第二章信號檢測與估計(jì)理論(3)

1、2.3 隨 機(jī) 過 程基本概念介紹u 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念u 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征u 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程u 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程u 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)u 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程u 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念u確定性過程確定性過程p其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t 的確定函數(shù)來描述。的確定函數(shù)來描述。u隨機(jī)過程隨機(jī)過程p其變化過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間其變化過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述。的確定函數(shù)來描述。通信過程是信號和噪聲通過通

2、信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，遇到的信號和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，隨隨機(jī)信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程機(jī)信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念u隨機(jī)過程的定義：設(shè)隨機(jī)過程的定義：設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作 ，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體 就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作 。u簡言之，無窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫做簡言之，無窮多個(gè)

3、樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程。隨機(jī)過程。u典型代表：擲硬幣、固定時(shí)間段內(nèi)電話用戶的呼叫次數(shù)等。典型代表：擲硬幣、固定時(shí)間段內(nèi)電話用戶的呼叫次數(shù)等。(1, 2,)kSk )(txi)(,),(),(21txtxtxn)(tx1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk一個(gè)樣本一個(gè)隨機(jī)變量1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念u隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)具有兩個(gè)基本特征：具有兩個(gè)基本特征：p (t)是時(shí)間是時(shí)間t的函數(shù)；的函數(shù)；p在某一觀察時(shí)刻在某一觀察時(shí)刻t1，樣本的取值，樣本的取值(t1)是一個(gè)隨是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成依機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程

4、看成依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量。賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量。p可見，隨機(jī)過程具有可見，隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和和時(shí)間函數(shù)的特的特點(diǎn)。點(diǎn)。1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念一維分布函數(shù)：一維分布函數(shù)：)(),(11111xtPtxF一維概率密度函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：),(),(1111111txfxtxF二維分布函數(shù)：二維分布函數(shù)：221121211)(,)(),;,(xtxtPttxxF二維概率密度函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：),;,(),;,(2121221212122ttxxfxxttxxF隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性用統(tǒng)計(jì)特性用分布函數(shù)、分布函數(shù)、概率密度函概率密度函數(shù)或數(shù)字特?cái)?shù)或數(shù)字特

5、征來描述。征來描述。2 統(tǒng)計(jì)特性2 數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性性在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。觀。111111),()(dxtxfxtEdxtxfxtEta),()()(1數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值）方差方差2 數(shù)字特征方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它

6、表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對于均值對于均值a(t)的偏的偏離程度。離程度。均值和方差是對均值和方差是對隨機(jī)變量求積分隨機(jī)變量求積分或求和或求和均值均值和方差和方差是時(shí)是時(shí)間的函數(shù)間的函數(shù)22()()()D XE XEX2 數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)差函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。來表示。協(xié)方差函數(shù)同一隨機(jī)過程同一隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系不同時(shí)間間關(guān)系自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)不同隨機(jī)過程不同隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系不同時(shí)間間關(guān)系互協(xié)方差函

7、數(shù)互協(xié)方差函數(shù) 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過程同一隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系不同時(shí)間間關(guān)系自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)不同隨機(jī)過程不同隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系不同時(shí)間間關(guān)系互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)2 數(shù)字特征 過程是慢變化，過程是慢變化， 過程是快變化，它們大致有相過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時(shí)刻的取值，對于同的均值、方差，但是在不同時(shí)刻的取值，對于 來說，相關(guān)性強(qiáng)；對于來說，相關(guān)性強(qiáng)；對于 來說，相關(guān)性弱。來說，相關(guān)

8、性弱。 2 數(shù)字特征)(t)(t)(t相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù))(t)(t)(t相關(guān)器的概念相關(guān)器的概念自相關(guān)器自相關(guān)器隨機(jī)信號隨機(jī)信號x x（）的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)RxRx（）由此可繪出測量、計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的電路或裝置由此可繪出測量、計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的電路或裝置01( )( ) ()lim( ) ()TxTRx t x tx t x tdtT積分器積分器延時(shí)延時(shí)X(t-)X(t-)Rx()Rx()X(t)X(t)自相關(guān)器的電路原理圖自相關(guān)器的電路原理圖例：設(shè)例：設(shè)s（t）為隨機(jī)相位正弦信號，）為隨機(jī)相位正弦信號，n（t）為低頻限帶噪聲，則信號和噪聲的相）為低頻限帶噪聲，則信號和噪聲的相關(guān)函數(shù)分別為

