第七章 常微分方程數(shù)值解

1、第七章常微分方程數(shù)值解7.1引言本章討論常微分方程初值問(wèn)題()的數(shù)值解法，這也是科學(xué)與工程計(jì)算經(jīng)常遇到的問(wèn)題，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用計(jì)算機(jī)求解常微分方程的初值問(wèn)題都要采用數(shù)值方法.通常我們假定()中f(x,y)對(duì)y滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L0，使對(duì)，有()則初值問(wèn)題()的解存在唯一.假定()的精確解為，求它的數(shù)值解就是要在區(qū)間上的一組離散點(diǎn)上求的近似.通常取，h稱為步長(zhǎng)，求(7.1.1)的數(shù)值解是按節(jié)點(diǎn)的順序逐步推進(jìn)求得.首先，要對(duì)方程做離散逼近，求出數(shù)值解的公式，再研究公式的局部截?cái)嗾`差，計(jì)算穩(wěn)定性以及數(shù)值解的收斂性與整體誤差等問(wèn)題.7.2簡(jiǎn)單的單步法及基本

2、概念7.2.1Euler法、后退Euler法與梯形法求初值問(wèn)題()的一種最簡(jiǎn)單方法是將節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用差商代替，于是(7.1.1)的方程可近似寫(xiě)成()從出發(fā)，由()求得再將代入(7.2.1)右端，得到的近似，一般寫(xiě)成()稱為解初值問(wèn)題的Euler法.Euler法的幾何意義如圖7-1所示.初值問(wèn)題()的解曲線y=y(x)過(guò)點(diǎn)，從出發(fā)，以為斜率作一段直線，與直線交點(diǎn)于，顯然有，再?gòu)某霭l(fā)，以為斜率作直線推進(jìn)到上一點(diǎn)，其余類(lèi)推，這樣得到解曲線的一條近似曲線，它就是折線.Euler法也可利用的Taylor展開(kāi)式得到，由()略去余項(xiàng)，以，就得到近似計(jì)算公式().另外，還可對(duì)()的方程兩端由到積分得()若右端積

3、分用左矩形公式，用，則得().如果在()的積分中用右矩形公式，則得()稱為后退(隱式)Euler法.若在()的積分中用梯形公式，則得()稱為梯形方法.上述三個(gè)公式()，(7.2.5)及(7.2.6)都是由計(jì)算，這種只用前一步即可算出的公式稱為單步法，其中(7.2.2)可由逐次求出的值，稱為顯式方法，而(7.2.5)及(7.2.6)右端含有當(dāng)f對(duì)y非線性時(shí)它不能直接求出，此時(shí)應(yīng)把它看作一個(gè)方程，求解，這類(lèi)方法稱為穩(wěn)式方法.此時(shí)可將(7.2.5)或(7.2.6)寫(xiě)成不動(dòng)點(diǎn)形式的方程這里對(duì)式()有，對(duì)(7.2.6)則，g與無(wú)關(guān)，可構(gòu)造迭代法()由于對(duì)y滿足條件()，故有當(dāng)或，迭代法()收斂到，因此只

4、要步長(zhǎng)h足夠小，就可保證迭代(7.2.7)收斂.對(duì)后退Euler法(7.2.5)，當(dāng)時(shí)迭代收斂，對(duì)梯形法(7.2.6)，當(dāng)時(shí)迭代序列收斂.例7.1 用Euler法、隱式Euler法、梯形法解取h=0.1，計(jì)算到x=0.5，并與精確解比較.解 本題可直接用給出公式計(jì)算.由于，Euler法的計(jì)算公式為n=0時(shí)，.其余n=1,2,3,4的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-1.對(duì)隱式Euler法，計(jì)算公式為解出當(dāng)n=0時(shí)，.其余n=1,2,3,4的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-1.表7-1 例7.1的三種方法及精確解的計(jì)算結(jié)果對(duì)梯形法，計(jì)算公式為解得當(dāng)n=0時(shí)，.其余n=1,2,3,4的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-1.本題的精確解為，表7-1列

