第三章曲面論

1、第三章 曲面的局部理論§3.1 曲面的概念1 曲面的方程向量式方程在中Descartes直角坐標(biāo)系 O-xyz 下，取單位正交向量 i , j,k為基向量給定三個(gè)二元函數(shù) x(u,v), y(u,v),z(u,v)Î作向量值函數(shù)r: D®(u,v)®r(u,v) =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k= (x(u,v), y(u,v),z(u,v) ，則其位置向量終點(diǎn)全體 C= (x, y,z)ν(u,v)ÎD 稱為中一光滑曲面。簡(jiǎn)稱參數(shù)曲線，并將t 稱為 C 的參數(shù)；曲面也可寫為分量形式的參數(shù)方程例3.1.1：

2、球面的表達(dá)式： 或者 例3.1.2：圓柱面的表達(dá)式： 例：正螺面的表達(dá)式：中曲面的一般式(簡(jiǎn)單介紹)方程F(x,y,z)=0在直角坐標(biāo)系O-xyz表示的圖像也是一曲面。若可寫成z=f(x,y). 這時(shí)曲線的向量表達(dá)式為r(x,y)=(x,y,f(x,y) 正則曲面 是光滑曲面，若滿足則稱曲面是正則曲面。2曲面的參數(shù)變換先比較曲面S:和 以及 顯然和都表示整個(gè)圓柱面，表示半圓柱面，。在內(nèi) 取參數(shù)和之間的變換顯然和是一一對(duì)應(yīng)的。而且這時(shí)在內(nèi)，和可以統(tǒng)一表示成而 知兩曲面正則性也一致。我們稱參數(shù)和之間的變換 為同一曲面之間的參數(shù)變換。定義：設(shè)是一一對(duì)應(yīng)，而且滿足，則我們稱是曲面S：和曲面：的一個(gè)參數(shù)

3、變換。3 曲面的切平面和法方向。曲面上的曲線。曲面S：上的曲線總可以寫成注： 對(duì)任意t， 總存在與之對(duì)應(yīng)，故是的函數(shù)。特別：當(dāng)常數(shù)，對(duì)應(yīng)的曲線稱為曲線。 當(dāng)常數(shù)，對(duì)應(yīng)的曲線稱為曲線。曲線和曲線統(tǒng)稱坐標(biāo)曲線。例：曲面的兩坐標(biāo)曲線是？例：曲面的兩坐標(biāo)曲線是？例：曲線的切向量為 ，曲線的切向量為曲面的切向量若過曲面點(diǎn)，稱在點(diǎn)的切向量為曲面在點(diǎn)的一個(gè)切向量。由可以看出，曲面上任意一切向量可以由該點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的切向量線性表出。故曲面在一點(diǎn)所有切向量是共面的。切平面和法向量 切平面：曲面在一點(diǎn)由該點(diǎn)的張成的平面稱為曲面在該點(diǎn)的切平面。顯然曲面在P的切平面的方程： 法向量：曲面在一點(diǎn)與該點(diǎn)的切平面垂直的向量

4、稱為法向量，過該點(diǎn)與法向量平行的直線稱為法線。單位法向量 法線方程： 切平面和法向量與參數(shù)變換的關(guān)系。設(shè)是曲面的另一參數(shù)， 顯然： 故法方向是由Jacobi行列式的符號(hào)決定的。但在參數(shù)變換下始終保持平行。故切平面在參數(shù)變換下不變。例：求曲面在點(diǎn)的切平面和法線。例: 求曲面的單位法向量。是曲面S上任一曲線，其切向量 又，即 故與正交。由曲線的任意性知，是法向量。 故 練習(xí)：求的單位法向量。 自然標(biāo)架 對(duì) 稱為點(diǎn)P處的自然標(biāo)架。顯然它一般不正交。例3.1.9 驗(yàn)證旋轉(zhuǎn)面的自然標(biāo)架一定是正交的。§3.2 第一基本形式1 曲面上曲線的弧長(zhǎng)與第一基本形式 若 我們知道的弧長(zhǎng)微元又 故令稱為第一

