彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題

1、彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題用差分法和變分法解平面問(wèn)題第五章第五章合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué)主講教師：袁海平主講教師：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)彈性力學(xué)一、差分公式的推導(dǎo)一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題3 彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)

2、靜力平衡條件，形變與位移彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程和邊界條件。和邊界條件。 因此，因此，彈性力學(xué)問(wèn)題屬于微分方程的邊值問(wèn)題。彈性力學(xué)問(wèn)題屬于微分方程的邊值問(wèn)題。通過(guò)求解，通過(guò)求解，得出函數(shù)表示的精確解答。得出函數(shù)表示的精確解答。 對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，彈性力學(xué)的各種近似解法，主要主要有有差分法、變分法和有限單元法

3、。差分法、變分法和有限單元法。差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)一一彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題4fxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf21, ff差分法差分法是微分方程的一種數(shù)值解法，是微分方程的一種數(shù)值解法， 它不是去求解函數(shù)它不是去求解函數(shù)f(x)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點(diǎn)上的值而是求函數(shù)在一些結(jié)點(diǎn)上的值 。;dd1212xxffxfxf將將導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)用有限用有限差商差商來(lái)代替來(lái)代替將將微分微分用有限差分來(lái)代替用有限差分來(lái)代替將將微分方程微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，求解微分方程問(wèn)用差分方程（代數(shù)方程）代替，求解微分方程問(wèn)題化為求解差分方程問(wèn)題。題化為求解差分方程問(wèn)題。差分公式的推

4、導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)一一12xxxdx12fffdf彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題5NoImage 在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格。 設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個(gè)連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在3-上，它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點(diǎn)處，函數(shù)f可展為泰勒級(jí)數(shù)如下：.)(! 31)(! 21)(3003320022000 xxxfxxxfxxxfff差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)一一(a)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題6 只考慮離開(kāi)結(jié)點(diǎn)充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即（x-x0）充分小。于是可不計(jì)（x-x0）的三次及更高次冪的各項(xiàng)，則上式簡(jiǎn)寫(xiě)為

5、：20022000)(! 21)(xxxfxxxfff在結(jié)點(diǎn)，x=x0-h；在結(jié)點(diǎn)1， x=x0+h。代入(b) 得：02220032xfhxfhff02220012xfhxfhff聯(lián)立（c）、（d），解得差分公式： 130(1)2fffxh21302202(2)ffffxh差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)一一(b)(c)(d)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題7同理，在網(wǎng)線4-0-2上可得到差分公式：2402240220(3)22(4)fffyhffffyh 以上（）（）是基本差分公式，從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：22136857001() ()(5)24ffyyffffffx yxyhh 差

6、分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)一一彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題8)()( 46 1) 6 ()()( 241)()( 46 112104204044876543210402241193104044fffffhyffffffffffhyxffffffhxf 差分公式()及()是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。 以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。 應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無(wú)法應(yīng)用

7、前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)一一彈性力學(xué)一、差分公式的推導(dǎo)一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題10彈性力學(xué)變分法彈性力學(xué)變分法，因其泛函就是彈性體的能量（如形變勢(shì)能、，因其泛函就是彈性體的能量（如形變勢(shì)能、外力勢(shì)能），又稱為外力勢(shì)能），又稱為能量法能量法。泛函泛函是

8、以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。 變分法，變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。是研究泛函及其極值的求解方法。 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問(wèn)題的另一種獨(dú)彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問(wèn)題的另一種獨(dú)立解法，分為：立解法，分為：位移變分法：位移變分法：取位移函數(shù)為自變量，并以勢(shì)能極小值條取位移函數(shù)為自變量，并以勢(shì)能極小值條件導(dǎo)出變分方程。件導(dǎo)出變分方程。應(yīng)力變分法：應(yīng)力變分法：取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。件導(dǎo)出變分方程。彈性力學(xué)用差分法和變分法解

9、平面問(wèn)題11（2）因應(yīng)力和應(yīng)變均從）因應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到增長(zhǎng)到 ，故，故單位體積上，單位體積上，應(yīng)力所做的功是應(yīng)力所做的功是 非線性非線性 關(guān)系關(guān)系 線線 性性 關(guān)系關(guān)系,d01U.211U（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對(duì)它的作用力，）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對(duì)它的作用力，可看成是作用于微小單元上的可看成是作用于微小單元上的“外力外力”。、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能） 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題12 線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)

