第15節(jié) 函數(shù)極限概念

1、第1.5節(jié) 函數(shù)的極限與性質(zhì). , ( ) xf x一趨于無窮 時的極限. , ( ) xf x二趨于固定點時的極限三. 極限定義及定理小結(jié)四. 函數(shù)極限的基本性質(zhì). , ( ) xf x一趨于無窮時的極限 由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函數(shù), 所以, 可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中, 并用極限理論研究函數(shù)的變化情形. 1 : nxxnn從數(shù)列 ), 0( 1 xxy與函數(shù)的圖形可以看出:11lim0, lim0. nxnxOxy123n nxn1xy1 1 : 極限的定義：回憶數(shù)列nxxnn有時使當(dāng)若 , , 0 , 0NnN | |axn記為為極限以時當(dāng)則稱數(shù)列成立 , ,

2、,anxn . limaxnn . )( :Znnfxn數(shù)列是一種特殊的函數(shù)故可以從形式進行相當(dāng)與而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,XNxnxfxn替換為替換為替換為將推廣有時使當(dāng)若 , , 0 , 0XxX | )( |axf記為為極限以時當(dāng)則稱函數(shù)成立 , , )( ,axxf . )(limaxfx有時使當(dāng)若 , , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 1xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a想想：如何從幾何的角度來表示該定義？ )(

3、 |)(|axfaaxf的幾何意義 )(limaxfxOxyay ay ayX)(xfy , )( , 即函數(shù)的圖時當(dāng)axfaXx . 之間和形夾在兩條平行線ayayOxyay ay ayXX)(xfy . , 函數(shù)的極限時我們將得到x有時使當(dāng)若 , , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 2xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a . )(lim )(lim的情形類似的幾何意義與axfaxfxxOxyay ay ayXX)(xfy 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形現(xiàn)在從整體上來

4、看這個圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或Oxyay ay ayXX)(xfy 你能否由此得出 一個極限的定義 和一個重要的定理. 0 |XxXxXx或 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形現(xiàn)在從整體上來看這個圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?有時使當(dāng)若 , | , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 3xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按絕對值無限增大時,又包含了 x 的情形.既

5、包含了 x +, . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及極限的三個定義即可證明該定理. 0)( | XXxXxXx或由絕對值關(guān)系式:. 2121lim 33xxx證明：證證 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有時則當(dāng)故取XxX 2121 33xx成立. 由極限的定義可知:. 2121lim 33xxx例例1 1 . 11)( 2時的極限當(dāng)討論函數(shù)xxxf解2211 , 1 , | xxx此時也無限增大無限增大時當(dāng)無限縮小, 可以小于任意小的正數(shù) . 因而應(yīng)該有 . 011lim2xx下面證明我們的猜想:要由極

6、限的定義 , 0 , , 11 11 011 222xxx ,11 2x即要 . 11 , 0 , 1 2顯然成立則時當(dāng)xx . 11 , 11 | , 1 2成立時時當(dāng)xx證 明 過 程怎么寫？例例2 2則當(dāng)取不妨設(shè) , 11 , ) 10 ( 0X有時 , |Xx ,11 11 011 222xxx . 011lim :2xx故由極限的定義可知 這里想得通嗎？ , )( 0 的接近程度的與是用來描述由于axf . , 某個正數(shù)它小于設(shè)故可以在一開始時就假小且它的值可以取得任意 . arctan lim 不存在證明xx22yxyarctanx由圖容易看出：分析 , 2arctanlimxx

7、, 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx 需要證明之處 請同學(xué)們 自己先證一下.例例3 3證 . 2arctanlim ) 1 (xx證明： , |2arctan| , 0即要要x .2arctan2x arctan, 22x由由于于所所以以只只需需 .arctan2x.2arctan 0 , 2 xx就有時當(dāng) , tan 2arctan , 20 的單調(diào)性及由時當(dāng)xx . 02tanx , , 0 ,2tan max ,時則當(dāng)取綜上所述XxX .2arctanlim , |2arctan|xxx即證 . 2arctanlim )2(xx證明： , |2a

8、rctan| , 0即要要x .2arctan2x ,2arctan2 所以只需證明由于x .2arctanx.2arctan 0 , 2 xx就有時當(dāng)?shù)玫膯握{(diào)性及由時當(dāng) , tan 2arctan , 20 xx . 2tan2tanx , , 0 ,2tan max ,時則當(dāng)取綜上所述XxX .2arctanlim , |2arctan|xxx即的極限時二 )( , .0 xfxx x x0 時函數(shù)的極限, 是描述當(dāng) x 無限接近 x0 時, 函數(shù) f (x)的變化趨勢. 0 , ( )21xf xx 當(dāng)時 f ( x ) 在點 x0= 0 處有定義.11)( , 1 3xxxfx時當(dāng) 函

