第十二章動(dòng)量定理

1、第十二章第十二章動(dòng)動(dòng) 量量 定定 理理實(shí)際上的問(wèn)題是： 1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問(wèn)題)非 常困難。 2、大量的問(wèn)題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng),僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn) 動(dòng)情況。 動(dòng)力學(xué)普遍定理概述動(dòng)力學(xué)普遍定理概述對(duì)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題： 建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求解。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題： 理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。 從本章起, 將要講述解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的其它方法, 主要討論的是動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理(包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來(lái)的其它一些定理)。 它們以簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式， 表明兩種量 一種是同運(yùn)動(dòng)特征相關(guān)的量(動(dòng)量、動(dòng)量

2、矩、動(dòng)能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力 矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來(lái)解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題非常方便簡(jiǎn)捷 。 本章將研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，建立了動(dòng)量的改變動(dòng)量的改變與力的沖量之間的關(guān)系與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一重要形式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 一一. .質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 定義定義 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。 12-1 12-1 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 內(nèi)力與外力內(nèi)力與外力)( imMiiCiiCrmrMMrmr

3、或則設(shè),kzjyixrcccc MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , , 質(zhì)心質(zhì)心 C C 點(diǎn)的坐標(biāo)公式點(diǎn)的坐標(biāo)公式 在均勻重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合在均勻重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹刹捎渺o力學(xué)中確定重心的各種方法來(lái)確定質(zhì)心的位置用靜力學(xué)中確定重心的各種方法來(lái)確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。 所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。 對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：?；?0)( 0)( ; 0)()()(iixiiOiiFmFmF二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力二、

4、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力 所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。 外力外力 內(nèi)力內(nèi)力 12-2 12-2 動(dòng)量與沖量動(dòng)量與沖量 一、動(dòng)量一、動(dòng)量 1.1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積 mv 稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。 是瞬時(shí)矢量，方向與v 相同。單位是kg m/s。 動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。例例：槍彈：速度大，質(zhì)量??； 船：速度小，質(zhì)量大。 2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。CiivMvmp) (求導(dǎo)CiirMrm CCzzCCyyCCxxzMMvpyMMvp

5、xMMvp , , 剛體系統(tǒng)的動(dòng)量剛體系統(tǒng)的動(dòng)量設(shè)第i個(gè)剛體 則整個(gè)系統(tǒng)：ciivmCiivmpCiiCizizCiiCiyiyCiiCixixzmvmpymvmpxmvmp質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。則：解解: 曲柄OA：滑塊B：連桿AB： 例例1 曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻 轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)OA=AB=l ,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿, 質(zhì)量各為m , 滑塊B的質(zhì)量也為m。求求當(dāng) = 45時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。321CCCvmvmvmpmlvmC211mlmlvmABC2525 2mlvmC2 3mlmllllmmvmvmvpCCC

6、x2221032522212254521321)()cossin(cossinABlPC;252（ P為速度瞬心，)mlmlllmmvmvpCCy2210125222125452121)()sincos(sincosmlpppyx23422171174ppppyxcos,cos 變力的沖量變力的沖量（包括大小和方向的變化）元沖量元沖量: 沖量沖量：FdtFId 21ttdtFI 二沖量二沖量 力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動(dòng)車子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與較小的力作用較長(zhǎng)的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)

7、。)(12ttFI 常力的沖量常力的沖量F 合力的沖量合力的沖量 等于各分力沖量的矢量和等于各分力沖量的矢量和 ittttttRIdtFdtFdtFI212121沖量的單位：m/skg sm/skg sN2與動(dòng)量單位同 12-3動(dòng)量定理動(dòng)量定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理FvmdtdFdtvdmam)( 在某一時(shí)間間隔內(nèi)，動(dòng)量的增量等于力在該時(shí)間內(nèi)的沖量。在某一時(shí)間間隔內(nèi)，動(dòng)量的增量等于力在該時(shí)間內(nèi)的沖量。IddtFvmd)(IdtFvmvmtt2112 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。量定理。 微分形式微分形式質(zhì)點(diǎn)質(zhì)

8、點(diǎn)動(dòng)量的微分等于力的元沖量。動(dòng)量的微分等于力的元沖量。 積分形式積分形式 矢量形式矢量形式 投影形式投影形式Xmvdtdx)(Ymvdtdy)(Zmvdtdz)(2112ttxxxXdtImvmv2112ttyyyYdtImvmv2112ttzzzZdtImvmv 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒若，則常矢量，質(zhì)點(diǎn)作慣性運(yùn)動(dòng)若，則常量，質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸的運(yùn)動(dòng)是慣性運(yùn)動(dòng)0F0 xFvmxmv二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理)()()(eiiiiiFFvmdtd )0( )()()(iieiiiiiFFFvmdtd而對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn) i， 矢量形式矢量形式 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于

9、作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和。的矢量和。 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的矢量和。的矢量和。在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。 積分形式積分形式 微分形式微分形式)()(eieiIddtFpd)(eiIpp12)(eiFdtpd質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 投影形式投影形式)(exXidtdp)(eyYidtdp)(ez

10、Zidtdp21)()(12tteiexxdtXIixpp21)()(12tteieyydtYIiypp21)()(12tteiezzdtZIizpp 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒若則常矢量。若則常量。, 0)(eiF, 0)(eiXiivmpixixvmp 只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，內(nèi)力不能改變整個(gè)質(zhì)只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，內(nèi)力不能改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。 例例2 已知砂子以恒質(zhì)量流率 設(shè)以近似勻速 流入車廂內(nèi)，與此同時(shí)，車廂在水平常力F 的作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求向車廂內(nèi)輸送了質(zhì)量為m的砂子時(shí)，車廂