10、能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能） 彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題13（3）對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題 或平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 單位體積上應(yīng)力所做的功單位體積上應(yīng)力所做的功都是 )0(zyzxz),0(zyzxz(c) 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能） zxzxyzyzxyxyzzyyxxU211xyxyyyxxU211彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題14NoImageNoImage1U彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力

11、勢(shì)能二二、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能） （4）假設(shè)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動(dòng)能，則應(yīng)力所做的功全部）假設(shè)沒(méi)有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動(dòng)能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的轉(zhuǎn)化為彈性體的內(nèi)力勢(shì)能內(nèi)力勢(shì)能，又稱為，又稱為形變勢(shì)能形變勢(shì)能，或，或應(yīng)變能應(yīng)變能， 存貯于物體內(nèi)部。存貯于物體內(nèi)部。 -單位體積的形變勢(shì)能（單位體積的形變勢(shì)能（形變勢(shì)能密度形變勢(shì)能密度）。）。（5）整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能）整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題15（6）將物理方程代入，）將物理方程代入，平面應(yīng)力問(wèn)題的形變勢(shì)能密度平面

12、應(yīng)力問(wèn)題的形變勢(shì)能密度 ，可，可用用形變形變表示為表示為對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題， 將將222121(2).(e)2(1)2xyxyxyEU 21EE變?yōu)椋?1變?yōu)?U1U22121()()2() .(f)22 1EuvuvvuUxyxyxy再將幾何方程代入，再將幾何方程代入， 可用可用位移位移表示為表示為1UU d xd y整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能為整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能為彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）、應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能） (5-16)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題16（1 1）U U 是應(yīng)變或位移的二次泛函，是應(yīng)

13、變或位移的二次泛函，故不能應(yīng)用疊加原理。故不能應(yīng)用疊加原理。 （2 2）應(yīng)變或位移發(fā)生時(shí)，）應(yīng)變或位移發(fā)生時(shí)，U U 總是正的，即總是正的，即 （3 3）U U 的大小與受力次序無(wú)關(guān)。的大小與受力次序無(wú)關(guān)。 （4 4） 對(duì)應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)力：對(duì)應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)力： . 0U. , ,111xyxyyyxxUUU1U(5-15)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二2 2、形變勢(shì)能、形變勢(shì)能的性質(zhì)的性質(zhì)彈性體每單位體積中的形變勢(shì)能對(duì)于任一形變分量的彈性體每單位體積中的形變勢(shì)能對(duì)于任一形變分量的改變率，等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。改變率，等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。彈性力學(xué)用差分

14、法和變分法解平面問(wèn)題17外力勢(shì)能外力勢(shì)能外力做了功，必然消耗了相同 值的勢(shì)能。當(dāng)取 時(shí)的外力功和能為零，則：()d d()d . (a)xyxyAsWf uf vxyf uf vs0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功：外力功：彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二3 3、彈性體上的外力功和外力勢(shì)能彈性體上的外力功和外力勢(shì)能 彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題18NoImage彈性體的總勢(shì)能彈性體的總勢(shì)能，是外力勢(shì)能和內(nèi)力（形變）勢(shì)能之和，.pVUE(h)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二4 4、彈性體的總勢(shì)能彈性體的

15、總勢(shì)能彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題19彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二例題例題1 試證明，在同樣的應(yīng)變分量試證明，在同樣的應(yīng)變分量 下，平面應(yīng)變情況下下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢(shì)能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢(shì)能。單位厚度的形變勢(shì)能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢(shì)能。xyyx,對(duì)于平面應(yīng)變情況，只需將上式中對(duì)于平面應(yīng)變情況，只需將上式中 ， 變換為變換為22221(3).22 1xyxyxyAEUdxdy 2,.(b )1EE1E解：解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢(shì)能：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢(shì)能：(a)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題20 代入，得 顯然