5、出三種方法及精確解的計(jì)算結(jié)果. 單步法的局部截?cái)嗾`差解初值問(wèn)題()的單步法可表示為()其中與有關(guān)，稱為增量函數(shù)，當(dāng)含有時(shí)，是隱式單步法，如()及(7.2.6)均為隱式單步法，而當(dāng)不含時(shí)，則為顯式單步法，它表示為()如Euler法()，.為討論方便，我們只對(duì)顯式單步法(7.2.9)給出局部截?cái)嗾`差概念.定義2.1 設(shè)y(x)是初值問(wèn)題()的精確解，記()稱為顯式單步法()在的局部截?cái)嗾`差.之所以稱為局部截?cái)嗾`差，可理解為用公式()計(jì)算時(shí)，前面各步都沒(méi)有誤差，即，只考慮由計(jì)算到這一步的誤差，此時(shí)由(7.2.10)有局部截?cái)嗾`差()實(shí)際上是將精確解代入(7.2.9)產(chǎn)生的公式誤差，利用Taylor展

6、開(kāi)式可得到.例如對(duì)Euler法(7.2.2)有，故它表明Euler法()的局部截?cái)嗾`差為，稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).定義2.2 設(shè)是初值問(wèn)題()的精確解，若顯式單步法(7.2.9)的局部截?cái)嗾`差，是展開(kāi)式的最大整數(shù)，稱為單步法(7.2.9)的階，含的項(xiàng)稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).根據(jù)定義，Euler法()中的=1故此方法為一階方法.對(duì)隱式單步法()也可類(lèi)似求其局部截?cái)嗾`差和階，如對(duì)后退Euler法(7.2.5)有局部截?cái)嗾`差故此方法的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為，也是一階方法.對(duì)梯形法()同樣有它的局部誤差主項(xiàng)為，方法是二階的. 改進(jìn)Euler法上述三種簡(jiǎn)單的單步法中，梯形法()為二階方法，且局部截?cái)嗾`差最小，但

7、方法是隱式的，計(jì)算要用迭代法.為避免迭代，可先用Euler法計(jì)算出的近似，將(7.2.6)改為()稱為改進(jìn)Euler法，它實(shí)際上是顯式方法.即()右端已不含.可以證明，=2,故方法仍為二階的，與梯形法一樣，但用()計(jì)算不用迭代.例7.2 用改進(jìn)Euler法求例7.1的初值問(wèn)題并與Euler法和梯形法比較誤差的大小.解 將改進(jìn)Euler法用于例7.1的計(jì)算公式當(dāng)n=0時(shí)，.其余結(jié)果見(jiàn)表7-2.表7-2 改進(jìn)Euler法及三種方法的誤差比較從表7-2中看到改進(jìn)Euler法的誤差數(shù)量級(jí)與梯形法大致相同，而比Euler法小得多，它優(yōu)于Euler法.講解： 求初值問(wèn)題（）的數(shù)值解就是在假定初值問(wèn)題解存在

8、唯一的前提下在給定區(qū)間上的一組離散點(diǎn)上求解析解的一組近似為此先要建立求數(shù)值解的計(jì)算公式，通常稱為差分公式，簡(jiǎn)單的單步法就是由計(jì)算下一步，構(gòu)造差分公式有三種方法，一是用均差（即差商）近似，二是用等價(jià)的積分方程（7.2.4）用數(shù)值積分方法，三是用函數(shù)的Taylor展開(kāi)，其中Taylor展開(kāi)最有普遍性，可以得到任何數(shù)值解的計(jì)算公式及其局部截?cái)嗾`差。計(jì)算公式是微分方程的一種近似，局部截?cái)嗾`差的概念就是刻劃這種逼迫的好壞。當(dāng)為微分方程的解，即，而用，定義局部截?cái)嗾`差，它表示用精確解代入計(jì)算公式（）產(chǎn)生的公式誤差為越大表明公式逼近微分方程的精度越高，因此就定義為公式的階，通常的公式才能用于計(jì)算初值問(wèn)題（7

