微分中值定理有關(guān)證明

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上例1 設(shè)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且，. 試證：必存在，使 證： 在0，3上連續(xù)， 在0，2上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是；，故. 由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)使得，因此，且在，3上連續(xù)，（，3）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在使得。例2 設(shè)在0，1上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且求證：存在使證：由積分中值定理可知，存在，使得得到 對在0，c上用羅爾定理，（三個(gè)條件都滿足）故存在，使例3 設(shè)在0,1上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對任意，有，求證存在使證：由積分中值定理可知存在使得令，可知這樣，對在上用羅爾定理（三個(gè)條件都滿足）存在，使而 又，則 在例3的條件和

2、結(jié)論中可以看出不可能對用羅爾定理，否則結(jié)論只是，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，它與有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個(gè)條件，從就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)合適的是非常關(guān)鍵，下面的模型，就在這方面提供一些選擇。模型：設(shè)在上連續(xù)，（）內(nèi)可導(dǎo)，則下列各結(jié)論皆成立。（1）存在使（為實(shí)常數(shù)）（2）存在使（為非零常數(shù)）（3）存在使（為連續(xù)函數(shù)）證：（1）令，在上用羅爾定理 存在使 消去因子，即證.（2）令，在上用羅爾定理 存在使 消去因子，即證。（3）令，其中 由 清去因子，即證。例4 設(shè)在上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，試證： （1）存在，使。（2）對

3、任意實(shí)數(shù)，存在，使得證明：（1）令，顯然它在0, 1上連續(xù)，又，根據(jù)介值定理，存在使即（2）令，它在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使，即從而 （注：在例4（2）的證明中，相當(dāng)于模型中（1）的情形，其中取為，取為）模型：設(shè)，在上皆連續(xù)，（）內(nèi)皆可導(dǎo)，且，則存在，使證：令，則，顯然在上滿足羅爾定理的條件，則存在，使，即證.例5 設(shè)在0, 1上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，為正整數(shù)。 求證：存在使得 證：令，則，用模型，存在使得故則例6 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)的零點(diǎn) 證：反證法：設(shè)，而在內(nèi)，則令在上用羅爾定理（不妨假設(shè)否則結(jié)論已經(jīng)成立）則存在使，得出與假設(shè)條件矛盾。所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)例7 設(shè)在二階可導(dǎo)，且，又 求證：（1）在（）內(nèi)； （2）存在，使 證：（1）用反證法，如果存在使，則對分別在和上用羅爾定理，存在使，存在使，再對在上用羅爾定理存在使與假設(shè)條件矛盾。所以在內(nèi)（2）由結(jié)論可知即，因此令，可以驗(yàn)證在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足羅爾定理的三個(gè)條件故存在，使于是成立例8 設(shè)在上連續(xù)，（0，3）內(nèi)二階可導(dǎo)，且（I） 證明 存在 使（II） 證明 存在 使證：（I）由積分中值定理，存在，使故存在使即（）由，可知，在上連續(xù)由價(jià)值定理可知存在，使，由于在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)