16、，方括號(hào)內(nèi) 將式(a)中的 ， 都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢(shì)能公式， 222222211()()(),111121EEE推出.12112AyxEU)(21)1 (12222.21)211(22dxdyxyyxE(c)彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題21 從式(c)可見(jiàn)，在平面應(yīng)變情況下，形變勢(shì)能 中的第1，2，3項(xiàng)均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第4項(xiàng) 不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢(shì)能 大于平面應(yīng)力的形變勢(shì)能U 。2xy21UU彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題2

17、2lCDEFAB彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二例題例題2圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來(lái)，若在其中切開(kāi)一小口使之兩端固定下來(lái)，若在其中切開(kāi)一小口AB時(shí)，試說(shuō)明板的形變時(shí)，試說(shuō)明板的形變勢(shì)能將發(fā)生什么變化？勢(shì)能將發(fā)生什么變化？解：解： 當(dāng)當(dāng)AB線切開(kāi)時(shí)，線切開(kāi)時(shí)，AB線上的應(yīng)線上的應(yīng)力趨于力趨于0，而形變勢(shì)能是正定，而形變勢(shì)能是正定， ，當(dāng)應(yīng)力當(dāng)應(yīng)力 時(shí)，相應(yīng)的形變勢(shì)時(shí)，相應(yīng)的形變勢(shì)能也失去。因此，板的總的形變勢(shì)能能也失去。因此，板的總的形變勢(shì)能減少。減少。0U0趨近于彈性力學(xué)用差分

18、法和變分法解平面問(wèn)題23彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二二 當(dāng)當(dāng)AB線切開(kāi)后，邊界線切開(kāi)后，邊界CD和和EF仍是固定的，我們可以比較仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：兩種狀態(tài)： AB切開(kāi)后，切開(kāi)后， AB線仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開(kāi)，這是線仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開(kāi)，這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 AB線張開(kāi)，出現(xiàn)裂紋，這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的線張開(kāi)，出現(xiàn)裂紋，這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢(shì)能處于極小值，而穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢(shì)能處于極小值，而(a)，(b)兩種狀態(tài)的外力勢(shì)能不變，因此，兩種狀態(tài)的外力勢(shì)能不

19、變，因此，(b)的形變勢(shì)能的形變勢(shì)能小于小于(a)，即形變勢(shì)能將減少。，即形變勢(shì)能將減少。彈性力學(xué)一、差分公式的推導(dǎo)一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題251.1.實(shí)際平衡狀態(tài)的位移實(shí)際平衡狀態(tài)的位移 ， ，必須滿足，必須滿足 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 用位移表示的應(yīng)力邊界條件

20、（在 上); 位移邊界條件（在上）。ussu v(a) 其中，屬于靜力平衡條件靜力平衡條件，屬于約束條件約束條件。 對(duì)于實(shí)際位移，可將看成是必要條件，而，是充分條件。 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題26（在 上）。 2. 2.虛位移狀態(tài)虛位移狀態(tài) 虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分） ， 表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，虛位移應(yīng)滿足 上的約束邊界條件，即 ,v, 0 vu(b)ususu位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題27 虛位移不是實(shí)際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài) 就構(gòu)成實(shí)際平衡狀態(tài)附

21、近的一種鄰近狀態(tài)。,*vvvuuu(c)位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題28.dddyyuxxuu(d) 變分與微分的比較變分與微分的比較位移變分方程位移變分方程 三三微分微分是在同一狀態(tài)下，研究由于位置是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo)坐標(biāo))改變而引起函數(shù)改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y，而因變量為函數(shù)，而因變量為函數(shù)，如位移，有如位移，有變分變分是在同一點(diǎn)位置上，是在同一點(diǎn)位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。 其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)

22、，如位移；而因變量為泛函，如如 ， ， ，有，有U VpE. vvUuuUU(e)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題29由于微分和變分都是微量，所以 a.它們的運(yùn)算方式相同運(yùn)算方式相同，如式(d)，(e)； b.變分和微分可以交換次序變分和微分可以交換次序，如 ).()(uxxu( f ) 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題30當(dāng)發(fā)生虛位移虛位移（位移變分） 時(shí)，()d d()d . (g)yxyxAsWf uf vx yfufvs. (h)VW , , . (i)xyxyuvvuxyxyvu, 由于虛位移引起虛應(yīng)變虛應(yīng)變，外力勢(shì)能的變分外力勢(shì)能的變分：外力的虛功