11、的速度v和軌道給車廂的平均法向反力N 。車廂的質(zhì)量為M 。skgm smu解：解： 取車廂和質(zhì)量為m的砂子組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象； 受力分析如圖； 取Oxy直角坐標(biāo)軸； 根據(jù)動(dòng)量定理求解：002121yyxxpmupvmMpp)(21211212tteyyttexxdtYppdtXpp)()(由動(dòng)量定理：dtmgMgNmudtFvmMtt)()(00)(00mmgmMmmNtgmMtNmummFtFvmM)()()(umgmMNmmMFmv)(;)(解得：例例3 質(zhì)量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時(shí),大三角形柱體的位移。0)(

12、axmvvM解解：選選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。研究對(duì)象。受力分析受力分析， , 0)(eiXxp水平方向常量。由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx小三角塊相對(duì)大三角塊速度為 ，rvravvvv設(shè)大三角塊速度則小三角塊運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析， mmMSSmmMvvrxrx12-4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將 代入到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，得CvMp )()(eiCFvMdtd若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變，則 或)(eiCFaM)(eiCFrM 上式稱為矢量形式的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方上式稱為矢量形式的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程）

13、。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所程）。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。有外力的矢量和（外力系的主矢）。一質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 矢量形式矢量形式;0 , , )()()(eibeinCneiCFFMaFMa;0, , )()(2)(eibeinCeiFFvMFdtdvM或 自自 然然坐標(biāo)形式坐標(biāo)形式 ： 直角直角坐標(biāo)形式坐標(biāo)形式 ：; , , )()()(eiCzeiCyeiCxZMaYMaXMa; , , )()()(eiCeiCeiCZzMYyMXxM 或 投影形式投影形式)()()(eiCiiCizieiCiiCiyi

14、eiCiiCixiZzmamYymamXxmam 剛體系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理投影形式剛體系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理投影形式 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似。對(duì)于任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，微分方程形式相似。對(duì)于任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系， 無(wú)論它作什么形無(wú)論它作什么形式的運(yùn)動(dòng)，式的運(yùn)動(dòng)， 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 討論討論 只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng), 內(nèi)力不能改變質(zhì)心的內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)，

15、的運(yùn)動(dòng)， 并設(shè)想把整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上，并設(shè)想把整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上， 所有外力也集中作用在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上所有外力也集中作用在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上。 在定向爆破中，爆破時(shí)質(zhì)系中各在定向爆破中，爆破時(shí)質(zhì)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，但質(zhì)心的運(yùn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，但質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡近似一拋物線，由此可初步動(dòng)軌跡近似一拋物線，由此可初步估計(jì)出大部分物塊堆落的地方。估計(jì)出大部分物塊堆落的地方。Pv 汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)氣體的爆炸汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)氣體的爆炸力，對(duì)汽車來(lái)說(shuō)是內(nèi)力。圖中所示作用于力，對(duì)汽車來(lái)說(shuō)是內(nèi)力。圖中所示作用于 汽車后輪的摩擦力

16、汽車后輪的摩擦力F1，稱為汽車行駛的牽引力或驅(qū)動(dòng)力。，稱為汽車行駛的牽引力或驅(qū)動(dòng)力。 三三 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求解兩類動(dòng)力學(xué)問(wèn)題質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求解兩類動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng), 求作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力求作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力(包括包括約束反力約束反力)。 已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 若則若則 常量，質(zhì)心沿常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；方向速度不變；若存在若存在 則則 常量，質(zhì)心在常量，質(zhì)心在x 軸的位置坐標(biāo)保持不變。軸的位置坐標(biāo)保持不變。, 0)(eiXCxCxva , 000CxvCx二二 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒

17、定律 若，則若，則 常矢量，質(zhì)心作勻速直線常矢量，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)； 若開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，即若開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，即 則常矢量則常矢量,質(zhì)質(zhì)心位置守恒。心位置守恒。 0)(eiFCCvoa , 00CvCr 解解: 研究整個(gè)電動(dòng)機(jī)質(zhì)點(diǎn)系； 受力分析如圖示； 取O1x y直角坐標(biāo)軸； 運(yùn)動(dòng)分析：定子靜止，轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解： 例例4 電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子重為P1, 轉(zhuǎn)子重為P2 , 轉(zhuǎn)子的軸通過(guò)定子的質(zhì)心O1, 但由于制造誤差, 轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e 。求轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的約束反力。定子質(zhì)心O1的坐標(biāo)為 x

18、1=0，y1=0轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的坐標(biāo)為 x2= ecos t，y2= esin t ， 電動(dòng)機(jī)質(zhì)心C的坐標(biāo)為 212212211212212211sincosPPtePPPyPyPyPPtePPPxPxPxCC質(zhì)心C加速度在x、y軸上的投影為21222122sin,cosPPtePyPPtePxcC 可見(jiàn)，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。 , )()(eiCCyeiCCxYyMMaXxMMa 由2122212221sincosPPNtegPygPPNtegPxgPPyCxC 有：tegPPPNtegPNyxsincos222122解得：321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。0 iixP例例4 浮動(dòng)起重船, 船的重量為P1=200kN, 起重桿的重量為P2=10kN, 長(zhǎng)l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN 。 設(shè)開(kāi)始起吊時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置