9、.1.1）的數(shù)值解。利用Taylor展開(kāi)時(shí)，只要將 的表達(dá)式在處展開(kāi)成Taylor公式就可得到不同公式的局部截?cái)嗾`差。如7.2.2所給出的Euler法。后退Euler法和梯形法，它們只需用一元函數(shù)的Taylor展開(kāi)，與后面7.5節(jié)的多步法完全一致，而通常單步法（）的一般情況則需要用二元函數(shù)的Taylor展開(kāi)，才能得到公式的具體形式和局部截?cái)嗾`差。例如對(duì)改進(jìn)Euler法，其局部截?cái)嗾`差由（7.2.12）可得 要求出它的結(jié)果就要用到二元函數(shù)的Taylor展開(kāi)，將在7.3節(jié)再作介紹。7.3 Runge-Kutta方法 顯式 Runge-Kutta法的一般形式 上節(jié)已給出與初值問(wèn)題()等價(jià)的積分形式(

10、7.3.1)只要對(duì)右端積分用不同的數(shù)值求積公式近似就可得到不同的求解初值問(wèn)題()的數(shù)值方法，若用顯式單步法()當(dāng)，即數(shù)值求積用左矩形公式，它就是Euler法()，方法只有一階，若取()就是改進(jìn)Euler法，這時(shí)數(shù)值求積公式是梯形公式的一種近似，計(jì)算時(shí)要用二個(gè)右端函數(shù)f的值，但方法是二階的.若要得到更高階的公式，則求積分時(shí)必須用更多的f值，根據(jù)數(shù)值積分公式，可將()右端積分表示為注意，右端f中還不能直接得到，需要像改進(jìn)Euler法()一樣，用前面已算得的f值表示為(7.3.3)，一般情況可將(7.3.2)的表示為()其中這里均為待定常數(shù)，公式()，(7.3.4)稱為r級(jí)的顯式Runge-Kutt

11、a法，簡(jiǎn)稱R-K方法.它每步計(jì)算r個(gè)f值(即)，而ki由前面(i-1)個(gè)已算出的表示，故公式是顯式的.例如當(dāng)r=2時(shí)，公式可表示為()其中.改進(jìn)Euler法()就是一個(gè)二級(jí)顯式R-K方法.參數(shù)取不同的值，可得到不同公式. 二、三級(jí)顯式R-K方法對(duì)r=2的顯式R-K方法()，要求選擇參數(shù)，使公式的階p盡量高，由局部截?cái)嗾`差定義(7.3.6)令，對(duì)()式在處按Taylor公式展開(kāi)，由于將上述結(jié)果代入()得要使公式()具有的階p=2,即，必須()即由此三式求的解不唯一.因r=2，故，于是有解()它表明使()具有二階的方法很多，只要都可得到二階R-K方法.若取，則，則得改進(jìn)Euler法(7.2.11)

12、，若取，則得，此時(shí)(7.3.5)為()其中稱為中點(diǎn)公式.后退Euler法()及中點(diǎn)公式(7.3.9)是兩個(gè)常用的二級(jí)R-K方法，注意二級(jí)R-K方法只能達(dá)到二階，而不可能達(dá)到三階.因?yàn)閞=2只有4個(gè)參數(shù)，要達(dá)到p=3則在(7.3.6)的展開(kāi)式中要增加3項(xiàng)，即增加三個(gè)方程.加上(7.3.7)的三個(gè)方程求4個(gè)待定參數(shù)是無(wú)解的.當(dāng)然r=2,p=2的R-K方法(7.3.5)當(dāng)取其他數(shù)時(shí)，也可得到其他公式，但系數(shù)較復(fù)雜，一般不再給出.對(duì)r=3的情形，要計(jì)算三個(gè)k值，即其中將按二元函數(shù)在處按Taylor公式展開(kāi)，然后代入局部截?cái)嗾`差表達(dá)式，可得可得三階方法，其系數(shù)應(yīng)滿足方程()這是8個(gè)未知數(shù)6個(gè)方程的方程組