9、關(guān)函數(shù)分別為由圖知，當(dāng)由圖知，當(dāng)較大時(shí)，較大時(shí)，Rs（ ） Rn（ ）,因此只要因此只要足夠大，就可以從噪足夠大，就可以從噪聲中提取信號。聲中提取信號。20cos( )2msUR0sin(2)( )2nBRN BB 自相關(guān)器優(yōu)點(diǎn)：自相關(guān)器優(yōu)點(diǎn)：（1）方法簡單）方法簡單（2）實(shí)現(xiàn)起來容易）實(shí)現(xiàn)起來容易缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：（1）它不可能完全消除噪聲的影響，除非時(shí)間足夠長。）它不可能完全消除噪聲的影響，除非時(shí)間足夠長。（2）時(shí)間必須很長，即）時(shí)間必須很長，即，用有限的時(shí)間代替不理想。，用有限的時(shí)間代替不理想?；ハ嚓P(guān)器互相關(guān)器互相關(guān)器的優(yōu)點(diǎn)：互相關(guān)器的優(yōu)點(diǎn)：提取信號效果優(yōu)于自相關(guān)器，提取信號能量越強(qiáng)，對噪聲抑

10、制越徹提取信號效果優(yōu)于自相關(guān)器，提取信號能量越強(qiáng)，對噪聲抑制越徹底。底。Rxy()積分器延時(shí)y(t-)X(t)互相關(guān)器的電路原理圖y(t)2 數(shù)字特征獨(dú)立概念相關(guān)概念22 E XYE X E YD XYD X D YE aXbYaE XbE YD aXbYa D Xb D Y() ( )()( )xyE XE XE YE YD X D Y0 xyX和Y不相關(guān)1xyX和Y線性相關(guān)( , )( )( )( , )( )( )XYXYF x yFx Fyf x yfxfy【例】【例】 已知已知X和和Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們均值和方是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們均值和方差分別為差分別為2和和6

11、，試求，試求 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。11( )cossinZ tXw tYw t111111 ( )cossincos sin2(cossin)E Z tE XwtYwtE XwtE Ywtwtwt1122112211 ( )cossincos sin6(cossin)6D Z tD XwtYwtD XwtD Ywtwtwt121 11 11 21 221 11 21 11 21 11 21 21 121211211211 ( ),( )(cossin)(cossin)()coscossinsin(cossincossin)()cos() sin()10cos()

12、4sin(R Z tZ tE XwtYwtXwtYwtE XwtwtwtwtE XYwtwtwtwtE Xw ttE X E Yw ttw ttw t21)t2 數(shù)字特征平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn則稱則稱 是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf)(t3 平穩(wěn)隨機(jī)過程如果如果任意非零值任意非零值21tt一維概率密度函數(shù)一維概率密

13、度函數(shù)二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)均值均值adxxfxtE1111)()(自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)12111221212( , )( ) ()( ,; )( )R t tEttx x fx xdx dxR )(),(11RttR3 平穩(wěn)隨機(jī)過程設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程 ，它的均值為常數(shù)，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。)(t3 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)平穩(wěn)隨

14、機(jī)隨機(jī)過程過程均值為常數(shù)均值為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)只與時(shí)間間隔有關(guān)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)如何判別隨機(jī)過程是平穩(wěn)的？x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程 的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的 時(shí)間均值時(shí)間均值 和和 時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù) 分別為分別為2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR)(t如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立： aa )()(RR 則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性。所謂各態(tài)歷經(jīng)的意思是只要觀測時(shí)間足夠長所謂各態(tài)歷經(jīng)的意思是只要觀測時(shí)間足夠

15、長,隨機(jī)過程的每個(gè)樣本函數(shù)都能夠隨機(jī)過程的每個(gè)樣本函數(shù)都能夠”經(jīng)歷經(jīng)歷”各種可能的狀態(tài)。即按各種可能的狀態(tài)。即按“時(shí)間平均時(shí)間平均”來代替來代替“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均” 。各態(tài)歷經(jīng)性 “各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義：的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，可能狀態(tài)。因此， 我們無需（實(shí)際中也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均我們無需（實(shí)際中也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使字特征，從而使“

