九年級(jí)數(shù)學(xué)第4講二次函數(shù)探究_二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題教案

1、小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料1二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)綜合；平行四邊形的性質(zhì)及判定；教學(xué)目標(biāo)1.熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問題2 .靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)重點(diǎn)巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題；復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)平行四邊形的判定與性質(zhì)1.定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；2平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等；3平行四邊形兩組對(duì)角分別相等；4平行四邊形的對(duì)角線互相平分；3.判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行

2、四邊形；4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；5一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；知識(shí)講解考點(diǎn) 1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1. 一般地，如果 y=ax2+bx+c (a, b, c 是常數(shù)且 0),那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù).當(dāng)b=c=0 時(shí)，二次函數(shù) y=ax2是最簡單的二次函數(shù).2 22. 二次函數(shù) y=ax +bx+c (a, b, c 是常數(shù)，a* 0)的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax +bx+c,通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a (x-h)

3、2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a (x-xi) (x-X2),通常要知道圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) xi, X222b 4ac b2才能求出此解析式；對(duì)于 y=ax +bx+c 而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,-).對(duì)于 y=a (x- h) +k2a 4a而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h, k), ?由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方 向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn).考點(diǎn) 2探究平行四邊形的一般思路在探究平行四邊形的存在性問題時(shí)，具體方法如下：(1)假設(shè)結(jié)論成立；(2)探究平行四邊形存在問題一般是已知平行四邊形的3 個(gè)頂點(diǎn)，再去求另外一個(gè)頂點(diǎn)，具體方法有 兩種：

4、小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料2第一種是：從給定的3 個(gè)頂點(diǎn)中任選 2 個(gè)定點(diǎn)確定的線段作為 探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€分別作出平行四邊形；根據(jù)題干要求找出符合條件的平行四邊形；第二種是： 以給定的 3 個(gè)定點(diǎn)兩兩組合成 3 條線段， 分別以這 3 條線段為對(duì)角線作出平行四邊形； 根據(jù)題干要求找出符合條件的平行四邊形；（3）建立關(guān)系式，并計(jì)算；根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的 性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 也可以利用全等三角形、 相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 要具體情況具體分 析，有時(shí)也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解。小

5、初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料3例題精析例 1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A( 4,0)、B(0, 4)、C(2,0)三點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn) M 為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為 m MAB 的面積為 S,求 S 關(guān)于 m 的函數(shù) 關(guān)系式，并求出 S 的最大值；(3)若點(diǎn) P 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y= x 上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q 的坐標(biāo).小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料4例 2 如圖，拋物線、-一 X 2x 3與 x 軸相交于A B兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn)

6、B 的左側(cè)），與 y 軸相交于點(diǎn) C, 頂點(diǎn)為 D.（1）直接寫出 A、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；（2） 連結(jié) BC 與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,點(diǎn) P 為線段 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PF/DE 交拋物線 于點(diǎn) F,設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m.1用含 m 的代數(shù)式表示線段 PF 的長，并求出當(dāng) m 為何值時(shí)，四邊形 PEDF 為平行四邊形？2設(shè) BCF 的面積為 S,求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系.小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料52例 3 如圖，拋物線y二x -2X-3與 x 軸交 A、B 兩點(diǎn)(A 點(diǎn)在 B 點(diǎn)左側(cè))，直線I與拋物線交于 A、C 兩點(diǎn), 其中 C 點(diǎn)

7、的橫坐標(biāo)為 2.(1 )求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式；(2) P 是線段 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P 點(diǎn)作 y 軸的平行線交拋物線于 E 點(diǎn)，求線段 PE 長度的最大值；(3)點(diǎn) G 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在 x 軸上是否存在點(diǎn) F,使AC、F、G 這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F 點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料62 _ _例 4 如圖，拋物線 y=ax+bx+c 交 x 軸于點(diǎn) A (-3,0 ),點(diǎn) B (1,0 ),交 y 軸于點(diǎn) E (0, -3 ),點(diǎn) C 是點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) B 的對(duì)稱