13、，解也是不唯一的，通常.一種常見(jiàn)的三級(jí)三階R-K方法是下面的Kutta三階方法：() 四階R-K方法及步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇利用二元函數(shù)Taylor展開(kāi)式可以確定()中r=4,p=4的R-K方法，經(jīng)典的四階R-K方法是：()它的局部截?cái)嗾`差，故p=4,這是最常用的四階R-K方法，數(shù)學(xué)庫(kù)中都有用此方法求解初值問(wèn)題的軟件.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是精度較高，缺點(diǎn)是每步要算4個(gè)右端函數(shù)值，計(jì)算量較大.例7.3 用經(jīng)典四階R-K方法解例7.1的初值問(wèn)題，仍取h=0.1，計(jì)算到，并與改進(jìn)Euler法、梯形法在處比較其誤差大小.解 用四階R-K方法公式()，此處，于是當(dāng)n=0時(shí)于是，按公式()可算出此方法誤差：改進(jìn)Eule

14、r法誤差：梯形法誤差：可見(jiàn)四階R-K方法的精度比二階方法高得多.用四階R-K方法求解初值問(wèn)題()精度較高，但要從理論上給出誤差的估計(jì)式則比較困難.那么應(yīng)如何判斷計(jì)算結(jié)果的精度以及如何選擇合適的步長(zhǎng)h?通常是通過(guò)不同步長(zhǎng)在計(jì)算機(jī)上的計(jì)算結(jié)果近似估計(jì).設(shè)在處的值,當(dāng)時(shí)，的近似為，于是由四階R-K方法有若以為步長(zhǎng)，計(jì)算兩步到，則有于是得即或()它給出了誤差的近似估計(jì).如果(為給定精度)，則認(rèn)為以為步長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果滿足精度要求，若，則還可放大步長(zhǎng).因此()提供了自動(dòng)選擇步長(zhǎng)的方法.講解：求初值問(wèn)題（）的單步法主要是指Runge-Kutta法，本節(jié)主要討論顯式RK方法，建立具體的計(jì)算公式使用的是Taylo

15、r展開(kāi)，形如（7.3.4）的顯式RK方法，當(dāng)r1時(shí)就是Euler法，因此只要討論的計(jì)算公式，在r確定后如何推導(dǎo)公式都是一樣的，只是r越大計(jì)算越復(fù)雜，為了掌握了解公式來(lái)源，只要以r2為例推導(dǎo)計(jì)算公式即可。因此本節(jié)重點(diǎn)就是用Taylor展開(kāi)求出r2的顯式R-K方法的計(jì)算公式，由于方法的局部截?cái)嗾`差為（7.3.6），的右端有的項(xiàng)，要對(duì)它做Taylor展開(kāi)，就要用到二元函數(shù)的Taylor展開(kāi)，按照二元函數(shù)Taylor級(jí)數(shù)（）將它用到（）的的展開(kāi)式中，即可得到按升冪整理出的結(jié)果，對(duì)r2的公式只能得到2階的公式，即，于是2級(jí)R-K方法（7.3.5）的系數(shù)必須滿足（7.3.7）給出的方程，它的解由（7.3.

