新整理三角形“四心”向量形式的結論及證明附練習答案

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應用在學習了平面向量一章的基礎內容之后，學生們通過課堂例題以及課后習題陸續(xù)接觸了有關三角形重心、垂心、外心、內心向量形式的充要條件。現歸納總結如下：一 知識點總結1）O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2）O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3）O是的外心(或)若O是的外心則故4）O是內心的充要條件是引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才O是內心的充要條件可以寫成： O是內心的充要條件也可以是若O是的內心，則故;的內心;ACBCCP向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；二 范例(一)將平面向量與三角形內心結合考查例1O

2、是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P點的軌跡一定通過的（ ）（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心解析：因為是向量的單位向量設與方向上的單位向量分別為， 又，則原式可化為，由菱形的基本性質知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點評：這道題給人的印象當然是“新穎、陌生”，首先是什么？沒見過！想想，一個非零向量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質、角平分線的性質等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定理”例2 H是AB

3、C所在平面內任一點，點H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（證略）例3.(湖南)P是ABC所在平面上一點，若，則P是ABC的（D）A外心B內心C重心D垂心解析:由. 即則所以P為的垂心. 故選D.點評：本題考查平面向量有關運算，及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關運算及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直” 等相關知識巧妙結合。變式：若H為ABC所在平面內一點，且則點H是ABC的垂心BCHA圖6證明: 0即0同理，故H是ABC的垂心(三)將平面向量與三角形重心結合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面內一點

4、，=0點G是ABC的重心.證明 作圖如右，圖中連結BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（證略）例5 P是ABC所在平面內任一點.G是ABC的重心.證明 G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（證略）例6若 為內一點， ，則 是 的（     ）A內心           B外心     &#

5、160;  C垂心          D重心解析：由得，如圖以OB、OC為相鄰兩邊構作平行四邊形，則，由平行四邊形性質知，同理可證其它兩邊上的這個性質，所以是重心，選D。點評：本題需要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質：重心是三角形中線的內分點，所分這比為。本題在解題的過程中將平面向量的有關運算與平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質等相關知識巧妙結合。變式：已知分別為的邊的中點則證明： 變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點，則證明：，點評：（

6、1）證法運用了向量加法的三角形法則，證法2運用了向量加法的平行四邊形法則（2）若與重合，則上式變0 (四)將平面向量與三角形外心結合考查例7若 為內一點，則 是 的（     ）A內心           B外心        C垂心          D重心解析：由向量模的定義知到的三頂點距離相等

7、。故 是 的外心 ，選B。點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質等相關知識巧妙結合。(五)將平面向量與三角形四心結合考查例8已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證 P1P2P3是正三角形.（數學第一冊（下），復習參考題五B組第6題）證明 由已知+=-，兩邊平方得·=， 同理 ·=·=， |=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內一點，+=0且|=|=|點O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求

8、證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系。設A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，則有：AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由題設可設,即，故Q、G、H三點共線，且QG：GH=1：2【注】：本例如果用平面幾何知識、向量的代數運算和幾何運算處理，都相當麻煩，而借用向量的坐標形式，將向量的運算完全化為代數運算，這樣就將“形”和“數”緊密地結合在一起，從而，很多對稱、共線、共點、垂直等問題的證明，都可轉化為熟練的代數運算的論證。例10若O、H分別是ABC的外心和垂心

9、.求證 .證明 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長交外接圓于D，連結AD，CD.，.又垂心為H，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11 設O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證 證明 按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 由此可得 .三、與三角形的“四心”有關的高

10、考連接題及其應用A F E C TB例1：（2003年全國高考題）是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外心 （B）內心 （C）重心 （D）垂心 事實上如圖設都是單位向量易知四邊形AETF是菱形 故選答案B例2：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為ABC所在平面內一點，如果，則O必為ABC的（ ）（A）外心 （B）內心 （C）重心 （D）垂心 事實上OBCA 故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內一點，且滿足，則點O是三角形ABC的（ ）（A）外心 （B）內心 （C）重心 （D）垂心 事實上由條件可推出 故選答案D例4：

11、設是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點， 動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外心 （B）內心 （C）重心 （D）垂心 事實上 故選答案D例5：圖32005年全國（I）卷第15題“的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點為，則實數=_”先解決該題：作直經，連，,有，故，故是平行四邊形，進而，又故，所以評注：外心的向量表示可以完善為：若為的外心，為垂心，則。其逆命題也成立。例6已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證： P1P2P3是正三角形.（數學第一冊（下），復習參考題五B組第6題）證明： 由已知+=-，兩邊平方得·=， 同理 ·=·

12、;=， |=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|，即O是ABC所在平面內一點，+=0且|=|=|點O是正P1P2P3的中心.4、 練習1已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足=(+2),則點P一定為三角形ABC的( B)A.AB邊中線的中點 B.AB邊中線的三等分點(非重心)C.重心 D.AB邊的中點分析：取AB邊的中點M，則，由=(+2)可得3，即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心。2在同一個平面上有及一點滿足關系式：2+2=2+222，則為ABC的( D&

13、#160;)A.外心 B.內心 C重心 D垂心3已知ABC的三個頂點A、B、C及平面內一點P滿足：，則P為ABC的( C )A.外心 B. 內心 C重心 D垂心4已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：，則P的軌跡一定通過ABC的(C )A. 外心 B. 內心 C. 重心 D垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的動點，且滿足：，則P點為三角形的 ( D )A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心6已知ABC，P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：，則P點為三角形的(B  )A.外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心7在三角形ABC中，動點P滿足：，則P點一定通過ABC的(B )A.外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心8.非零向量與滿足(+)·=0且·=,則ABC為(D)A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC，AB=AC，又=，A=，所以ABC為等邊三角形.9.ABC的外接圓的圓心