16、統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”化為化為“時(shí)間平均時(shí)間平均”，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大為簡化。為簡化。 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)性判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件例：例：設(shè)有一個(gè)隨機(jī)相位余弦波設(shè)有一個(gè)隨機(jī)相位余弦波0( )cos()X tAt 其中其中A A 和和 0 0 均

17、為常數(shù)，均為常數(shù)， 是在是在(0, 2(0, 2 ) )內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論量。試討論X X(t)(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解解: : (1) (1) 先求先求X X(t)(t)的統(tǒng)計(jì)平均值。數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)平均值。數(shù)學(xué)期望20020002200001( )( )cos()2(coscossinsin)2coscossinsin20a tE X tAtdAttdAtdtd 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)12120 10 220210212220210210202120( ,)( )( )cos()cos()cos()cos()2 21cos()cos()2 2

18、22cos()02cos( )( )2R t tE X tX tE AtAtAEttttAAttttdAttAR 由由a(t) 和和R( ) 可見可見X(t)是一個(gè)廣義隨機(jī)過程。是一個(gè)廣義隨機(jī)過程。(2) 求求X(t)的時(shí)間平均值。的時(shí)間平均值。/20/21( )limcos()0TTTa tAtdtT/200/22/2/2000/2/2201( )limcos()cos()limcoscos(22 )2cos2TTTTTTTTRAtAtdtTAdttdtTA 比較比較X(t)的統(tǒng)計(jì)平均值和時(shí)間平均值，有的統(tǒng)計(jì)平均值和時(shí)間平均值，有( )( ),( )( )a ta tRR 故故X(t)是各態(tài)

19、歷經(jīng)的。是各態(tài)歷經(jīng)的。q 平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)設(shè)X(t) 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)它的自相關(guān)函數(shù) 具有下列主要性質(zhì)：具有下列主要性質(zhì)：(1) R(0) = EX2(t) =S稱為稱為X(t) 的平均功率的平均功率 (2) R() = E2X(t)稱為稱為X(t) 的直流功率的直流功率 (3) R( ) =R( ) R是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù) (4) |R( )| R(0) R(0) 是是R( ) 的上界的上界 (5) R(0) R() = 2 方差，稱為方差，稱為X(t)的交流功率的交流功率 12( )( )( )RE X t

20、X t隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。對于任意的確定功率信號對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為，它的功率譜密度為TFPTTf2)(lim)(我們可以把我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每每一實(shí)現(xiàn)一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示。的功率譜密度也可用上式來表示。由于由于(t)是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的

21、功率譜密度。過程過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即，即 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度( )的f tFT功率信號功率信號f(t)及其截短函數(shù)及其截短函數(shù)f (t)Otf T(t)tOT2T2平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度TFEPEPTTf2)(lim)()(的平均功率的平均功率S則可表示成則可表示成dTFEdPSTT2)(lim21)(21)(t平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度功率譜的統(tǒng)功率譜的統(tǒng)計(jì)平均計(jì)平均2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2()/2/2( )1( )( )1( )( )1()(1) ( )(,)TTTj tj tTTTTT

22、Tj tj tTTTTjttTTTjTFEEt edtt edtTTEt edtt edtTR tt edt dtTRedtt kttT 2( )limlim( )(1) ( )( )TTjTjFPERedTTTTRed 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度u確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對 傅氏變換關(guān)系傅氏變換關(guān)系 。 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即維納對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即維納辛欽定理辛欽定理deRPj)()(dePRj)(21)()()(PR平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度)()(21)0(2tEdPRR(0)表示隨機(jī)過程的

23、平均功率表示隨機(jī)過程的平均功率0)(P)()(PP非負(fù)性非負(fù)性偶函數(shù)偶函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度例例 某隨機(jī)相位余弦波某隨機(jī)相位余弦波 ，其中，其中A和和 均為常數(shù)，均為常數(shù)，是在是在(0, )內(nèi)均勻分布的隨內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。機(jī)變量。 求求 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度.)cos()(tAtcc2)(t平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度解：解： 先考察先考察(t)是否是否廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn) 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為021)cos()()(20dtAtEtac的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為)()(cos2)()(),(1222121RttAttEttRc)(t)(t根據(jù)根據(jù))()(c