16、8）給出，只要，求出的公式都是r=2的2階R-K方法。而常用的就是得到的改進(jìn)Euler法（7.2.11）和得到的中點(diǎn)公式（7.3.9）。7.4 單步法的收斂性與絕對(duì)穩(wěn)定性 單步法的收斂性定義4.1 設(shè)y(x)是初值問(wèn)題()的精確解，是單步法(7.3.2)在處產(chǎn)生的近似解，若則稱方法()產(chǎn)生的數(shù)值解收斂于.實(shí)際上，定義中是一固定點(diǎn)，當(dāng)h0時(shí)n，n不是固定的.因顯然方法收斂，則在固定點(diǎn)處的整體誤差，當(dāng)p1時(shí).下面定理給出方法()收斂的條件.定理4.1設(shè)初值問(wèn)題()的單步法(7.3.2)是p階方法(p1)，且函數(shù)對(duì)y滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L0,使對(duì),均有則方法()收斂，且.定理證明略

17、.可見(jiàn)3. 絕對(duì)穩(wěn)定性用單步法()求數(shù)值解，由于原始數(shù)據(jù)及計(jì)算過(guò)程舍入誤差影響，實(shí)際得到的不是而是，其中是誤差，再計(jì)算下一步得到以Euler法為例，若令,則()如果，則從計(jì)算到誤差不增長(zhǎng)，它是穩(wěn)定的.但如果條件不滿足就不穩(wěn)定.例7.4 y=-100y,y(0)=1,精確解為，用Euler法求解得若取h=0.025，則,當(dāng)，而，顯然計(jì)算是不穩(wěn)定的.如果用后退Euler法()解此例，仍取h=0.025,則,即顯然當(dāng)，計(jì)算是穩(wěn)定的.由此看到穩(wěn)定性與方法有關(guān)，也與有關(guān)，在此例中.在研究方法的穩(wěn)定性時(shí)，通常不必對(duì)一般的f(x,y)進(jìn)行討論，而只針對(duì)模型方程()這里可能為復(fù)數(shù).規(guī)定是因?yàn)闀r(shí)微分方程()本身

18、是不穩(wěn)定的，而討論數(shù)值方法(7.3.2)的穩(wěn)定性，必須在微分方程本身穩(wěn)定的前提下進(jìn)行.另一方面，對(duì)初值問(wèn)題(7.1.1)，若將f(x,y)在處線性展開(kāi)，可得于是方程()可近似表示為它表明用模型方程()是合理的，至于模型方程(7.4.2)中所以用復(fù)數(shù)是因?yàn)槌踔祮?wèn)題(7.1.1)如果是方程組，即，則是(m×m)階矩陣，其特征值可能是復(fù)數(shù).當(dāng)然對(duì)單個(gè)方程，就是實(shí)數(shù)，此時(shí)只要規(guī)定0即可.用單步法()解模型方程(7.4.2)可得到()其中依賴所選方法，如用Euler法則()此時(shí)由()看到誤差方程也為，與(7.4.4)是一樣的.因此對(duì)一般單步法(7.3.2)誤差方程也與(7.4.3)一致.下面再

19、考慮二階R-K方法有對(duì)四階R-K方法，可得定義4.2將單步法()用于解模型方程(7.4.2)，若得到(7.4.3)中的 則稱方法是絕對(duì)穩(wěn)定的.在復(fù)平面上復(fù)變量滿足 的區(qū)域，稱為方法(7.3.2)的絕對(duì)穩(wěn)定域，它與實(shí)軸的交點(diǎn)稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.例如對(duì)Euler法， 在復(fù)平面上是以(-1，0)為圓心，以1為半徑的單位圓域內(nèi)部，當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，則得絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，因0，故有.在例7.4中時(shí)方法穩(wěn)定，而例中取h=0.025故不穩(wěn)定.對(duì)后退Euler法()，因0，故，其絕對(duì)穩(wěn)定域是以(1，0)為圓心的單位圓外部，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，即對(duì)任何h0方法都是絕對(duì)穩(wěn)定的.二階R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為.三階R-K方法的絕