5、基本量。稱 為第一基本形式。 顯然曲線，的弧長(zhǎng)為關(guān)于第一基本形式的注記： 為一正定二次型。 這是因?yàn)?坐標(biāo)曲線夾角余弦為, 故坐標(biāo)曲線正交例：求的第一基本形式。例：若曲面的第一基本形式為I= 求曲面上曲線u=從 。例：求曲面坐標(biāo)曲線的夾角。2 第一基本形式與參數(shù)變換。定理：I在參數(shù)變換下不變。 證明：設(shè)是曲面的另一組參數(shù)?，F(xiàn)比較和的關(guān)系。令=，即=定理3.2.2：I在合同變換下不變。 證明：設(shè)為合同變換。顯然第一基本量也在合同變換下不變 例如：§3.3 第二基本形式1 曲面在一點(diǎn)的展開與第二基本形式 將曲面沿曲線在展開 令記當(dāng)時(shí) 令稱為曲面的第二基本形式。 又，故 關(guān)于第二基本形式的

6、注記 顯然同樣例：計(jì)算的第二基本形式。例：計(jì)算在處的第二基本形式。2 II的幾何意義 令 ，現(xiàn)考察的符號(hào)與曲面形狀的關(guān)系。 考慮高度函數(shù) 顯然 故是的臨界點(diǎn)。 又因?yàn)樵诘腍essian陣為：當(dāng)時(shí) 正定(L>0)或負(fù)定(L<0),這時(shí) 在達(dá)到極值。曲面在該點(diǎn)是凸(不區(qū)分上凸何下凸)。 當(dāng)時(shí) 不定，在不是極值，這時(shí)曲面在該點(diǎn)為馬鞍形。當(dāng)時(shí) 退化。曲面的形狀不定?？梢钥疾烨?。3 II的與參數(shù)變換的關(guān)系設(shè)是曲面的另一組參數(shù)?，F(xiàn)比較和的關(guān)系。 ， =注：=，由一階微分形式不變性，容易得到。 同理：當(dāng)參數(shù)變換是正向變換時(shí) ， 故當(dāng)參數(shù)變換是反向變換時(shí) 故得到性質(zhì)：當(dāng)參數(shù)變換是正向變換時(shí)，II

7、不變；當(dāng)參數(shù)變換是反向變換時(shí)II變號(hào)。4 II與合同變換的關(guān)系設(shè)合同變換， 故 故§3.4 法曲率和Weigaten變換1 法曲率的概念(1)切方向的確定。每一個(gè)向量確定一個(gè)方向，反過來卻不是。我們需要找到一個(gè)和方向是一一對(duì)應(yīng)的量。對(duì) 則即的方向只與有關(guān)，而且它們是一一對(duì)應(yīng)的。以后我們可以用來表示所確定的方向。 例：曲面上的曲線在點(diǎn)P確定的方向?yàn)檫@是因?yàn)?曲線的方向?yàn)榛蛘?：1 ，曲線的切向量為或1：0(2)法曲率的定義：定義：設(shè)是曲面S：上過P的任一弧長(zhǎng)參數(shù)曲線。n是曲面在P的法向量。稱為曲面在點(diǎn)P處沿曲線的法曲率。 性質(zhì)：曲面在一點(diǎn)的法曲率與曲線的選取無(wú)關(guān)，只與曲線的方向有關(guān)。證

8、明： 故只與曲線方向有關(guān)。 曲面點(diǎn)P處沿方向的法曲率的表達(dá)式。因?yàn)榉较虻姆ㄇ蕿槿?，得到沿方向的法曲率為例：求曲面r(u,v)=(ucosv,usinv,v)在點(diǎn)(0,0)沿切方向2的法曲率。例：求曲面在(0,0)點(diǎn)沿方向的法曲率。例：求半徑為R的球面的法曲率。2曲面上的漸近方向和點(diǎn)的分類定義：曲面在點(diǎn)P處使法曲率為零的方向稱為漸近方向。顯然漸進(jìn)方向滿足方程：=0 例：r(u,v)=(ucosv,usinv, u)在點(diǎn)(0,0)的漸近方向?yàn)?：0和0：1，即坐標(biāo)曲線方向是漸進(jìn)方向。 當(dāng)時(shí) ， 曲面在點(diǎn)P沒有實(shí)漸近方向。稱點(diǎn)P為橢圓點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，曲面在點(diǎn)P有兩實(shí)漸近方向。稱點(diǎn)P為雙曲點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，曲面