24、osccc以及以及)()(PR是廣義平穩(wěn)。是廣義平穩(wěn)。)(t)()(2)(2ccAP則功率譜密度為則功率譜密度為2)()0(2AdPRS平均功率為平均功率為平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度4高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程(t)的任意的任意n維（維（n=1, 2, ）分布都是正）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。 12121/2/212111(,; ,)(2 )1exp2nnnnnnnjjkkjkjkjkfx xxt ttBxaxaBB 22)()(kkkkkatEtEa1111,(,; ,)(, )()nnnnnfxx ttf x

25、 tf x t如果各隨機(jī)變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有如果各隨機(jī)變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立4高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 由式可以看出由式可以看出, 高斯過程的高斯過程的n維分布完全由維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時(shí)間無關(guān)，如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起

26、點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)1知，它的知，它的n維分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯維分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。過程也是狹義平穩(wěn)的。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程。高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì) 222)(exp21)(axxff(x)具有如下特性 (1) f(x)對稱于x=a這條直線。 (2)21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf正態(tài)分布的概率密度正態(tài)分布的概率密度一維高斯隨機(jī)過程一維高斯隨機(jī)過程 f (x)12Oax（3）a表示分

27、布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 圖形將隨著圖形將隨著 的的減小而變高和變窄。當(dāng)減小而變高和變窄。當(dāng) 時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。密度函數(shù)。1, 0a（3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 圖形將隨著圖形將隨著 的的減小而變高和變窄。當(dāng)減小而變高和變窄。當(dāng) 時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。密度函數(shù)。1, 0a1, 0a（3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 圖形將隨著圖形將隨著 的的減小而變高和變窄。當(dāng)減小而變高和變窄。當(dāng) 時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。

28、密度函數(shù)。1, 0a誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)xtdtexerf022)(dtexerfxerfcxt22)(1)(引入：互補(bǔ)誤差函數(shù)引入：互補(bǔ)誤差函數(shù))()(, 1)(, 0)0(xerfxerferferf)(2)(, 0)(, 1)0(xerfcxerfcerfcerfc引入：誤差函數(shù)引入：誤差函數(shù)它是自變量的遞增函數(shù)：它是自變量的遞增函數(shù)： 它是自變量的遞減函數(shù)：它是自變量的遞減函數(shù)： 5 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)只考慮平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。只考慮平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是

29、建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)v vo o(t)(t)等于輸入信號等于輸入信號v vi i(t)(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)h(t)的卷積，即的卷積，即dthvthtvtvii)()()()()(0),()(),()(),()(00HthVtvVtvii若若則有則有)()()(0iVHV若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則dthvtvti)()()(0或或dtvhtvi)()()(00 如果把如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，看作是

30、輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，則則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。顯然，輸可看作是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。顯然，輸入過程入過程i(t)的每個(gè)樣本與輸出過程的每個(gè)樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。間都滿足上式的關(guān)系。 這樣，就整個(gè)過程而言，便有這樣，就整個(gè)過程而言，便有dthti)()()(005 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)假定輸入假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 則可以分析系統(tǒng)的輸則可以分析系統(tǒng)的輸出過程出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性。的統(tǒng)計(jì)特性。5 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)000000( )( )()( )( )()()( )( )()( )iiiiith

31、tdEtEhtdEtEtahEtdahd 1. 輸出過程輸出過程o(t)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望000( )( )(0)( )( )(0)j tHh t edtHh t dtEta H 由此可見由此可見, 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與的乘積，且與t無關(guān)。無關(guān)。 011010111001100( ,)( )()( )()( )()( ) ( )()()iiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d 可見可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔的自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔而與時(shí)間而與時(shí)間起點(diǎn)起點(diǎn)

32、t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。過程也是平穩(wěn)的。2. 輸出過程輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) )()()(11iiiRttE011000( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR 5 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3. 輸出過程輸出過程o(t)的功率譜密度的功率譜密度deddRhhdeRPjij 0000)()()()()(可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與與系統(tǒng)功率傳輸

33、函數(shù)系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。的乘積。5 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng))()()()()()(20iiPHPHHPdeRdehdehPjwijj000)()()()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats6 窄帶隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過以隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶隨機(jī)過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度是窄帶隨機(jī)過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)

