2024屆清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)學(xué)科筆試試題（附答案）

2024屆清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)學(xué)科筆試試題1．已知，則________．2．已知，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A．B．C．D．3．某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開(kāi)始走，每個(gè)點(diǎn)至多經(jīng)過(guò)一次，最終回到出發(fā)點(diǎn)．已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（）次。A．96B．98C．104D．1024．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，A（2，1），若的面積不超過(guò)3，則滿足條件的整點(diǎn)M個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．5．已知，．下列選項(xiàng)中正確的有（）A．存在λ，使存在正整數(shù)N，使時(shí)，恒成立B．存在λ，使不存在正整數(shù)N，使時(shí)，恒成立C．存在λ，使存在正整數(shù)N，使時(shí)，恒成立D．存在λ，使不存在正整數(shù)N，使時(shí)，恒成立6．已知，，下列選項(xiàng)中正確的有（）．A．B．C．D．7．正整數(shù)，且，，滿足這樣條件的（a，b，c）的組數(shù)為（）．A．60B．90C．75D．868．從棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方體的底面一頂點(diǎn)A出發(fā)，每次均隨機(jī)沿一條棱行走一個(gè)單位長(zhǎng)度，下列選項(xiàng)中正確的有（）．A．進(jìn)行4次這樣的操作回到A的概率為B．進(jìn)行2次這樣的操作回到A的概率為C．進(jìn)行4次這樣的操作回到A的概率為D．進(jìn)行2次這樣的操作回到A的概率為9．圓周上，，…，七個(gè)點(diǎn)兩兩相連，任選兩條線段，則這兩條線段無(wú)公告點(diǎn)的概率是（）．A．B．C．D．10．，，…是一個(gè)1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一個(gè)大于（），則滿足的排列的總數(shù)為_(kāi)_______．11．直線l：，p，Q，，下列選項(xiàng)中正確的有（）．A．若，則l與射線PQ相交B．若，則l與射線PQ平行C．若，則l與射線PQ垂直D．若x存在，則Q在l上12．在中，，，P在內(nèi)部，延長(zhǎng)BP交AC于Q，且，則（）．A．B．C．D．13．幾個(gè)人討論某個(gè)比賽的成績(jī)，討論內(nèi)容如下：張三：甲是第4名；李四：乙不是第2或第4名；王五：丙排在乙前面；劉六：丁是第1名已知只有一個(gè)人說(shuō)假話，下列正確的是（）．A．丙是第1名B．丁是第2名C．乙是第3名D．甲是第4名14．________．15．已知，，使得的解的組數(shù)有（）組．16．點(diǎn)集，則由S中的點(diǎn)可組成________個(gè)不同的三角形．17．已知，，下列選項(xiàng)中正確的有（）．A．B．C．是等比數(shù)列D．18．已知復(fù)數(shù)，，則n的最小值為_(kāi)_______．19．已知一個(gè)正四面體邊長(zhǎng)為，P點(diǎn)滿足，考慮，下列說(shuō)法正確的有（）．A．最小值為B．最大值為C．最小值為D．最大值為20．已知（a，b，），則的最大值、最小值分別為_(kāi)_______．21．已知在（0，2）上三個(gè)不等實(shí)根，則的可能取值為_(kāi)_______．22．四面體中，，，，求CA與VB所成弦角的取值范圍________．23．已知，下列選項(xiàng)中正確的有（）．A．兩根，，且B．兩根，則C．任意，函數(shù)都有最小值D．任意，使得函數(shù)有最大值24．是在[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，設(shè)，則（）A．B．C．D．25．雙曲線，斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，D為C上另一點(diǎn)，．，重心分別為P，Q，外心為M，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______．26．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，l過(guò)B且與拋物線在A處的切線平行，l交拋物線與另一點(diǎn)D，交y軸于E點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有（）．A．B．C．面積的最小值為16D．27．所有極值點(diǎn)依次為，，…，則________．28．，，有零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．