁梁壁厚壁厚截面中曲線曲率半徑截面中曲線曲率半徑截面中曲線不閉合截面中曲線不閉合當厚度不斷減少,截面收縮為截面的中曲線薄鄙薄壁截面梁薄壁截面梁1122選取長為dx微段左側為橫截面1-1右側為橫截面2-21212薄壁截面梁薄壁截面梁ab可否求出切應力可否求出切應力?思考思考:對微段進行平衡分析對微段進行平衡分析1212薄壁截面梁薄壁截面梁ab由左側右側截面內力

16、由左側右側截面內力(彎矩彎矩,剪力剪力)平衡分析平衡分析平衡方程中僅含彎矩平衡方程中僅含彎矩,剪力剪力微段進行平衡分析微段進行平衡分析1212薄壁截面梁薄壁截面梁ab取取1-1,2-2截面構成微元中的一個局部截面構成微元中的一個局部如畫圓圈部分如畫圓圈部分,進行平衡分析進行平衡分析目的:使切應力在平衡方程中出現(xiàn)1212薄壁截面梁薄壁截面梁ababc局部微元特點a,b為橫截面,c縱截面,d為自由表面d上下自由表面薄壁截面梁薄壁截面梁abc討論局部微元討論局部微元x方向的平衡方向的平衡: 有貢獻的有貢獻的a,b,c面面x分析微元各面受力對x方向平衡的貢獻:首先在a,b截面上哪些力參與x方向的平衡?

17、d彎曲正應力yx彎曲正應力彎曲正應力規(guī)律:分布規(guī)律?正負號(拉壓性質)?z需要考慮彎矩的正負!切出蘭色微元的左側和右側都是拉應力?左右截面彎矩均為負拉應力合成軸向力,誰大誰小?dAIyMdAFAzzAxNx*)(*左左左橫截面局部橫截面局部aba,b的面積均為A*正應力正應力: 作用在橫截面局部作用在橫截面局部a,b都為拉應力都為拉應力dAIyMdAFAzzAxNx*)(*右右右薄壁截面梁薄壁截面梁abc正應力合成軸力,左側截面a: FNx*,右側截面b: FNx*+d FNx*討論局部微元x方向的平衡x1122dabcx若局部微元平衡若局部微元平衡:c截面一定存在切應力截面一定存在切應力 ,

18、且沿且沿x軸軸反方向反方向dabcx由切應力互等定理橫截面靠近BC中點附近一定存在切應力= 且與 共同指向BC是橫截面上BC中點的切應力切應力互等定理:兩個相互垂直的截面上兩個相互垂直的截面上, 垂直于截面交線垂直于截面交線(棱邊棱邊)的切應力數(shù)值相等的切應力數(shù)值相等.切應力方向切應力方向: 共同指向一條棱邊共同指向一條棱邊,或共同離開一條或共同離開一條棱邊棱邊.1212薄壁截面梁薄壁截面梁ababc內力按實際方向標出Fx=0- ( d x)=0FNx*+d FNx*-FNx*abc為壁厚。- ( d x)=0FNx*+d FNx*-FNx* *Ax*xAx*xAF,AFddddNN zzxz

19、zxIyMIyMdd,abc由前提假設xF*xdd1N *AzzAzzAx*xAyIdMAIyMAFddddddN z*zQAzzISFAdyxdMdI1*為A*對z軸的靜矩（一次矩）*zSxF*xdd1N zzISF*QFQ為剪力，Iz為整個截面對z軸慣性矩， 為A*對z軸的靜矩（一次矩）,*zS 為壁厚。希望大家關注：希望大家關注：前提前提進行平衡分析的技巧進行平衡分析的技巧 公式的各參數(shù)的含義公式的各參數(shù)的含義研究開口薄壁圓管、角形截面桿研究開口薄壁圓管、角形截面桿、槽形截面桿槽形截面桿在橫向載荷作用下的變形在橫向載荷作用下的變形過形心作用在過形心作用在主軸平面的橫主軸平面的橫向載荷下向