34、的信號或噪聲統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程?？杀硎緸椋河质请S機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程?？杀硎緸椋?)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()(窄帶過程的頻譜和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡(luò) a(t)頻率近似為 fc(b)6 窄帶隨機(jī)過程 a(t)及(t)分別是(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量，它們也是隨機(jī)過程，顯然它們的變化相對于載波cosct的變化要緩慢得多。 (t)的統(tǒng)計(jì)特性可由a(t)，(t)或c(t),s

35、(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統(tǒng)計(jì)特性。 6 窄帶隨機(jī)過程1 同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性 設(shè)窄帶過程設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且且 均值為零，方差為均值為零，方差為 。 可以證明它的同相分量可以證明它的同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與(t)具有相同的方具有相同的方差。差。 20)(0)(0)(tEtEtEsc2222sc此外，在同一時(shí)刻上得到的此外，在同一時(shí)刻上得到的c和和s是互不相關(guān)的或是互不相關(guān)

36、的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 6 窄帶隨機(jī)過程2 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性22222exp21)()(),(cscscfff一個(gè)均值為零，方差為一個(gè)均值為零，方差為 的窄帶平穩(wěn)高斯過程的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a(t)與與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立：(,)()()f af af 20,2exp)(222aaaaf20,21)(f6 窄帶隨機(jī)過程瑞利分布瑞利分布7 正弦波加窄帶高斯噪聲信號經(jīng)過信道傳輸后

37、總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號頻帶響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通信系統(tǒng)中最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性。的統(tǒng)計(jì)特性。)()cos()(tntAtrcttn

38、ttntncsccsin)(cos)()(22)(, 0)(ntnEtnE正弦波有用信號正弦波有用信號窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲)(cos)(sin)(cos)()(tttzttzttztrccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss0, )()()(22ztztztzsc20,)()(arctan)(tztztcs合成信號合成信號r(t)的包絡(luò)和相位為的包絡(luò)和相位為222,sin)(,cos)(nscscAtzEAtzE正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為0,)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn廣義瑞利分布，廣

39、義瑞利分布，萊斯（萊斯（Rice）密度函數(shù)）密度函數(shù)7正弦波加窄帶高斯噪聲上式存在兩種極限情況：上式存在兩種極限情況： 當(dāng)信號很小，當(dāng)信號很小，A0，即信噪比，即信噪比 時(shí)，時(shí)，x值很小，有值很小，有I0(x)=1，這時(shí)合成波，這時(shí)合成波r(t)中只中只存在窄帶高斯噪聲，即由萊斯分布退化為瑞利分存在窄帶高斯噪聲，即由萊斯分布退化為瑞利分布。布。當(dāng)信噪比當(dāng)信噪比r很大時(shí)，有很大時(shí)，有I0(x) ，這時(shí)在，這時(shí)在zA附近，附近， f(z)近似于高斯分布。近似于高斯分布。22/20nAr /2xex 由此可見，信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有由此可見，信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有關(guān)。小信

40、噪比時(shí)，它接近于瑞利分布；大信噪比時(shí)，關(guān)。小信噪比時(shí)，它接近于瑞利分布；大信噪比時(shí)，它接近于高斯分布；在一般情況下它是萊斯分布。它接近于高斯分布；在一般情況下它是萊斯分布。7 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布 n f (z)0.50.40.30.20.1r 0nAz(a) 0r 0f ( )(b)0r 1r 1f()也與信噪比有關(guān)。小信噪比時(shí)，也與信噪比有關(guān)。小信噪比時(shí)，f()接近于均勻接近于均勻分布，它反映這時(shí)窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪分布，它反映這時(shí)窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪比時(shí)，比時(shí)，f()主要集中在有用信號相位附近。主要集中在有用信號相位附近。7正弦波加

41、窄帶高斯噪聲2)(0nP這種噪聲被稱為這種噪聲被稱為白噪聲白噪聲，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過程。式中程。式中n n0 0為一常數(shù)，單位是瓦為一常數(shù)，單位是瓦/ /赫。顯然，白噪聲赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即)(2)(0nR信號在信道中傳輸時(shí)，常會遇到這樣一類噪聲，它的信號在信道中傳輸時(shí)，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即這說明，白噪聲只有在這說明，白噪聲只有在=0=0時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲高斯白噪聲P()0f0n02n02R白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲高斯白噪聲 如果如果白噪聲白噪聲又是又是高斯分布高斯分布的，我們就稱之為高斯的，我們就稱之為高斯白噪聲。白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的