20、對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為.四階R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為.例7.5 用經(jīng)典四階R-K方法計(jì)算初值問(wèn)題步長(zhǎng)取h=0.1及0.2,給出計(jì)算誤差并分析其穩(wěn)定性.解 本題直接按R-K方法()的公式計(jì)算.因精確解為，其計(jì)算誤差如表所示.從計(jì)算結(jié)果看到，h=0.2時(shí)誤差很大，這是由于在=-20,h=0.2時(shí)h=-4，而四階R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為-2.785,0,故h=0.2時(shí)計(jì)算不穩(wěn)定，誤差很大.而h=0.1時(shí)=-2，其值在絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間-2.785,0內(nèi)，計(jì)算穩(wěn)定，故結(jié)果是可靠的.講解：由于微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解公式求出的解是一個(gè)逐次遞推的過(guò)程，因此原始數(shù)據(jù)誤差及計(jì)算過(guò)程舍入誤差對(duì)解的影響就是數(shù)值方法絕對(duì)穩(wěn)定性研

21、究的問(wèn)題，如果由計(jì)算誤差不增長(zhǎng)，方法就是絕對(duì)穩(wěn)定的。為使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化通常就是將方法用于解模型方程（），對(duì)于單步法得到的差分方程為，由于模型方程的，代入Euler法，得，對(duì)二階R-K方法，例如，用改進(jìn)Euler法于是對(duì)三階R-K方法有對(duì)四階R-K方法有只要方法，就是絕對(duì)穩(wěn)定的，這時(shí)的值當(dāng)n增大式是減少的，故計(jì)算穩(wěn)定。這時(shí)舍入誤差影響可忽略不計(jì)，而當(dāng)，則增大，方法不穩(wěn)定，計(jì)算結(jié)果是不可靠的。因此用顯式單步法必須使，也就是步長(zhǎng)選擇要滿足這一要求。對(duì)于隱式的梯形公式將模型方程，即代入得于是注意，于是有，對(duì)成立。這就表明對(duì)任意步長(zhǎng)h，梯形法都是絕對(duì)穩(wěn)定的。7.5 線性多步法 線性多步法的一般公式前面給出

22、了求解初值問(wèn)題()的單步法，其特點(diǎn)是計(jì)算 時(shí)只用到 的值，此時(shí) 的值均已算出.如果在計(jì)算 時(shí)除用 的值外，還用到 的值，這就是多步法.若記,h為步長(zhǎng)，則線性多步法可表示為()其中為常數(shù)，若，稱()為線性k步法.計(jì)算時(shí)用到前面已算出的k個(gè)值.當(dāng)時(shí)，(7.5.1)為顯式方法，當(dāng)則稱(7.5.1)為隱式多步法.隱式方法與梯形方法一樣，計(jì)算時(shí)要用迭代法求.多步法(7.5.1)的局部截?cái)嗾`差定義也與單步法類(lèi)似.定義5.1設(shè)y(x)是初值問(wèn)題()的精確解，線性多步法(7.5.1)在處的局部截?cái)嗾`差定義為()若，則稱線性多步法()是p階的.如果我們希望得到的多步法是p階的，則可利用Taylor公式展開(kāi)，將在

23、處展開(kāi)到階，它可表示為()注意，()式按Taylor展開(kāi)可得經(jīng)整理比較系數(shù)可得()若線性多步法()為p階，則可令于是得局部截?cái)嗾`差()右端第一項(xiàng)稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).稱為誤差常數(shù).要使多步法()逼近初值問(wèn)題(7.1.1),方法的階p1,當(dāng)p=1時(shí)，則，由(7.5.4)得稱為相容性條件.公式()當(dāng)k=1時(shí)即為單步法，若,由(7.5.6)則得式()就是，即為Euler法.此時(shí)，方法為p=1階.若，由得,為確定及，必須令,由(7.5.4)得及此時(shí)()就是,即為梯形法.由故p=2,方法是二階的，與7.1節(jié)中給出的結(jié)果相同.實(shí)際上，當(dāng)k給定后，則可利用()求出公式(7.5.1)中的系數(shù)及，并求得的表達(dá)式

