初中數學中考復習二次函數第07講通用學生版

1、中考要求例題精講一、二次函數的定義一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a ，b ，c 為， a ¹ 0 ）的函數稱為 x 的二次函數，其中 x 為自變量，y 為因變量， a 、b 、c 分別為二次函數的二次項、一次項系數注意：和一元二次方程類似，二次項系數 a ¹ 0 ，而b 、c 可以為零二次函數的自變量的取值范圍是全體實數二、二次函數的圖象1二次函數圖象與系數的關系（1） a 決定拋物線的開口方向當 a > 0 時，拋物線開口；當 a < 0 時，拋物線開口向下反之亦然a決定拋物線的開口大?。?a越大，拋物線開口越??； a越小，拋物線開口越大

2、相等，則其形狀相同，即若a 相等，則開口及形狀相同，若溫馨提示：幾條拋物線的式中，若 aa 互為相反數，則形狀相同、開口相反（2） b 和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置（拋物線的對稱軸： x =- b ）2a當b = 0 時，拋物線的對稱軸為 y 軸； 當 a 、b 同號時，對稱軸在 y 軸的左側；當 a 、b 異號時，對稱軸在 y 軸的右側（3） c 的大小決定拋物線與 y 軸交點的位置（拋物線與 y 軸的交點坐標為(0 ，c) ）當c = 0 時，拋物線與 y 軸的交點為原點；MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 1 of 11內容基

3、本要求略高要求較高要求二次函數了解二次函數的意義；會利用描點法畫出二次函數的圖像能通過分析實際問題中的情境 確定二次函數的表；能從圖像上認識二次函數的性質；會根據二次函數的式求其圖象 與坐標軸的交點坐標，會確定圖像的頂點、對稱軸和開口方向； 會利用二次函數的圖像求出一 元二次方程的近似解能用二次函數解決簡單的實際問題；能解決二次函數與其他知識結合的有關問題二次函數（二）當c > 0 時，交點在 y 軸的正半軸； 當c < 0 時，交點在 y 軸的負半軸2.二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數 y = ax2 + bx + c 化為頂點式 y = a(x - h)2 +

4、 k ，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖一般我們選取的五點為：頂點、與 y 軸的交點(0 ，c) 、以及(0 ，c) 關于對稱軸對稱的點(2h ，c) 、與 x 軸的交點( x1 ，0) ， ( x2 ，0)（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與 x 軸的交點，與 y 軸的交點3.點的坐標設法一次函數 y = ax + b （ a ¹ 0 ）圖像上的任意點可設為( x1，ax1 + b) .其中 x1 = 0 時，該點為直線與 y 軸交點. 二次函數 y = ax + bx + c

5、（ a ¹ 0 ）圖像上的任意一點可設為 x ，ax + bx + c) . x = 0 時，該點為拋(221111物線與 y 軸交點，當 x =- b 時，該點為拋物線頂點12a點( x1，y1 ) 關于( x2 ，x2 ) 的對稱點為(2x2 - x1，2 y2 - y1 ) 4.二次函數的圖象信息根據拋物線的開口方向a 的正負性b- 的大小根據拋物線的對稱軸2a根據拋物線與 y 軸的交點，根據拋物線與 x 軸有無交點，c 的大小b2 - 4ac 的正負性根據拋物線所經過的已知坐標的點，可得到關于 a，b，c 的等式4ac - b2根據拋物線的頂點，的大小4a三、二次函數的圖象及

6、性質1 二次函數 y = ax2（a ¹ 0）的性質：拋物線 y = ax2 的頂點是坐標原點（0，0），對稱軸是 x = 0 （ y 軸）函數 y = ax2 的圖像與 a 的符號關系當 a > 0 時Û 拋物線開口Û 頂點為其最低點；當 a < 0 時Û 拋物線開口向下Û 頂點為其最高點；MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 2 of 11a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a > 0(0 ，0)y 軸x > 0 時， y 隨 x 的增大而增大；x < 0

7、時， y 隨x 的增大而減??； x = 0 時， y 有最小值0 a < 0向下(0 ，0)y 軸x > 0 時， y 隨 x 的增大而減??；x < 0 時， y 隨x 的增大而增大； x = 0 時， y 有最大值0 2二次函數 y = ax2 + c(a ¹ 0) 的性質3 二次函數 y = ax2 + bx + c（a ¹ 0）或 y = a(x - h)2 + k （ a ¹ 0 ）的性質ìa > 0開口方向： ía < 0 Û向下î對稱軸： x =- b （或 x = h ）2ab 4

