初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)第07講通用學(xué)生版

1、中考要求例題精講一、二次函數(shù)的定義一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a ，b ，c 為， a ¹ 0 ）的函數(shù)稱為 x 的二次函數(shù)，其中 x 為自變量，y 為因變量， a 、b 、c 分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)注意：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a ¹ 0 ，而b 、c 可以為零二次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)二、二次函數(shù)的圖象1二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（1） a 決定拋物線的開口方向當(dāng) a > 0 時(shí)，拋物線開口；當(dāng) a < 0 時(shí)，拋物線開口向下反之亦然a決定拋物線的開口大小： a越大，拋物線開口越??； a越小，拋物線開口越大

2、相等，則其形狀相同，即若a 相等，則開口及形狀相同，若溫馨提示：幾條拋物線的式中，若 aa 互為相反數(shù)，則形狀相同、開口相反（2） b 和 a 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置（拋物線的對(duì)稱軸： x =- b ）2a當(dāng)b = 0 時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為 y 軸； 當(dāng) a 、b 同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸的左側(cè)；當(dāng) a 、b 異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸的右側(cè)（3） c 的大小決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置（拋物線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ，c) ）當(dāng)c = 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；MSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 1 of 11內(nèi)容基

3、本要求略高要求較高要求二次函數(shù)了解二次函數(shù)的意義；會(huì)利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像能通過分析實(shí)際問題中的情境 確定二次函數(shù)的表；能從圖像上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的式求其圖象 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)確定圖像的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和開口方向； 會(huì)利用二次函數(shù)的圖像求出一 元二次方程的近似解能用二次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；能解決二次函數(shù)與其他知識(shí)結(jié)合的有關(guān)問題二次函數(shù)（二）當(dāng)c > 0 時(shí)，交點(diǎn)在 y 軸的正半軸； 當(dāng)c < 0 時(shí)，交點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸2.二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 化為頂點(diǎn)式 y = a(x - h)2 +

4、 k ，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y 軸的交點(diǎn)(0 ，c) 、以及(0 ，c) 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)(2h ，c) 、與 x 軸的交點(diǎn)( x1 ，0) ， ( x2 ，0)（若與 x 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與 x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn)3.點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)法一次函數(shù) y = ax + b （ a ¹ 0 ）圖像上的任意點(diǎn)可設(shè)為( x1，ax1 + b) .其中 x1 = 0 時(shí)，該點(diǎn)為直線與 y 軸交點(diǎn). 二次函數(shù) y = ax + bx + c

5、（ a ¹ 0 ）圖像上的任意一點(diǎn)可設(shè)為 x ，ax + bx + c) . x = 0 時(shí)，該點(diǎn)為拋(221111物線與 y 軸交點(diǎn)，當(dāng) x =- b 時(shí)，該點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)12a點(diǎn)( x1，y1 ) 關(guān)于( x2 ，x2 ) 的對(duì)稱點(diǎn)為(2x2 - x1，2 y2 - y1 ) 4.二次函數(shù)的圖象信息根據(jù)拋物線的開口方向a 的正負(fù)性b- 的大小根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸2a根據(jù)拋物線與 y 軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線與 x 軸有無交點(diǎn)，c 的大小b2 - 4ac 的正負(fù)性根據(jù)拋物線所經(jīng)過的已知坐標(biāo)的點(diǎn)，可得到關(guān)于 a，b，c 的等式4ac - b2根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)，的大小4a三、二次函數(shù)的圖象及

6、性質(zhì)1 二次函數(shù) y = ax2（a ¹ 0）的性質(zhì)：拋物線 y = ax2 的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），對(duì)稱軸是 x = 0 （ y 軸）函數(shù) y = ax2 的圖像與 a 的符號(hào)關(guān)系當(dāng) a > 0 時(shí)Û 拋物線開口Û 頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng) a < 0 時(shí)Û 拋物線開口向下Û 頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)；MSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 2 of 11a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a > 0(0 ，0)y 軸x > 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x < 0

7、時(shí)， y 隨x 的增大而減?。?x = 0 時(shí)， y 有最小值0 a < 0向下(0 ，0)y 軸x > 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。粁 < 0 時(shí)， y 隨x 的增大而增大； x = 0 時(shí)， y 有最大值0 2二次函數(shù) y = ax2 + c(a ¹ 0) 的性質(zhì)3 二次函數(shù) y = ax2 + bx + c（a ¹ 0）或 y = a(x - h)2 + k （ a ¹ 0 ）的性質(zhì)ìa > 0開口方向： ía < 0 Û向下î對(duì)稱軸： x =- b （或 x = h ）2ab 4