8、點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段 BC 的中點(diǎn)，直線 I 過點(diǎn) F 且與 y 軸平行，直線 y=-x+m 過點(diǎn) C,交 y 軸于點(diǎn) D.(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) 點(diǎn) K 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) K 作 x 軸的垂線與直線 CD 交于點(diǎn) H,與拋物線交于點(diǎn) HG 長度的最大值；(3) 在直線 I 上取點(diǎn) 的坐標(biāo).G 求線段求點(diǎn) N小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料7課程小結(jié)有針對(duì)性的對(duì)平行四邊形的性質(zhì)及判定與二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與平行四邊形的綜合問題時(shí)，抓住已有的信息及 條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出平行四邊形，

9、并能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。例 1【規(guī)范解答】因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于 A( 4,0)、C(2,0)兩點(diǎn)，設(shè) y = a(x + 4)(x 2).代入點(diǎn)1B(0, 4)，求得 a =.2所以拋物線的解析式為y = l(x 4)(x - 2)=丄x2 x - 4.2 21212MD =(-m-4)-( m m-4) m -2m.2 2122所以S=S.MDAS.MDBMD OA - -m-4m - -(m 2)4.因此當(dāng)m二-2時(shí)，S 取得最大值,最大值為 4.(3)如果以點(diǎn) P、Q B、O 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況討論：x 4

10、.過點(diǎn) M 作 x 軸的垂線交 AB 于 D ,那么小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料81當(dāng) 0B 為一邊時(shí)，那么 PQ/OB, PQ= OB= 4 .設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(X, _x)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x,X2 X _ 4).2當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) Q 上方時(shí)，Jx2 x -4) -(-x) =4解得x = 2_2 5.2此時(shí)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(2+2j5,22J5)(如圖 3),或(22j5,2+2j5)(如圖 4).當(dāng)點(diǎn) Q 在點(diǎn) P 上方時(shí)，(_x)一(丄x2 x_4) =4.2圖 6【總結(jié)與反思】1. 求拋物線的解析式，設(shè)交點(diǎn)式比較簡便.2. 把 MA 盼割為共底 MD 的兩個(gè)三角形

11、，高的和為定值 0A3當(dāng) PQ 與 0B 平行且相等時(shí)，以點(diǎn) P、Q B、0 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，按照P、Q 的上下位置關(guān)系，分兩種情況列方程.例 2【規(guī)范解答】(1) A (- 1 , 0), B (3, 0) , C (0, 3).拋物線的對(duì)稱軸是 x = 1.(2)直線 BC 的解析式為 y = x+ 3.把 x = 1 代入 y= x + 3,得 y = 2.所以點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(1, 2).把 x = 1 代入 y =-x22x 3，得 y = 4.所以點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(1, 4).因此 DE=2因?yàn)?PF/DE，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(m,-m - 3)

12、，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(0m22m 3),小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料9因此FP = ( m22m 3) -(m 3) = -m23m.當(dāng)四邊形 PEDF 是平行四邊形時(shí)，DE=FP 于是得到-m2dmZ.解得m =2,m?= 1(與點(diǎn)小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料10E重合， 舍去). 因此，當(dāng) m=2 時(shí),設(shè)直線四邊形 PEDF 是平行四邊形時(shí).PFS = S.BCF = S BPF S CPF與 x 軸1 FP OM2交于點(diǎn)1 FP BM2M , 那么OM+BM=OB=3. 因此0 mi3.【總結(jié)與反思】1. 數(shù)形結(jié)合，用函數(shù)的解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表

13、示2. 當(dāng)四邊形 PEDF 為平行四邊形時(shí)，根據(jù) DE=FP 列關(guān)于 m 的方程.3. 把 BCF 分割為兩個(gè)共底 FP 的三角形，高的和等于 OB例 3【規(guī)范解答】 解：(1 )令 y=0，解得 X1= - 1 或 X2=3,. A (- 1, 0), B (3, 0),將 C 點(diǎn)的橫坐標(biāo) x=2,代入 y=x2- 2x - 3,得：y=- 3,二 C (2,- 3);二直線 AC 的函數(shù)解析式是：(2)設(shè) P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x (- K xw2),貝 U P、線段的長. P 點(diǎn)在 E 點(diǎn)的上方，PE=( - x- 1)y= - x - 1;E 的坐標(biāo)分別為：P (x , - x - 1)