9、數(shù) f ( x ) 在點 x0= 1 處沒有定義.21xx 例例5 51 3. 無限只考慮有無定義在必考慮 , )( 0 xxxxf00 , U(, ) , ( ) oxxxf x接接近近即即時時函函數(shù)數(shù)的的變變化化是否成立。趨勢，即不等式 |)(| axf我們不這類極限過程時在討論 , 0 xx 的極限函數(shù)時 )( , . 10 xfxx , | 0 , 0 , 00時當(dāng)若xx |)(|axf , )( , 0時的極限當(dāng)為函數(shù)則稱成立xxxfa . )( )( )(lim 00 xxaxfaxfxx或記為 : , 需要考察的是就是說 , , 0去心鄰域時的落在點當(dāng)軸上在xxx ) )( (

10、, 是否落在點對應(yīng)點軸上在xfyyy . 鄰域內(nèi)的aOxyay ay ay0 x()(xfy xy(o0U(, )xx) ,U(ay0 x0 x的幾何解釋 )(lim0axfxxP . lim 00 xxxx證明證證 , | 0 , , 00時則當(dāng)取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例6 6 . 82)4(2lim 22xxx證明證 , 0 , )8(2)4(2 2xx要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有時則當(dāng)故取x , )8(2)4(2 2xx . 82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7證 . 311lim 3

11、1xxx證明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何處理它例例8 8 這里 | x + 2 | 沒有直接的有界性可利用, 但又必須設(shè)法去掉它. 因為 x 1, 所以, 從某時候開始 x 應(yīng)充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 14|2|x1 1取分析分析結(jié)論1 | 1| 0 x證 . 311lim 31xxx證明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 311 3xxxxx于是 , | 1| 0 , 4 , 1 min 有時則當(dāng)取x . 311 3xx證畢1

12、 1 , 1 , U( 1, 1 ) , oxx令令當(dāng)當(dāng)時時必必有有此此時時 , 4 |2| x例例8 81) 與 和 x0 有關(guān), 即 = ( , x0). 一般說來, 值越小, 相應(yīng)的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 時也要對 x x0 以任何方式進行都成立.3) 函數(shù) f (x) 以 a 為極限, 但函數(shù) f (x) 本身可以 不取其極限值 a.y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + )(xfy 曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過極限的幾何意義函數(shù)時 )( , . 20 xfxx 考慮兩個問題.y = a y = a y = axOyx0 x

13、0 + )(xfy 函數(shù)在 x0 的左邊可以無定義想想這種情形下, 函數(shù)有極限嗎 ? 如何描述這種情形？想想這種情形下, 函數(shù)有極限嗎 ?y = a y = a y = axOyx0 x0 )(xfy 函數(shù)在 x0 的右邊可無定義 如何描述這種情形？3.函數(shù)的左、右極限000, 0, ,xxx若若當(dāng)當(dāng)時時 |)(| axf記為右極限 ,時的當(dāng)為則稱成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或000, 0, ,xxx若若當(dāng)當(dāng)時時 |)(| axf記為左極限 ,時的當(dāng)為則稱成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)

14、0( 0axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或(1) 左、右極限均存在, 且相等；(2) 左、右極限均存在, 但不相等；(3) 左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！ 函數(shù)在點 x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 處的左、右極限.1lim21xx0) 1(lim1xx解例例9 9 下面將左、右極限的圖形重合起來, 會有什么結(jié)果.y = a y = a y = axOyx0 x0 + y = a y = a y = aOyx0 x0 )(xfy 對此有什么想

15、法沒有？axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用 | x x0 | x x0 和極限的定義, 即可證得.。求設(shè) )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解例例1010 . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例1111例例1212 . | | )(|lim ,)(lim :00axf

16、axfxxxx則若證明證證, 0 , 0 , ,)(lim 0所以因為axfxx , | 0 0有時當(dāng)xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由極限的定義 . | | )(|lim 0axfxx ?立該命題的逆命題是否成. 情也成立的對x三、極限定義及定理小結(jié)三、極限定義及定理小結(jié) 極限定義一覽表目標不等式過 程 描 述度 量 極限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000時當(dāng) , 0NnN時當(dāng) | , 0XxX時當(dāng) , 0XxX時當(dāng) , 0XxX時當(dāng) |0 , 0

17、0 xx000, + xxx當(dāng)時000, xxx 當(dāng)時|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf 極限定義一覽表目標不等式過 程 描 述度 量 極限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000時當(dāng) , 0NnN時當(dāng) | , 0XxX時當(dāng) , 0XxX時當(dāng) , 0XxX時當(dāng) |0 , 00 xx時當(dāng) 0 , 00 xx時當(dāng) 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf0|)(|

18、axf000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xaf xf xalim( )lim( )lim( )xxxf xaf xf xa在以后的敘述中, 如果函數(shù) f ( x ) 極限的某種性質(zhì)與運算對任何一種極限過程均成立 , 則將使表示對任意一種極限過程的函數(shù)用符號)(limxf極限. 函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似, 我們只列舉出來, 其證明過程請同學(xué)們自己看書.1.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 則函數(shù) f ( x ) 在該極限過程中必有界.2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 則極限值必唯一.3.保號性定理 極限值的符號保證函數(shù)值的符號 函數(shù)值的符號保證極限值的符號 ),0( 0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxfx若,0 0X則 ,D |