振動(dòng)理論 第二章 習(xí)題解答

1、第二章習(xí)題21 一重塊，支承在平臺(tái)上，如題2-1圖所示。重塊下聯(lián)結(jié)兩個(gè)彈簧，其剛度均為。在圖示位置時(shí)，每個(gè)彈簧已有初壓力。設(shè)將平臺(tái)突然撤去，則重塊下落多少距離？ Wk k 題21圖 解答：由題可知：彈簧在初始時(shí)的形變?cè)O(shè)重塊將下落h m，則： 于是： 2-3求題2-3圖所示的軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率。軸的直徑為d，剪切彈性摸量為G，兩端固定。圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,固定于軸上，至軸兩端的距離分別為。解：以圓軸的軸線為固定軸，建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程 慣性力矩： 恢復(fù)力矩：由動(dòng)靜法得 因此 2-4 一均質(zhì)等直桿AB，重為W，用兩相同尺寸的鉛垂直線懸掛如題2-4圖所示。線長(zhǎng)為，兩線相距為。試推導(dǎo)AB桿繞通過

2、重心的鉛垂軸作微擺動(dòng)的振動(dòng)微分方程，并求出其固有頻率。aaABWbbFTT解：AB桿繞重心擺動(dòng)，則： 2-5 有一簡(jiǎn)支梁，抗彎剛度EI=2E10 Nc，跨度為L(zhǎng)=4m，用題圖(a),(b)的兩種方式在梁跨中連接一螺旋彈簧和重塊。彈簧剛度K=5kN/cm，重塊質(zhì)量W=4kN,求兩種彈簧的固有頻率。 (a) (b) 解：根據(jù)材料力學(xué)理論可知簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的剛度（a） 圖可以看作彈簧和桿的并聯(lián)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率已知EI=2E10 Nc, K=5kN/cm, W=4kN代入數(shù)據(jù)得（b） 圖可以看作彈簧和桿的串聯(lián) 所以代入數(shù)據(jù)得29一有黏性阻尼的單自由度系統(tǒng)，在振動(dòng)時(shí)，它的振幅在5個(gè)周期之后減少了50%

3、。試求系統(tǒng)的相對(duì)阻尼系數(shù)。 【解】 由（2-33）式得 兩端取對(duì)數(shù)，得 則：210 列出題210圖所示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并計(jì)算其振動(dòng)頻率。解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力如上所示由動(dòng)靜法原理可得： 令 ， 則 ，振動(dòng)頻率： 211如題21圖所示軸承，軸的直徑剪切彈性模量。圓盤饒對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,并在(kNcm)的外力偶矩作用下發(fā)生扭振，求振幅值。 2-11解：慣性力矩 恢復(fù)力矩 微分方程 所以，振幅 已知 ，,代入數(shù)據(jù)得 212 已知一彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量塊重，彈簧剛度，作用在質(zhì)量塊上的力為，而受阻力為。的單位均為，的單位為的單位為。求（1）忽略阻力時(shí)，質(zhì)量塊的位移和放大因子；（2）考慮阻力時(shí)，質(zhì)量塊的位移

4、和放大因子。解： 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為： 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：其中：忽略阻力時(shí)，即， 則 放大因子：則系統(tǒng)的響應(yīng)為：（2）考慮阻力時(shí)，則： 放大因子： 則系統(tǒng)的響應(yīng)為：213 一有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，其固有頻率為，彈簧剛度為，黏性阻尼系數(shù)。求在外力作用下的振幅和相位角。解答：由題可知： ；由于 則 2-14 試寫出有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在初始條件， =0和質(zhì)量塊上受有 =時(shí)的響應(yīng)。解：阻尼較小時(shí)，即，系統(tǒng)響應(yīng)為 其中， 代入初始條件 =0，解得 因此，系統(tǒng)響應(yīng)為 215 一電動(dòng)機(jī)裝置在由螺旋彈簧所支承的平臺(tái)上，電動(dòng)機(jī)與平臺(tái)總質(zhì)量為100kg，彈簧的總剛度k=700N/cm。電動(dòng)機(jī)軸上有一偏心質(zhì)量為1kg，

5、偏心距離e=10cm，電機(jī)轉(zhuǎn)速n=2000r/min，求平臺(tái)的振幅。 解：由公式得= 該系統(tǒng)的振動(dòng)為偏心振動(dòng)，故運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為：式中，圓頻率 （） 頻率比 設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)則， 由公式得，（） 2-17 寫出題2-17圖所示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求出穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解。 題2-17圖解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為： 方程的解可表示為：其中為方程的特解，亦即穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解，令其形式為：將及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入運(yùn)動(dòng)微分方程，整理得：令 ，則 ， ，從而得于是得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：相應(yīng)地求得相位角：2-20 試寫過如題2-20圖所示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求出系統(tǒng)的固有頻率，相對(duì)阻尼系數(shù)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅。解：得；則 方程轉(zhuǎn)化為 ， 2-21 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在如題2-21圖所示的激振力作用下作強(qiáng)迫振動(dòng)。試求其穩(wěn)定振動(dòng)的響應(yīng)。x/02/03/04/0y 1 0 -1解：先將分解為各簡(jiǎn)諧激勵(lì)，并計(jì)算傅立葉系數(shù)由圖可知，激勵(lì)的均值系統(tǒng)的響應(yīng)為222 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)如題222圖所示的激振里作用下作強(qiáng)迫振動(dòng)。試求其穩(wěn)態(tài)振動(dòng)