8、ac - b2頂點坐標： (-,) （或(h, k) ）2a4a最值：yOx圖1圖24ac - b24ac - b2a > 0 時有最小值a < 0 時有最大值（或 k ）（如圖 1）；（或k ）（如圖 2）；4a4a單調性：二次函數 y = ax2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的變化情況（增減性）如圖 1 所示，當 a > 0 時，對稱軸左側 x <- b ，y 隨著 x 的增大而減小，在對稱軸的右側 x <- b，2a2ay 隨 x 的增大而增大；如圖 2 所示，當 a > 0 時，對稱軸左側 x <- b ， y 隨著 x 的增

9、大而增大，在對稱軸的右側 x <- b ，2a2ay 隨 x 的增大而減??；與坐標軸的交點： 與 y 軸的交點：（ 0 ， C ）； 與 x 軸的交點： 使方程 ax2 + bx + c = 0 （或a(x - h)2 + k = 0 ） 成立的 x 值例題精講【例1】把拋物線 y = ax2 + bx + c 的圖象先向右平移3 個，再向下平移 2 個，所得的圖象的式是 y = x2 - 3x + 5 ，則 a + b + c =MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 3of 11a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a > 0(

10、0 ，c)y 軸x > 0 時， y 隨 x 的增大而增大；x < 0 時， y 隨x 的增大而減??； x = 0 時， y 有最小值c a < 0向下(0 ，c)y 軸x > 0 時， y 隨 x 的增大而減?。粁 < 0 時， y 隨x 的增大而增大； x = 0 時， y 有最大值c 【例2】如圖， ABCD 中， AB = 4 ，點 D 的坐標是(0 ， 8) ，以點C 為頂點的拋物線 y = ax2 + bx + c 經過x 軸上的點 A ， B 求點 A ， B ， C 的坐標 若拋物線平移后恰好經過點 D ，求平移后拋物線的式【例3】 設拋物線 y

11、= 2x2 ，把它向右平移 p 個恰好有一個交點，求 p 、 q 的值，都能使拋物線與直線 y = x - 4，或向下移q 個，則得到的拋物線經過點(1，3) 和 把拋物線 y = 2x2 向左平移 p 個(4 ，9) ，求 p 、 q 的值 把拋物線 y = ax2 + bx + c 向左平移3 個平移 q 個，后，所得拋物線為 y = ax2 ，其圖，向下移 2 個象經過點æ -1，- 1 ö ，求原式ç2 ÷èøMSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 4 of 11DCOAB【

12、例4】如圖，在直角坐標系 xOy 中，點 P 為函數 y = 1 x2 在第一象限內的圖象上的任一點，點 A 的坐標為4(0 ，1) ，直線l 過 B (0 ，-1) 且與 x 軸平行，過 P 作 y 軸的平行線分別交 x 軸、直線l 于C、Q ，連結 AQ 交 x 軸于 H ，直線 PH 交 y 軸于 R 求證： H 點為線段 AQ 的中點； 求證：四邊形 APQR 為菱形； 除 P 點外，直線 PH 與拋物線 y = 1 x2 有無其它公共點？若有，求出其它公共點的坐標；若沒有，4請說明理由yPAOCxHlBQR【例5】如圖，已知拋物線 y = a(x -1)2 + 3 3(a ¹

13、; 0) 經過點 A(-2，0) ，拋物線的頂點為 D ，過 O 作射線OM AD 過頂點 D 平行于 x 軸的直線交射線OMC ， B 在 x 軸正半軸上，連結 BC （1）求該拋物線的式；（2）若動點 P 從點O 出發(fā)，以每秒 1 個長度的速度沿射線 OM 運動，設點 P 運動的時間為t(s) 問當t 為何值時，四邊形 DAOP 分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC = OB ，動點 P 和動點Q 分別從點O 和點 B 同時出發(fā)，分別以每秒 1 個長度和 2 個長度 的速度沿OC 和 BO 運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動設它們的運動的時間為t (s) ，連

14、接 PQ ，當t 為何值時，四邊形 BCPQ 的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈导按藭r PQ 的長MyDCPBAOQxMSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 5 of 11【例6】在平面直角坐標系 xOy 中，二次函數 y = mx2 + (m - 3)x - 3 （ m > 0 ）的圖象與 x 軸交于 A 、 B 兩點（點 A 在點 B 的左側），與 y 軸交（1） 求點 A 的坐標；（2） 當ÐABC = 45° 時，求 m 的值；C （3）已知一次函數 y = kx + b ，點 P(n, 0) 是 x 軸上的一個動點，

