弦振動的誤差分析

1、弦振動中誤差的研究實(shí)驗?zāi)康模海?） 研究弦振動中整碼的重力與繩子拉力之間的關(guān)系，測量整碼重力在多大范圍內(nèi)是和繩子張力相等的；（2） 研究弦振動中頻率的改變對繩子張力和密度的影響，算出它們的誤實(shí)驗原理如圖（1）實(shí)驗時在和間接上弦線（細(xì)銅絲），使弦線繞過定滑輪結(jié)上 整碼盤并接通正弦信號源。在磁場中，通有電流的弦線就會受到磁場力 （稱為安 培力）的作用，若細(xì)銅絲上通有正弦交變電流時， 則它在磁場中所受的與電流垂 直的安培力，也隨著正弦變化，移動兩劈尖（銅塊）即改變弦長，當(dāng)固定弦長是 半波長倍數(shù)時，弦線上便會形成駐波。移動磁鋼的位置，使弦振動調(diào)整到最佳狀 態(tài)（弦振動面與磁場方向完全垂直），使弦線形成明

2、顯的駐波。此時我們認(rèn)為磁 鋼所在處對應(yīng)的弦“ O'為振源，振動向兩邊傳播，在銅塊 A、B兩處反射后又沿各自相反的方向傳播，最終形成穩(wěn)定的駐波。為了研究問題的方便，認(rèn)為波動是從 A 點(diǎn)發(fā)出的，沿弦線朝B端方向傳播，稱為入 射波，再由B端反射沿弦線朝A端傳播， 稱 為反射波。入射波與反射波在同一條弦線上 沿相反方向傳播時將相互干涉，移動劈尖B 到適合位置.弦線上的波就形成駐波。這時， 弦線上的波被分成幾段形成波節(jié)和波腹。駐 波形成如圖（2）所示。設(shè)圖中的兩列波是沿X軸相向方向傳播 的振幅相等、頻率相同振動方向一致的簡諧 波。向右傳播的用細(xì)實(shí)線表示，向左傳播的用細(xì)虛線表示，它們的合成駐波用粗

3、實(shí)線表圖（2）示。由圖可見，兩個波腹間的距離都是等于半個波長，這可從波動方程推導(dǎo)出來。下面用簡諧波表達(dá)式對駐波進(jìn)行定量描述。 設(shè)沿X軸正方向傳播的波為入射 波，沿X軸負(fù)方向傳播的波為反射波，取它們振動位相始終相同的點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn) “O',且在X= 0處，振動質(zhì)點(diǎn)向上達(dá)最大位移時開始計時，則它們的波動方程 分別為：Y = Acos2 (ft x/ )%=Acos2 (ft +x/ 入)+式中A為簡諧波的振幅，f為頻率，為波長，X為弦線上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置。兩波疊加后的合成波為駐波，其方程為：Y +Y = 2Acos2 (x/ ) + /2Acos2 ft 由此可見，入射波與反射波合成后，弦上各

4、點(diǎn)都在以同一頻率作簡諧振動，它們的振幅為I 2A cos2 (x/ ) + /2 | ,與時間無關(guān)t,只與質(zhì)點(diǎn)的位置x 有關(guān)。由于波節(jié)處振幅為零，即：|cos2(x/ ) +/2 |=02 (x/ ) + /2=(2k+1)/ 2(k=0. 2. 3.)可得波節(jié)的位置為：x =k /2而相鄰兩波節(jié)之間的距離為：xk+1 xk = (k + 1) /2 k / 2= / 2 又因為波腹處的質(zhì)點(diǎn)振幅為最大，即 | cos2 (x/ ) + /2 | =12 (x/ ) + /2 =k (k=0. 1. 2. 3.)可得波腹的位置為：x=(2k-1) /4這樣相鄰的波腹間的距離也是半個波長。因此，