23、外力的虛功（外力功的變分）：3.3.在虛位移上彈性體的功和能在虛位移上彈性體的功和能 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題31 形變勢(shì)能的變分形變勢(shì)能的變分，即實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功, 由于實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在, 所以作為常力計(jì)算，故無(wú) 系數(shù)。.dd)(AxyxyyyxxyxU21( j )位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題32NoImage（1）在封閉系統(tǒng)封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒(méi)有非機(jī)械能的改變，也沒(méi)有動(dòng)能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過(guò)程中形變勢(shì)能的增加在虛位移過(guò)程中形變勢(shì)能的增加 應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少（

24、即等于外力所做的虛功 ）。所以)( UW . (k)UW4.4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題33（2）位移變分方程位移變分方程 將式(g)的 代入上 式，得它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變?cè)趯?shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變 分分 時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變 分分 ，等于外力功的變分，等于外力功的變分 。 ()d d()d . (l)xyxyAsUfufvxyfufvsW),(vu)( U)( W位移變分方程位移變分方程 三三(5-22)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題34NoImag

25、eU()dd()dd()d . (m)xxyyxyxyAxyxyAs xyf uf vxyf uf vs（3）虛功方程虛功方程 將式(j)的 代入上 式，得位移變分方程位移變分方程 三三虛功方程表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于虛功方程表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛平衡狀態(tài)，則在虛位移過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。(5-24)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題35其中 形變勢(shì)能的變分，如式( j )所示， 外力功的變分, 如式( g )所示。 0 , (n)UW0 ,

26、(o)UWWU（4）最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理式(k)可寫(xiě)成其中U彈性體的形變勢(shì)能，如5-4式(d), W彈性體的外力功， 如5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫(xiě)成為 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題36由于彈性體的總勢(shì)能為 故式(o)可以表示為 再將總勢(shì)能 對(duì)其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運(yùn)算，可得,pWUVUE.0pE.0p2E(p)(q)pE位移變分方程位移變分方程 三三極小勢(shì)能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條極小勢(shì)能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，件的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的一組位移對(duì)應(yīng)于總勢(shì)能實(shí)際存在

27、的一組位移對(duì)應(yīng)于總勢(shì)能為極小值。為極小值。彈性力學(xué)一、差分公式的推導(dǎo)一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題38 位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。的。 位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足 上的位移邊界上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。條件，然后再滿

28、足位移變分方程。us位移變分法位移變分法 四四彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題39mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a) （1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令 位移變分法位移變分法 四四彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題40其中 和 均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界 上，令 mmvuvu, ,00. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b) ususus位移變分法位移變分法 四四彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題41 所以 已滿足了 上的位移邊位移邊界

29、條件界條件。而 ， 用來(lái)反映位移狀態(tài)的變化，故位移的變分為位移的變分為mAmB.,mmmmmmBvvAuu(d)us, u v位移變分法位移變分法 四四彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題42( )d d( )d . (e)xyxyAsUfufvx yfufvs() . (f)mmmmmUUUABABmAmB 位移的變分通過(guò) ， 的變分來(lái)反映，故形變勢(shì)能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程.,mmmmmmBvvAuu(d)將式(d)，( f )代入(e)得 位移變分法位移變分法 四四彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題43AsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmym

30、ymxmx0dddddd因虛位移（位移變分）中的 ， 是完全任意的，獨(dú)立的，為了滿足上式，必須:mAmB位移變分法位移變分法 四四彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題44ddd ,(1,2) (g)ddd .mmmxxAsmymyAsmUf uxyf usAmUf vxyf vsBmAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利- -里茨變分方程里茨變分方程。它是關(guān)于 ， 的線性代數(shù)方程組，由上式可解出 ， ,從而得到位移的解答。 位移變分法位移變分法 四四彈性力學(xué)一、差分公式的推導(dǎo)一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)用差分法和變分法解平面問(wèn)題46 例例1 1 圖示矩形板ab，在上邊及右邊受有均布?jí)毫?及 ，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。