24、(7.5.5).7.5.2 Adams顯式與隱式方法形如()的k步法稱為 Adams 方法，當(dāng) 時(shí)為 Adams 顯式方法，當(dāng)時(shí)，稱為Adams隱式方法.對(duì)初值問(wèn)題()的方程兩端從到積分得顯然只要對(duì)右端的積分用插值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)取為即可推出形如()的多步法，但這里我們?nèi)圆捎肨aylor展開(kāi)的方法直接確定(7.5.7)的系數(shù).對(duì)比(7.5.1)可知，此時(shí)，只要確定即可.現(xiàn)在若k=4且，即為4步的Adams顯式方法其中為待定參數(shù)，若直接用()，可知此時(shí)自然成立，再令可得解此方程組得.由此得到于是得到四階Adams顯式方法及其余項(xiàng)為()()若，則可得到p=4的Adams隱式公式，則k=3并令，由

25、()可得解得，而，于是得到四階Adams隱式方法及余項(xiàng)為()()一般情形，k步Adams顯式方法是k階的，k=1即為Euler法，k=2為k=3時(shí)，.k步隱式方法是(k+1)階公式，k=1為梯形法，k=2為三階隱式Adams公式k步的Adams方法計(jì)算時(shí)必須先用其他方法求出前面k個(gè)初值才能按給定公式算出后面各點(diǎn)的值，它每步只需計(jì)算一個(gè)新的f值，計(jì)算量少，但改變步長(zhǎng)時(shí)前面的也要跟著重算，不如單步法簡(jiǎn)便.例7.6 用四階顯式Adams方法及四階隱式Adams方法解初值問(wèn)題,步長(zhǎng)h=0.1用到的初始值由精確解計(jì)算得到.解 本題直接由公式()及(7.5.10)計(jì)算得到.對(duì)于顯式方法，將直接代入式(7.

26、5.8)得到其中.對(duì)于隱式方法，由式()可得到直接求出，而不用迭代，得到計(jì)算結(jié)果如表所示.7.5.3 Adams預(yù)測(cè)-校正方法上述給出的Adams顯式方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但精度比隱式方法差，而隱式方法由于每步要做迭代，計(jì)算不方便.為了避免迭代，通?？蓪⑼A的顯式Adams方法與隱式Adams方法結(jié)合，組成預(yù)測(cè)-校正方法.以四階方法為例，可用顯式方法()計(jì)算初始近似，這個(gè)步驟稱為預(yù)測(cè)(Predictor)，以P表示，接著計(jì)算f值(Evaluation),，這個(gè)步驟用E表示，然后用隱式公式(7.5.10)計(jì)算，稱為校正(Corrector)，以C表示，最后再計(jì)算，為下一步計(jì)算做準(zhǔn)備.整個(gè)算法如下：()公

27、式()稱為四階Adams預(yù)測(cè)-校正方法(PECE).利用()和(7.5.10)的局部截?cái)嗾`差(7.5.9)和(7.5.11)可對(duì)預(yù)測(cè)-校正方法(7.5.12)進(jìn)行修改，在(7.5.12)中的步驟P有對(duì)于步驟C有兩式相減可得于是有若用代替上式,并令顯然比更好，但注意到的表達(dá)式中是未知的，因此改為下面給出修正的預(yù)測(cè)-校正格式(PMECME).()經(jīng)過(guò)修正后的PMECME格式比原來(lái)PECE格式提高一階.Milne方法與 Hamming方法 與Adams顯式方法不同的另一類(lèi)四階顯式方法的計(jì)算公式形如()這里為待定常數(shù)，此公式也是k=4步方法，即計(jì)算時(shí)要用到4個(gè)值.為了確定，當(dāng)然可以利用公式()直接算出