試題解析1．【正確答案】，∵∴∴∴∴∴∴∴∴，，或，∴，，或，考慮周期性，只需要檢驗(yàn)，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)：，，，都符合，，，不符合，∴，2．【正確答案】ACDa為方程的解，b為方程的解，其中與lnx互為反函數(shù)，關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)也關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)（a，），（b，lnb）關(guān)于直線對(duì)稱∴，∴，∴，但，不能取等號(hào)，∴，C選項(xiàng)正確∵，∴，∴，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，另外，D選項(xiàng)正確3．【正確答案】AC總體的路線形成一個(gè)多邊形，如果出發(fā)點(diǎn)在多邊形的邊上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定是4的倍數(shù)，如果出發(fā)點(diǎn)在多邊形的頂點(diǎn)上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定奇數(shù)，因此只有AC有可能．下面兩圖的路線分別對(duì)應(yīng)右轉(zhuǎn)96次和104次的情形：4．【正確答案】65設(shè)M，直線OA的方程為，即設(shè)，則，，代入并化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，，，有5個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，有5個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，有5個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，有5個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，有5個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，有5個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，有5個(gè)整點(diǎn)；根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，也分別有5個(gè)整點(diǎn)．∴共有65個(gè)整點(diǎn)．5．【正確答案】BCD若，則正負(fù)交替，BD選項(xiàng)正確；若，則存在正整數(shù)N，使時(shí)，，∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確．6．【正確答案】AD，顯然單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，∴∴∴∴又因?yàn)椤啵珹選項(xiàng)正確∴，C選項(xiàng)錯(cuò)誤∵∴∴，B選項(xiàng)錯(cuò)誤∵∴∴，D選項(xiàng)錯(cuò)誤7．【正確答案】D∵，∴，，成等差數(shù)列設(shè)，，通分后為，，，其中；則，，，，，∴當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，，；（1）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)則①若，則，∴∴，2，3，4，5，6取，，，2，…，16；取，，，2，…，6；取，，，2，3；取，，，2；取，，；取，，m=1；共種②若，則，∴∴，2，3，4，考慮到，從而，2，4取，，，2，3，4，5；取，，，2；取，，；共種③若，則，∴∴，2，3，取，，，2；取，，；取，，；共種④若，則，∴∴，2，取，，；取，，；共2種⑤若，則∴，∴，∴∴，矛盾（2）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)則①若，則，∴∴，2，3，4，5，6，7，8，考慮到，從而，3，5，7取，，，2，…，16；取，，，2，…，5；取，，，2；取，，共種②若，則，∴∴，2，3，4，5，6，7，考慮到，從而，3，5，7取，，，2，…，6；取，，，2；取，，；取，，共種③若，則，∴∴，2，3，4，5，考慮到，從而，5取，，，2，3；取，，；共種④若，則，∴∴，2，3，4，考慮到，從而，3取，，，2；取，，；共種⑤若，則，∴∴，∴，12取，，；取，，；共2種綜上所述，（a，b，c）共有組8．【正確答案】D每次操作有3種不同的路線，2次操作，有種路線，其中有3條可以回到A點(diǎn)，因此進(jìn)行2次這樣的操作回到A點(diǎn)的概率為；4次操作，有種路線，如下圖所示，設(shè)第n次操作后恰好走到A點(diǎn)的方法數(shù)為，由對(duì)稱性可知第n次操作后恰好走到B，C，D三點(diǎn)的方法數(shù)相同，設(shè)為，恰好走到E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的方法數(shù)也相同，設(shè)為，設(shè)第n次操作后恰好走到H點(diǎn)的方法數(shù)為，則，，由此算出，∴，∴進(jìn)行4次這樣的操作回到A點(diǎn)的概率為，AC選項(xiàng)都錯(cuò)．