5、在駐波實(shí)驗中，只要測得相鄰兩波節(jié)或相鄰兩波腹間的距離，就能確定該波的波長。在本實(shí)驗中，由于固定弦的兩端是由劈尖支撐的，故兩端點(diǎn)稱為波節(jié)，所以，只有當(dāng)弦線的兩個固定端之間的距離(弦長) 等于半波長的整數(shù)倍時，才能形成駐波，這就是均勻弦振動產(chǎn)生駐波的條件，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：L= n / 2 ( n=1.2. 3.)由此可得沿弦線傳播的橫波波長為： = 2L/ n 式中 n 為弦線上駐波的段數(shù)，即半波數(shù)。根據(jù)波速、頻率及波長的普遍關(guān)系式：V= f,將式代入可得弦線上橫波的傳播速度：V= 2Lf/n另一方面，根據(jù)波動理論，弦線上橫波的傳播速度為：1/2V= (T/ p )式中T為弦線中的張力，p為弦線單

6、位長度的質(zhì)量，即線密度。再由式可得f = (T/ p ) 1/2 (n/2L)2Ft2l由式可知，當(dāng)給定T、p、L,頻率f只有滿足以上公式關(guān)系，且積儲相應(yīng)能 量時才能在弦線上有駐波形成。實(shí)驗步驟1、 連接實(shí)驗裝置。2、 測量弦線線密度。測出弦線的質(zhì)量及其長度。根據(jù) 外 ,計算弦線密度。3、 測圓柱半徑，用游標(biāo)卡尺測量其直徑，多次測量求平均值。4、 觀測頻率和繩子張力Ft之間的關(guān)系(1) 取質(zhì)量為50g的整碼掛于弦線的另一端，然后調(diào)節(jié)頻率，調(diào)節(jié)劈尖的位置，得到穩(wěn)定的駐波。分別測量波節(jié) N=1, N=2, N=3時，劈尖與圓 柱底面圓心的距離。當(dāng)頻率大于 130Hz時，取N=1, N=3, N=5

7、.(2)改變頻率f從80Hz到150Hz，整碼質(zhì)量不變，重復(fù)上述步驟(1), 并記錄數(shù)據(jù)。5、 觀測整碼質(zhì)量mg與張力Ft之間的關(guān)系調(diào)節(jié)頻率為100Hz,整碼質(zhì)量從10g到200g時調(diào)節(jié)劈尖的位置得到穩(wěn)定 的駐波，測量當(dāng)N=1, N=2, N=3時，劈尖與圓柱底面圓心的距離。注：當(dāng)整碼質(zhì) 量為 15g 時，取 N=2, N=3, N=4.6、 整理數(shù)據(jù)并處理實(shí)驗數(shù)據(jù)及處理(一)整碼質(zhì)量對繩子張力和密度的影響:1、 的測量弦線l 1cm質(zhì)量m 0.4g=ml =0.4 10-3kg m32、弦振動實(shí)驗裝置圓柱的半徑直徑D1/cmD2/cmD3/cmD4/cmR/ cm114.54114.4114

8、.36114.645.72如下表：表中M為整碼的質(zhì)量，N為波節(jié)數(shù)目，l為波節(jié)長度，為波長的平均值， 為純子的密度，F(xiàn)T為繩子拉力的平均值，F(xiàn)2 2100Hz 純子密度丁為 繩子張力FM/gN=1N=2N=3/cm10-3 kg/ m3FT ( 10-3 N)/%FT /%l/cm上/cmWcm1016.223.73150970.3842102.043.953.9615N=2N=3N=419.270.3958148.481.050.9919.3229.0238.3225.424.7237.0724.7160.4074244.351.851.864516.6733.0249.4233.040.40

9、39436.570.971.0155.218.4636.8255.1236.80.3994541.6960.150.1375.321.2242.4263.7342.460.4093721.032.322.3485.522.9546.1168.6245.890.3978842.480.550.54106.551.0677.0251.230.39761049.890.60.5820135.5271.0871.070.38992020.182.522.49注：僅當(dāng)M=15g時，波節(jié)數(shù)目為特殊情況 其圖像如下所示：（見下頁）百分誤差/%祛碼質(zhì)量對繩子張力和密度的百分誤差系歹系列2m/g（二）振動頻率對