28、，但下面我們直接利用Taylor展開(kāi)式確定,使它的階盡量高.方法(7.5.14)的局部截?cái)嗾`差為將它在點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，得要使公式的階盡量高，要令前3項(xiàng)系數(shù)為0.即解得,代入公式，的系數(shù)為0，故()于是得四階方法()稱為Milne公式，它的局部截?cái)嗾`差為().與()配對(duì)的隱式方法為k=3的多步法，它的一般形式可表示為要求公式的階p=4，可直接用()，并令,可得()若令，可解出，于是得到下列四階方法()稱為Simpson公式，它的局部截?cái)嗾`差為()用Simpson公式與Milne公式()相匹配，用(7.5.16)做預(yù)測(cè)，(7.5.18)做校正，由于(7.5.18)的穩(wěn)定性較差，因此通常較少

29、使用.為了改善穩(wěn)定性，可重新選擇四階的隱式公式，Hamming通過(guò)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在(7.5.17)中若令,得到的公式穩(wěn)定性較好，此時(shí)(7.5.17)的解為,于是得四階多步法()稱為Hamming公式，它的局部截?cái)嗾`差為()用Milne公式()與Hamming公式(7.5.20)相匹配，并利用截?cái)嗾`差公式(7.5.15)與(7.5.21)改進(jìn)計(jì)算結(jié)果.類(lèi)似Adams預(yù)測(cè)-校正格式(7.5.13)，可得以下的預(yù)測(cè)-校正格式(PMECME)：()例7.7 用四步四階顯式Milne公式及三步四階隱式Hamming公式解初值問(wèn)題,步長(zhǎng)h=0.1初值仍由精確解給出，要求計(jì)算到為止，給出計(jì)算結(jié)果及誤差，并與例7

30、.6結(jié)果比較.解 直接用公式()及(7.5.20)計(jì)算.用Milne法計(jì)算公式為其中誤差用Hamming方法()計(jì)算公式為可解得 ，n=2,3,4誤差從所得結(jié)果可見(jiàn)Milne方法誤差比顯式Adams方法誤差略小，而Hamming方法與隱式Adams方法誤差相當(dāng).例7.8 將例7.7的初值問(wèn)題用修正的Milne-Hamming預(yù)測(cè)-校正公式計(jì)算及，初值，仍用已算出的精確解，即，給出計(jì)算結(jié)果及誤差.解根據(jù)修正的Milne-Hamming預(yù)測(cè)-校正公式()得從結(jié)果看，此方法誤差比四階Adams隱式法和四階Hamming方法小，這與理論分析一致.講解：線性多步法（）的局部截?cái)嗾`差定義為與單步法相似，可

31、表示為（7.5.2），即只要直接將右端各項(xiàng)在處展成Taylor公式，根據(jù)公式階數(shù)為階，即按的冪整理，令各項(xiàng)系數(shù)為0，則可求得相應(yīng)的線性多步法及其局部截?cái)嗾`差，這里只用到一元函數(shù)的Taylor展開(kāi)。因此不必記系數(shù)滿足的公式（），只要直接展開(kāi)即可，它不但可以求出Adams顯式與隱式公式以及Milne公式，Hamming公式等，還可以求出任何需要的多步法公式，下面再給出兩個(gè)例題，說(shuō)明如何直接用Taylor展開(kāi)的方法。例7.9解初值問(wèn)題用顯式二步法，其中.試確定參數(shù)使方法除數(shù)盡可提高。并求局部截?cái)嗾`差。解 本題仍根據(jù)截?cái)嗾`差定義，用Taylor展開(kāi)確定參數(shù)滿足的方程，由于為求參數(shù)使就地介數(shù)盡量高，可令及得方程組解得此時(shí)公式為三階，而且即為所求局部截?cái)嗾`差。而所得二步法為例7.10 證明線性多步法存在的一個(gè)值，使方法是四階的。證明只要證明局部截?cái)嗾`差,則方