9．【正確答案】共條線段，選出兩條有種方法，任意四個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩組不相交的線段，有組，因此，任選兩條線段，它們無(wú)公共點(diǎn)的概率為．10．【正確答案】若，考慮（），必有可知從第i項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列開(kāi)始遞增；再考慮前面的項(xiàng)，若，說(shuō)明此情況下數(shù)列在第1項(xiàng)到第i項(xiàng)遞減．若，則將原來(lái)的i改為同理考慮即可．由以上分析可知，該數(shù)列只有三種情況，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，先減后增故排列總數(shù)為．11．【正確答案】ABC．可理解為P，Q兩點(diǎn)到直線距離之比；說(shuō)明兩點(diǎn)在直線同側(cè)，說(shuō)明兩點(diǎn)在直線異側(cè)，故可知ABC正確．12．【正確答案】D．如下圖由題可知AP為平分線，故；；于是化簡(jiǎn)可得，于是或（舍）故13．【正確答案】ABCD分類討論即可若張三說(shuō)假話，則丁第1名，因?yàn)橐也皇堑?或第4名，于是乙只能是第3名，又因?yàn)楸旁谝仪懊?，于是丙只能為?名，推出甲為第4名，與張三說(shuō)假話矛盾！若李四說(shuō)假話，則丁第1名，甲第4名，因?yàn)楸旁谝仪懊?，故丙?名，乙第3名，與李四說(shuō)假話矛盾！若王五說(shuō)假話，則丁第1名，甲第4名，因?yàn)橐也皇堑?或第4名，所以故丙第3名，乙第2名，這與王五說(shuō)假話矛盾！若劉六說(shuō)假話，則甲第4名，結(jié)合乙不是第2或第4名與丙排在乙前面可知乙只能為第3名，故丙為第1或2名，但丁不為第1名，故丙第1名，丁第2名綜上，選ABCD．14．【正確答案】這是一個(gè)強(qiáng)基考爛了的裂項(xiàng)于是于是．15．【正確答案】18由條件整除而，故下面分三種情況討論：情形一：；這時(shí)，矛盾；情形二：，這時(shí)a，b應(yīng)具有，，k是正整數(shù)的形式，顯然滿足條件；情形三：，這時(shí)由，則，進(jìn)而或2，當(dāng)時(shí)，則條件為正整數(shù)，57能被整除，可知或57，進(jìn)而可知或49，解得或（49，1）；當(dāng)時(shí)，由（）為正整數(shù)，可知，此時(shí)，矛盾；綜上，所有解為，（49，1）或（k是正整數(shù)）再結(jié)合，可知型的數(shù)有16組故一共有18組．16．【正確答案】1056總共有種，如圖三點(diǎn)共線（紅色）有8組四點(diǎn)共線有9組（圖中藍(lán)色加上5條豎線）五點(diǎn)共線有4組于是一共能組成．17．【正確答案】ABD由題可知，利用不動(dòng)點(diǎn)方法求得，，于是可求得．故，于是單調(diào)遞增且有極限，故．18．【正確答案】3不妨設(shè)由題可知①，可知滿足條件即n最小值為3（驗(yàn)證可知小于3不滿足）．②，驗(yàn)證可知滿足（驗(yàn)證可知小于3不滿足）．綜上可知．19．【正確答案】BC設(shè)AB中點(diǎn)為M，則由，知，且．設(shè)和的夾角為θ，有所以最大值為，最小值為．選BC．20．【正確答案】無(wú)最大值，最小值為2顯然沒(méi)有最大值．若a，b，c中沒(méi)有0，則由均值有．同理可得，．有．若a，b，c中有0，則至多有一個(gè)0，不妨設(shè)，此時(shí)所求．綜上，最小值為2，當(dāng)，時(shí)取等．21．【正確答案】區(qū)間（，0）上的所有實(shí)數(shù)設(shè)則，設(shè)，，，則，∴，∴∴22．【正確答案】如圖，取P，Q分別為VC，AB的中點(diǎn)．由中線長(zhǎng)公式可知．在中，，當(dāng)A，B重合時(shí)取等．過(guò)B作于H，設(shè)，則，即，得．所以．當(dāng)A，B，V，C共面時(shí)取等．取BC中點(diǎn)M，則，，所以所求的角即為，于是由知，于是．23．【正確答案】BC，在區(qū)間（，2）上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間（2，）上，，單調(diào)遞減，，，，∴的大致圖象如下圖所示：∴有兩根，則，B選項(xiàng)正確，并不是關(guān)于直線對(duì)稱，因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤．從圖象可以判斷，C選項(xiàng)錯(cuò)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．24．【正確答案】A取，則有恒等于1，則CD選項(xiàng)錯(cuò)誤．取，則，，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤．由絕對(duì)值不等式，，A正確．25．【正確答案】由垂徑定理，，結(jié)合，知．所以，進(jìn)