14、, E (x ,2129(x- 2x - 3) =- x+x+2=-( x-) +, 當(dāng)4x2- 2x - 3),1x= 時(shí)，PE 的29最大值=;44 個(gè)這樣的點(diǎn)F,分別是：Fi(1 , 0),F2(- 3, 0),F3(4+J7, 0), F4(4-眉,0).(3)存在連接 C 與拋物線和 y 軸的交點(diǎn)，那么 CG/ x 軸，此時(shí) AF=CG=2 因此 F 點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3 , 0);小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料11小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料12AF=CG=2A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)，因此 F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 , 0);因此 F 點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 , 0);如圖

15、3，此時(shí) C，G 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于 x 軸對(duì)稱，因此 G 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 3，代入拋物線中，即可得出G 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1 土 .7，3）,由于直線 GF 的斜率與直線 AC 的相同，因此可設(shè)直線 GF 的解析式為：y= - x+h，將 G 點(diǎn)代入后, 可得出直線的解析式為：y=- x+7.因此直線 GF 與 x 軸的交點(diǎn) F 的坐標(biāo)為：(4+、7, 0);同可求出 F 的坐標(biāo)為：(4 -, 0);綜合四種情況可得出，存在4 個(gè)符合條件的 F 點(diǎn).【總結(jié)與反思】、21. 拋物線y=x -2x-3與 x 軸的交點(diǎn)即為 A 和 B,再將 A 和 C 帶入求解直線方程。2. 將點(diǎn) P 和點(diǎn) E 坐標(biāo)設(shè)出后

16、，求解最大值。3將已知 AC 邊作為邊或者對(duì)角線分類討論求出點(diǎn)坐標(biāo)。13例 4【規(guī)范解答】(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)(x+3).拋物線交 y 軸于點(diǎn) E ( 0 , -3 ),將該點(diǎn)坐標(biāo)代入得 a=1, 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為2y=(x-1)(x+3)=x+2x-3.(2 ) 點(diǎn) C 是點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-3,0 )，點(diǎn) B 的坐標(biāo)(1,0 ), 點(diǎn) C 的坐標(biāo)(5,0 ).將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入 y=-x+m,得 m=5, 直線 CD 的函數(shù)表達(dá)式為 y=-x+5.小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料14小初高試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選

17、資料設(shè) K 點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,0 ),則 H 點(diǎn)坐標(biāo)為(t,-t+5), 點(diǎn) G 的坐標(biāo)為(t,t2+2t-3 )223241點(diǎn) K 為線段 AB 上一動(dòng)點(diǎn)， -3 t 1. HG=(-t+5)-(t+2t-3)=-t-3t+8=-(t+) +.4341 -3 t 1. 當(dāng) t=-3時(shí)，線段 HG 的長度有最大值41.24(3)v點(diǎn) F 是線段 BC 的中點(diǎn)點(diǎn) B( 1,)，點(diǎn) C( 5,0),點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(3,0),v直線|過點(diǎn) F 且與 y 軸平行，直線 l 的函數(shù)表達(dá)式為 x=3, 點(diǎn) M 在直線 I 上，點(diǎn) N 在拋物線上，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(3, m),點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(n,n2+

18、2n-3 ).點(diǎn) A (-3,0 )，點(diǎn) C (5,0 ) . AC=8.分情況討論：1若線段 AC 是以點(diǎn) A,C,M,N 為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則須 MIN/ AC,且 MN=AC=8 當(dāng)點(diǎn) N 在點(diǎn) M 的左側(cè)時(shí)，MN=3-n, 3-n=8，解得 n=-5，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(-5 , ,1 );當(dāng)點(diǎn) N 在點(diǎn) M 的右側(cè)時(shí)，MN= n-3, n-3=8，解得 n=11,二點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(11, 140).2若線段 AC 是以點(diǎn) A,C,M,N 為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，由“點(diǎn)C 是點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn)”知：點(diǎn) M 與點(diǎn) N 關(guān)于點(diǎn) B 中心對(duì)稱，取點(diǎn) F 關(guān)于 B 的對(duì)稱點(diǎn) P,則 P 的坐標(biāo)為(-1,0 ),過 P 作 NP 丄 x 軸， 交拋物線于點(diǎn) N,將 x=-1 代入 y=x+2x-3.得 y=-4，過點(diǎn) N, B 作直線 NB 交直線 I 于點(diǎn) M,在厶 BPN 與厶 BFM 中，/ NBP=/ MBF BF=BP / BPN 玄 BFM=90 , BPNABFM, NB=MB.四邊形 ANCM 為平行四邊形，坐標(biāo)為(-1 , -4 )的點(diǎn) N