20、載荷下開口薄壁桿件：開口薄壁桿件：直觀感覺如何變形?為什么向開口方向倒下去?切應力流問題:橫向載荷作用的開口薄壁桿件以槽型截面為例以槽型截面為例, , 確定橫彎截面中切應力方向確定橫彎截面中切應力方向1122彎矩正負、哪邊大？ 應力拉壓, 比較：正應力哪邊大?軸力?左右yz第三刀垂直于截面中曲線第三刀垂直于截面中曲線實際（真實方向）實際（真實方向）1122軸力哪邊大,哪邊小?軸力是拉?是壓?xyz思考：中間部分的切應力如何確定？思考：中間部分的切應力如何確定？槽型截面切應力方向的槽型截面切應力方向的特征特征: :翼緣翼緣:切應力與截面切應力與截面剪力方向不一致剪力方向不一致.腹板腹板:切應力與

21、截面切應力與截面剪力方向一致剪力方向一致翼緣腹板頭尾相接頭尾相接,如管道流水如管道流水-切應力流切應力流重要的結論重要的結論:當薄壁截面的周邊或周邊的切線與剪力平行當薄壁截面的周邊或周邊的切線與剪力平行時時,作用在該部分的切應力方向和剪力的方向作用在該部分的切應力方向和剪力的方向是一致的是一致的.FQ切應力流是本書中的一個難點切應力流是本書中的一個難點注意注意:確定切應力流時確定切應力流時,平衡概念的靈活應用平衡概念的靈活應用平衡的對象選取平衡的對象選取微元的切法微元的切法?哪一刀最重要哪一刀最重要?研究開口薄壁截面桿研究開口薄壁截面桿在橫向載荷作用下的變形在橫向載荷作用下的變形過形心橫向過形

22、心橫向載荷下載荷下開口薄壁桿件：開口薄壁桿件：開口薄壁桿件為什么向開口方向倒開口薄壁桿件為什么向開口方向倒? 如何加載如何加載?合力合力向彎曲中心簡化結果向彎曲中心簡化結果向截面形心簡化結果向截面形心簡化結果槽形截面zzISF*Q由彎曲中心的概念,我們可知開口薄壁桿件在橫彎載荷作用下平面保持平面(平面彎曲)的加載條件:過彎曲中心平行形心主軸開口薄壁桿件平面彎曲的加載條件實心截面和閉口薄壁截面:在橫力下發(fā)生平面彎曲(平面保持平面)的加載條件:比較比較: :過形心平行于形心主軸第4章 Abh寬為b, 高為hA*yzzzzbISFISF*Q*QIz整個面積對z軸(中性軸）慣性矩， 為截面上距中性軸為

23、y的橫線以外部分面積對中性軸的靜矩第三刀第三刀:垂直于截面中線切垂直于截面中線切*zSAbh寬為b, 高為hA*對中性軸的靜矩)41(8222hybhy .AS*c*z A*yz*zbISFQ bhhyFQxy)41 (5 . 122注意注意:切應力沿高度的分布特點切應力沿高度的分布特點 5 . 15 . 1QmaxbhFAbhbhhyFQxy)41 (5 . 122 切應力分布的特點最大切應力發(fā)生在哪?,)y4d(32S2/322*z *QzzF SI24213QxyFyAdA AFQmax34A注意注意:切應力沿高度的分布特點切應力沿高度的分布特點最大切應力發(fā)生在中性軸上, y=0 zzISF*Q求在求在FQ作用下截面最大切應力作用下截面最大切應力FQyzmax*)(zSmax薄壁圓環(huán)的彎曲切應力薄壁圓環(huán)的彎曲切應力, d 若圓環(huán)壁厚為, 平均直徑為d, 已知直徑為d0的半圓對Z軸的靜矩30*)2(32dSz,d 對半個圓環(huán)2*33max22()()()32322zdddSd0為半圓的直徑為圓環(huán)壁厚, d為平均直徑 FQyz半圓環(huán)對z軸靜矩:*maxQmax()2.02.02.02QzQzFSFFIdA8/)(64)(64344dddIz2*33max22()()()3 223 222zdddS結論：薄壁圓環(huán)截面最大切應力為結論：薄壁圓環(huán)截面最大切應力為平均切應力的兩倍平均