8、ac - b2頂點(diǎn)坐標(biāo)： (-,) （或(h, k) ）2a4a最值：yOx圖1圖24ac - b24ac - b2a > 0 時(shí)有最小值a < 0 時(shí)有最大值（或 k ）（如圖 1）；（或k ）（如圖 2）；4a4a單調(diào)性：二次函數(shù) y = ax2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的變化情況（增減性）如圖 1 所示，當(dāng) a > 0 時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè) x <- b ，y 隨著 x 的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè) x <- b，2a2ay 隨 x 的增大而增大；如圖 2 所示，當(dāng) a > 0 時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè) x <- b ， y 隨著 x 的增

9、大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè) x <- b ，2a2ay 隨 x 的增大而減??；與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： 與 y 軸的交點(diǎn)：（ 0 ， C ）； 與 x 軸的交點(diǎn)： 使方程 ax2 + bx + c = 0 （或a(x - h)2 + k = 0 ） 成立的 x 值例題精講【例1】把拋物線 y = ax2 + bx + c 的圖象先向右平移3 個(gè)，再向下平移 2 個(gè)，所得的圖象的式是 y = x2 - 3x + 5 ，則 a + b + c =MSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 3of 11a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a > 0(

10、0 ，c)y 軸x > 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x < 0 時(shí)， y 隨x 的增大而減?。?x = 0 時(shí)， y 有最小值c a < 0向下(0 ，c)y 軸x > 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；x < 0 時(shí)， y 隨x 的增大而增大； x = 0 時(shí)， y 有最大值c 【例2】如圖， ABCD 中， AB = 4 ，點(diǎn) D 的坐標(biāo)是(0 ， 8) ，以點(diǎn)C 為頂點(diǎn)的拋物線 y = ax2 + bx + c 經(jīng)過x 軸上的點(diǎn) A ， B 求點(diǎn) A ， B ， C 的坐標(biāo) 若拋物線平移后恰好經(jīng)過點(diǎn) D ，求平移后拋物線的式【例3】 設(shè)拋物線 y

11、= 2x2 ，把它向右平移 p 個(gè)恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求 p 、 q 的值，都能使拋物線與直線 y = x - 4，或向下移q 個(gè)，則得到的拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，3) 和 把拋物線 y = 2x2 向左平移 p 個(gè)(4 ，9) ，求 p 、 q 的值 把拋物線 y = ax2 + bx + c 向左平移3 個(gè)平移 q 個(gè)，后，所得拋物線為 y = ax2 ，其圖，向下移 2 個(gè)象經(jīng)過點(diǎn)æ -1，- 1 ö ，求原式ç2 ÷èøMSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 4 of 11DCOAB【

12、例4】如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P 為函數(shù) y = 1 x2 在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為4(0 ，1) ，直線l 過 B (0 ，-1) 且與 x 軸平行，過 P 作 y 軸的平行線分別交 x 軸、直線l 于C、Q ，連結(jié) AQ 交 x 軸于 H ，直線 PH 交 y 軸于 R 求證： H 點(diǎn)為線段 AQ 的中點(diǎn)； 求證：四邊形 APQR 為菱形； 除 P 點(diǎn)外，直線 PH 與拋物線 y = 1 x2 有無其它公共點(diǎn)？若有，求出其它公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，4請(qǐng)說明理由yPAOCxHlBQR【例5】如圖，已知拋物線 y = a(x -1)2 + 3 3(a ¹

13、; 0) 經(jīng)過點(diǎn) A(-2，0) ，拋物線的頂點(diǎn)為 D ，過 O 作射線OM AD 過頂點(diǎn) D 平行于 x 軸的直線交射線OMC ， B 在 x 軸正半軸上，連結(jié) BC （1）求該拋物線的式；（2）若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn)O 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)長(zhǎng)度的速度沿射線 OM 運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s) 問當(dāng)t 為何值時(shí)，四邊形 DAOP 分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC = OB ，動(dòng)點(diǎn) P 和動(dòng)點(diǎn)Q 分別從點(diǎn)O 和點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，分別以每秒 1 個(gè)長(zhǎng)度和 2 個(gè)長(zhǎng)度 的速度沿OC 和 BO 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (s) ，連

14、接 PQ ，當(dāng)t 為何值時(shí)，四邊形 BCPQ 的面積最小？并求出最小值及此時(shí) PQ 的長(zhǎng)MyDCPBAOQxMSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 5 of 11【例6】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，二次函數(shù) y = mx2 + (m - 3)x - 3 （ m > 0 ）的圖象與 x 軸交于 A 、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交（1） 求點(diǎn) A 的坐標(biāo)；（2） 當(dāng)ÐABC = 45° 時(shí)，求 m 的值；C （3）已知一次函數(shù) y = kx + b ，點(diǎn) P(n, 0) 是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