9、在點(diǎn)P有一個(gè)實(shí)漸近方向。稱點(diǎn)P為拋物點(diǎn)。時(shí)，稱點(diǎn)P為平點(diǎn)。 例：求證:曲面r=的點(diǎn)全是雙曲點(diǎn).3 曲面的Gauss映射和Weingarten變換 (1)Gauss映射定義:映射 稱為Gauss映射。為單位球面。S上的任一曲線r(t)在Gauss映射下的像為，則 即 為切向量。 顯然也是切向量。(2)Weingarten變換 定義：線性變換 稱為Weigaten變換。顯然 例：求曲面S：r=(cosu,sinu,v)上任一點(diǎn)r(u,v)在Gauss映射下的象，以及切向量在Weingarten變換下的像。 關(guān)于Weingarten變換的一些注記：性質(zhì)：曲面沿切方向的法曲率 證明：令 則 性質(zhì)：We

10、ingarten變換是到自身的自共軛變換。 即§3.5 主曲率 Gauss曲率 和平均曲率1 主曲率和主方向定義：Weingarten變換是對(duì)稱變換，故它的兩個(gè)特征值都是實(shí)數(shù)。稱這些特征值是曲面的主曲率。對(duì)應(yīng)的特征方向稱為曲面的主方向。 設(shè)是主方向，是主曲率，則. 即 故主曲率即是主方向上的法曲率。 關(guān)于主方向和主曲率的主要性質(zhì)性質(zhì)：若兩主曲率，則兩主方向正交。 證： 設(shè)為主方向向量，則，即性質(zhì)：曲面一點(diǎn)處的兩主曲率是該點(diǎn)法曲率的極大極小值。 即若 ，則證：取新參數(shù) ，使，. 故性質(zhì)：若在一點(diǎn)，則曲面在該點(diǎn)的所有方向都是主方向。在該點(diǎn)常數(shù)。是該點(diǎn)任意切向量，常數(shù)。故 即，因此. 例：

11、曲線C：r(u(t),v(t)是曲面S:r(u,v)上一曲線，若C的每一點(diǎn)的切方向都是主方向。證明： 其中n(t)是曲面沿C的單位法矢量,是方向?qū)?yīng)的主曲率。2 主曲率的計(jì)算設(shè)Weingarten變換在基下的矩陣為A即.()則A的特征值就是主曲率，特征方向?yàn)橹鞣较颉，F(xiàn)在只需求出矩陣A即可。 即 故()由方程可得到主曲率。 進(jìn)一步計(jì)算可得到主曲率滿足的方程為 :.() 再由可得到主方向。例3.5.2：求曲面r(u,v)=(ucosv,usinv,v)在點(diǎn)(0,0)的主曲率和主方向。 E=1,F=0,G=1; L=0,M=-1,N=0. 由 又 解得 即方向1:1 可以得到即方向-1:13 Gau

12、ss曲率和平均曲率 Gauss曲率K=detA=平均曲率 = 的曲面稱為極小曲面顯然主曲率滿足 例3.5.3：求曲面r(u,v)=(u+v,u-v,uv)在點(diǎn)(0,0)的Gauss曲率和平均曲率。E=2,F=0,G=2; L=0,M=-1,N=0.K=-1/4 H=0 主曲率 例3.5.4：驗(yàn)證：()4 Euler 公式設(shè)是曲面在點(diǎn)的兩個(gè)正交主方向。切方向與夾角為，現(xiàn)在來求方向的法曲率。 令例3.5.5：設(shè)曲面在一固定點(diǎn)的某方向與一主方向的夾角為,這個(gè)方向的法曲率為證明: (H是平均曲率) 例3.5.6：若為曲面上一雙曲點(diǎn)兩漸進(jìn)方向的夾角,證明:tan=,這里K,H分別為曲面在此點(diǎn)的Gauss