10、繩子密度和張力的影響:G mg 50 10-3 9.8 0.49N/HzN=1N=2N=3/cm10-3 kg/ m3Ft(10-3N)/%Ft /%"cm/ml3/cm8021.5243.6366.643.920.397493.820.750.79019.2639.0258.9939.090.394495.081.51.0210017.3134.6653.1235.030.399490.840.170.1711016.0332.0247.831.950.397494.070.820.8212014.7328.8343.5329.030.4037485.420.920.94/HzN=

11、1N=3N=5/cm10-3 kg/m3Ft(10-3 N)/%Ft /%l"cml2/cm他/cm13013.541.0267.5427.120.394498.271.451.3114012.6736.8761.5624.730.4087479.602.172.5215011.6022.8234.3022.910.415472.253.723.76其圖表如下圖所小:百分誤差/%頻率對繩子的張力和密度的百分誤差在實(shí)驗過程中我們發(fā)現(xiàn)，一方面，當(dāng)固定振動的頻率，改變整碼的質(zhì)量。若整碼的質(zhì)量過小，幾乎是 15g左右時，基本上無法研究，實(shí)驗現(xiàn)象不明顯，振動特別不穩(wěn)定。但是，一旦 整碼質(zhì)量大于

12、20g時，實(shí)驗現(xiàn)象就明顯了很多，而且繩子的張力與整碼的質(zhì)量誤 差基本保持在2.5%以下，尤其是50g到100g之間時，誤差基本保持在1%£右， 可以說是非常小的。因此，我們在以后的實(shí)驗過程中，只要整碼的質(zhì)量大于40g往上，基本都是可取的。另一方面，當(dāng)固定整碼質(zhì)量為50g時，我們通過改變頻率來觀測對純子密度 和拉力的影響。實(shí)驗發(fā)現(xiàn)，70Hz以前的頻率是基本上不能測試的，繩子的振動 非常不穩(wěn)定。因此，我們在實(shí)驗過程中頻率選在從 80Hz到150Hz,由實(shí)驗結(jié)論和 實(shí)驗圖表可得：改變振動頻率產(chǎn)生的實(shí)驗誤差是先減小到 100Hz后又增大，因此 在以后進(jìn)行實(shí)驗時，頻率選在100Hz時，誤差最小

13、。還有一個特殊現(xiàn)象，當(dāng)頻率過大，大于130Hz時，會出現(xiàn)一個特殊現(xiàn)象，當(dāng) 波節(jié)數(shù)目為偶數(shù)時，振動特別不穩(wěn)定，劈尖到滑輪處也會出現(xiàn)微小的波節(jié)。而且， 本來出現(xiàn)的兩個波節(jié)會慢慢的合成一個波節(jié)，合成后的波節(jié)長度幾乎和原來兩個 波節(jié)的長度相等，且振動幅度特別大，但是當(dāng)出現(xiàn)奇數(shù)波節(jié)時，則不會出現(xiàn)這種 情況，實(shí)驗現(xiàn)象也相對穩(wěn)定。這對實(shí)驗帶來了難度，因此，我們?yōu)榱吮苊膺@種情 況，減小實(shí)驗誤差，測量時，我們只選取奇數(shù)波節(jié)時的波節(jié)長度，這樣，得出的 結(jié)論就相當(dāng)準(zhǔn)確。當(dāng)然，由于實(shí)驗室的實(shí)驗儀器本身用于教學(xué)，不屬于研究器材，因此，實(shí)驗 精度本身就不是很高，所以所測的實(shí)驗數(shù)據(jù)也不是非常精確，導(dǎo)致實(shí)驗出現(xiàn)誤差， 當(dāng)然這個誤差是無法避免的。同時，在測量波節(jié)長度l時，用于人肉眼原因，測量的數(shù)據(jù)相對也會出現(xiàn)偏 差。實(shí)驗心得這次實(shí)驗中，我們組成員分工明確，齊力配合，取得的成績非常明顯。實(shí)驗 過程中，由于實(shí)驗數(shù)據(jù)的巨大性，我們走了不少彎路，經(jīng)過小組成員討論，查閱 資料，然后以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度測量每一組實(shí)驗數(shù)據(jù)，終于，功夫不負(fù)有心人。我們終于得出