15、在（2）的條件下，過點(diǎn) P 垂直于 x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象M ，交二次函數(shù) y = mx2 + (m - 3)x - 3 （ m > 0 ）的圖象于N 若只有當(dāng)-2 < n < 2 時(shí)，點(diǎn) M 位N 的上方，求這個(gè)一次函數(shù)的式【例7】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y = - m -1 x2 + 5m x + m2 - 3m + 2 與 x 軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O 和44點(diǎn) A ，點(diǎn) B ( 2, n )在這條拋物線上（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）點(diǎn) P段OA 上，從O 點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)，過 P 點(diǎn)作 x 軸的垂線，與直線OB 交E 延長(zhǎng) PE到點(diǎn) D 使得 ED =

16、PE 以 PD 為斜邊，在 PD 右側(cè)作等腰直角三角形 PCD （當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，C 點(diǎn)、 D 點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）,當(dāng)?shù)妊苯侨切?PCD 的頂點(diǎn)C 落在此拋物線上時(shí)，求OP 的長(zhǎng)；若 P 點(diǎn)從O 點(diǎn)出發(fā)向 A 點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 1 個(gè)，同時(shí)線段OA 上另一點(diǎn)Q 從 A 點(diǎn)出發(fā)向O 點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2 個(gè)（當(dāng)Q 點(diǎn)到達(dá)O 點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， P 點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）過Q 點(diǎn)作 x 軸的垂線，與直線 AB 交 F 延長(zhǎng)QF 到點(diǎn) M ，使得 FM = QF ，以 QM 為斜邊，在QM 的左側(cè)作等腰直角三角形QMN （當(dāng)Q 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)， M 點(diǎn)， N 點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）若 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t 秒時(shí)

17、，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t 的值MSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 6 of 11，拋物線 y = ax2 + bx + c 經(jīng)過原點(diǎn)O ，與 x 軸交于另一點(diǎn) N ,直線 y = kx + 4 與兩坐標(biāo)軸【例8】分別交于 A 、 D 兩點(diǎn)，與拋物線交于 B(1, m) 、C(2, 2) 兩點(diǎn).（1）求直線與拋物線的式.（2）若拋物線在 x 軸上方的部分有一動(dòng)點(diǎn) P(x, y) ，設(shè)ÐPON =，求當(dāng)PON 的面積最大時(shí)tan a 的值.（3）若動(dòng)點(diǎn) P 保持（2）中的運(yùn)動(dòng)路線，問是否存在點(diǎn)

18、P ，使得POA 的面積等于PON 面積的8？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.15【例9】如圖，已知直角梯形 OABC 的邊OA 在 y 軸的正半軸上， OC 在 x 軸的正半軸上， OA = AB = 2 ，OC = 3 ，過點(diǎn) B 作 BD BC ，交OAD 將ÐDBC 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交 y 軸的正半軸、 x 軸的正半軸于 E 和 F （1）求經(jīng)過 A 、 B 、C 三點(diǎn)的拋物線的式；（2） 當(dāng) BE 經(jīng)過（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF 的長(zhǎng)；（3） 連結(jié) EF ，設(shè)DBEF 與DBFC 的面積之差為 S ，問：當(dāng)CF 為何值時(shí) S

19、最小，并求出這個(gè)最小值yEABDOFC xMSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 7 of 11【例10】如圖 13，二次函數(shù) y = x2 + px + q( p < 0) 的圖象與 x 軸交于 A 、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交DABC 的面積為 5 。4（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；C（0，-1），（2）過 y 軸上的一點(diǎn) M (0, m) 作 y 軸上的垂線，若該垂線與DABC 的外接圓有公共點(diǎn)，求 m 的取值范圍；（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) D ，使四邊形 ABCD 為直角梯形？若存在，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

20、由?！纠?1】已知：關(guān)于 x 的方程 mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 求證： m 取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；若二次函數(shù) y = mx2 - 3(m -1)x + 2m -1 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱1求二次函數(shù) y1 的式；已知一次函數(shù) y2 = 2x - 2 ，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于 x 的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y1 y2 均成立；在條件下，若二次函數(shù) y2 = ax + bx + c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-5，0) ，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于 x 的2 y ，均成立，求二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y y1

21、323式MSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 8 of 11【例12】已知關(guān)于 x 的方程 mx2 + (3 - 2m)x + (m - 3) = 0 ，其中m > 0 。（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 x ， x ，其中 x > x ，若 y = x2 -1 ，求 y 與 m 的函數(shù)關(guān)系式；12123x1（3）在（2）的條件下，請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出使不等式 y £ -m 成立的m 的取值范圍?！纠?3】已知關(guān)于 x 的方程(m -1)x2 - (2m -1)x + 2 = 0 有兩個(gè)正整數(shù)根.(1) 確定整數(shù) m 值；(2) 在（1）的條件下，利用圖象寫出方程(m -1)x2 - (2m -1)x + 2 + m = 0 的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).xMSDC 模塊化分級(jí)講義體系初中數(shù)學(xué).中考復(fù)習(xí).二次函數(shù)（一）.第 7 講.學(xué)生版Page 9 of 11【例14】已知拋物線 y = ax2 + bx + c 與 y