15、在（2）的條件下，過點 P 垂直于 x軸的直線交這個一次函數的圖象M ，交二次函數 y = mx2 + (m - 3)x - 3 （ m > 0 ）的圖象于N 若只有當-2 < n < 2 時，點 M 位N 的上方，求這個一次函數的式【例7】在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 y = - m -1 x2 + 5m x + m2 - 3m + 2 與 x 軸的交點分別為原點O 和44點 A ，點 B ( 2, n )在這條拋物線上（1）求點 B 的坐標；（2）點 P段OA 上，從O 點出發(fā)運動，過 P 點作 x 軸的垂線，與直線OB 交E 延長 PE到點 D 使得 ED =

16、PE 以 PD 為斜邊，在 PD 右側作等腰直角三角形 PCD （當 P 點運動時，C 點、 D 點也隨之運動）,當等腰直角三角形 PCD 的頂點C 落在此拋物線上時，求OP 的長；若 P 點從O 點出發(fā)向 A 點作勻速運動，速度為每秒 1 個，同時線段OA 上另一點Q 從 A 點出發(fā)向O 點作勻速運動，速度為每秒2 個（當Q 點到達O 點時停止運動， P 點也同時停止運動）過Q 點作 x 軸的垂線，與直線 AB 交 F 延長QF 到點 M ，使得 FM = QF ，以 QM 為斜邊，在QM 的左側作等腰直角三角形QMN （當Q 點運動時， M 點， N 點也隨之運動）若 P 點運動到t 秒時

17、，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t 的值MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 6 of 11，拋物線 y = ax2 + bx + c 經過原點O ，與 x 軸交于另一點 N ,直線 y = kx + 4 與兩坐標軸【例8】分別交于 A 、 D 兩點，與拋物線交于 B(1, m) 、C(2, 2) 兩點.（1）求直線與拋物線的式.（2）若拋物線在 x 軸上方的部分有一動點 P(x, y) ，設ÐPON =，求當PON 的面積最大時tan a 的值.（3）若動點 P 保持（2）中的運動路線，問是否存在點

18、P ，使得POA 的面積等于PON 面積的8？若存在，請求出點 P 的坐標;若不存在，請說明理由.15【例9】如圖，已知直角梯形 OABC 的邊OA 在 y 軸的正半軸上， OC 在 x 軸的正半軸上， OA = AB = 2 ，OC = 3 ，過點 B 作 BD BC ，交OAD 將ÐDBC 繞點 B 按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交 y 軸的正半軸、 x 軸的正半軸于 E 和 F （1）求經過 A 、 B 、C 三點的拋物線的式；（2） 當 BE 經過（1）中拋物線的頂點時，求CF 的長；（3） 連結 EF ，設DBEF 與DBFC 的面積之差為 S ，問：當CF 為何值時 S

19、最小，并求出這個最小值yEABDOFC xMSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 7 of 11【例10】如圖 13，二次函數 y = x2 + px + q( p < 0) 的圖象與 x 軸交于 A 、B 兩點，與 y 軸交DABC 的面積為 5 。4（1）求該二次函數的關系式；C（0，-1），（2）過 y 軸上的一點 M (0, m) 作 y 軸上的垂線，若該垂線與DABC 的外接圓有公共點，求 m 的取值范圍；（3）在該二次函數的圖象上是否存在點 D ，使四邊形 ABCD 為直角梯形？若存在，求出點 D 的坐標；若不存在，請說明理

20、由?！纠?1】已知：關于 x 的方程 mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 求證： m 取任何實數時，方程總有實數根；若二次函數 y = mx2 - 3(m -1)x + 2m -1 的圖象關于 y 軸對稱1求二次函數 y1 的式；已知一次函數 y2 = 2x - 2 ，證明：在實數范圍內，對于 x 的同一個值，這兩個函數所對應的函數值 y1 y2 均成立；在條件下，若二次函數 y2 = ax + bx + c 的圖象經過點(-5，0) ，且在實數范圍內，對于 x 的2 y ，均成立，求二次函數 y = ax2 + bx + c 的同一個值，這三個函數所對應的函數值 y y1

21、323式MSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 8 of 11【例12】已知關于 x 的方程 mx2 + (3 - 2m)x + (m - 3) = 0 ，其中m > 0 。（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；（2）設方程的兩個實數根分別為 x ， x ，其中 x > x ，若 y = x2 -1 ，求 y 與 m 的函數關系式；12123x1（3）在（2）的條件下，請根據函數圖象，直接寫出使不等式 y £ -m 成立的m 的取值范圍?！纠?3】已知關于 x 的方程(m -1)x2 - (2m -1)x + 2 = 0 有兩個正整數根.(1) 確定整數 m 值；(2) 在（1）的條件下，利用圖象寫出方程(m -1)x2 - (2m -1)x + 2 + m = 0 的實數根的個數.xMSDC 模塊化分級講義體系初中數學.中考復習.二次函數（一）.第 7 講.學生版Page 9 of 11【例14】已知拋物線 y = ax2 + bx + c 與 y