13、曲率和平均曲率. 提示： 由后一等式可得 例： 若曲面兩漸進(jìn)曲線交于定角,證明:兩主曲率之比為常數(shù).5 曲面在一點(diǎn)的近似 設(shè)是曲面在點(diǎn)的兩個(gè)正交主方向，是否存在曲面的另一參數(shù)，使 ？若令，則 取， 即可。 即這樣的參數(shù)是存在的。性質(zhì)：設(shè)是曲面在點(diǎn)的兩個(gè)正交主方向，則存在曲面的另一參數(shù)使取參數(shù)使 則曲面的第二基本量分別為：() 這時(shí)曲面在點(diǎn)展開為： 取自然標(biāo)架為新的坐標(biāo)系。 得到曲面的近似曲面： ， 注：這里 落在切平面部分是高階無(wú)窮小，被略掉了。同樣一樣考慮。6 面積和面積元曲面的面積元，考慮，則若,則面積S§3.6 特殊曲面 常平均曲率曲面，常高斯曲率曲面等。這里只討論直紋面和全臍

14、面。 1 直紋面和可展面(1)定義3.6.1單參數(shù)直線族構(gòu)成的曲面稱為直紋面（ruled surface），它的參數(shù)表示為r(u, v)=a(u) + vb(u) ()其中a(u)是一條空間曲線，稱為直紋面的準(zhǔn)線(directrix)，b(u)是沿a定義的一個(gè)非零向量場(chǎng)，固定u時(shí)，a(u) + vb(u)是過點(diǎn)(u)，沿方向b(u)的一條直線，稱為直紋面的直母線(ruling)注：上述定義的直紋面是參數(shù)曲面，且可能有奇點(diǎn)，即使得的點(diǎn)例3.6.1對(duì)于直紋面r(u, v)=a(u) + vb(u)，當(dāng)b為常向量時(shí)，相應(yīng)的直紋面稱為柱面(cylinder)；當(dāng)所有直母線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)時(shí)，所得直紋面稱

15、為錐面(cone)；當(dāng)a(u)正則，且a(u)=(u)時(shí)，稱相應(yīng)的直紋面為a的切線面(tangent surface to ) 例r(u, v)=(cosu-vsinu, sinu+vcosu, v) =(cosu, sinu, 0)+v(-sinu,cosu, c) 故曲面是直紋面。 例正螺面r(u,v)=(vcosu, vsinu, au)=(0, 0, au)+v(cosu, sinu, 0)是直紋面性質(zhì)3.6.1直紋面的Gauss曲率非正.證明：對(duì)于直紋面r(u, v)=a(u)+v(u)，易算得 ru=(u)+v(u)，rv=(u)，(3.6.2)ruu=(u)+v(u)，ruv=r

16、vu=(u)，ruv=0，則g=rvv，n=0，因此直紋面的Gauss曲率.(3.6.3)證畢.(2)直紋面可展的判斷定義3.6.2Gauss曲率恒為零的直紋面稱為可展曲面(developable surface)性質(zhì)3.6.2直紋面r(u, v)=(u)+v(u)是可展曲面，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足下列條件之一：i)(, , )=0；ii)沿著直母線，直紋面的法向量不變，即n(u, )=n(u, ) (). 證明：i)直紋面 ()可展又M=n, ruv= = = 得證。ii) 故 例：證明例3.6.2，3.6.3是可展面。 例：證明：曲面r(u,v)=()是可展面。(3)可展面的分類：可展面只有柱面，錐面，和切線面三類。證明：設(shè)S為可展曲面，其參數(shù)表示為,根據(jù)性質(zhì)3.6.2，滿足=0. ()分兩種情形討論(1)若0，則方向固定，此時(shí)S為柱面；(2)若0，即線性無(wú)關(guān)，()式意味著可以線性表示為=.i) 若,則，直紋面r(u, v)=(u)+v(u)= 它的所有直母線過，曲面為錐面。ii) 若,令，顯然 () 即是正則曲線。S的參數(shù)表示可寫為+由()上式 =+,這說明S的直母線是的切線，此時(shí)S為切線面注：上述幾種情形并