高等數(shù)學(xué)電子教案（最新版）(1)

1、整理課件一、方向場(chǎng)一、方向場(chǎng) 積分曲線積分曲線 設(shè)設(shè)(1)(1)中右端的函數(shù)中右端的函數(shù)),(yxf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)有定義，那么過(guò)有定義，那么過(guò)D內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)),(yxM作一條以作一條以),(yxf為斜率的直線，并把向量為斜率的直線，并把向量 ),(, 1),(yxfyx 所指的方向定義為直線的方向所指的方向定義為直線的方向. .這樣，對(duì)于這樣，對(duì)于D內(nèi)內(nèi)每一點(diǎn)每一點(diǎn)),(yx, ,方方程程( (1 1) )都都確確定定一一個(gè)個(gè)方方向向與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，于于是是我我們們說(shuō)說(shuō)方方程程( (1 1) )在在D內(nèi)內(nèi)確確定定了了一一個(gè)個(gè)方方向向場(chǎng)場(chǎng))1(),(yxfy 一一階階微微分分方方程程定

2、義定義1整理課件 過(guò)過(guò)D內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yxM,做做一一個(gè)個(gè)以以M為為起起點(diǎn)點(diǎn)長(zhǎng)長(zhǎng)度度等等于于 的的向向量量),(, 1),(1),(20yxfyxfyx 如如圖圖所所示示,可可形形象象地地表表示示方方向向場(chǎng)場(chǎng).xoy整理課件定義定義2等斜線的方程為等斜線的方程為.),(Cyxf 在這條等斜線上的各點(diǎn)處在這條等斜線上的各點(diǎn)處, 1120CC 方方向向場(chǎng)場(chǎng)中中具具有有同同一一方方向向)(Cy 的的點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡叫叫做做方方程程( (1 1) )的的等等斜斜線線方向場(chǎng)畫法方向場(chǎng)畫法 適當(dāng)畫出若干條等斜線適當(dāng)畫出若干條等斜線,再在每條再在每條等斜線上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對(duì)應(yīng)的向量等斜線上適當(dāng)

3、選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對(duì)應(yīng)的向量0 ,這樣即可畫出這個(gè)方向場(chǎng)這樣即可畫出這個(gè)方向場(chǎng).整理課件例例1 1畫出方程畫出方程22yxy 所確定的方向所確定的方向解解方程的等斜線為方程的等斜線為,22Cyx , 2, 5 . 1, 1, 5 . 0, 0 C取取畫出五條等斜線畫出五條等斜線, 再在再在每條等斜線上適當(dāng)選取每條等斜線上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對(duì)應(yīng)的向若干個(gè)點(diǎn)畫出對(duì)應(yīng)的向量量0,如圖方向場(chǎng)如圖方向場(chǎng).xoy場(chǎng)示意圖場(chǎng)示意圖.整理課件xoy的積分曲線的積分曲線的曲線就是方程的曲線就是方程點(diǎn)處的方向一致，這樣點(diǎn)處的方向一致，這樣線方向都和方向場(chǎng)在該線方向都和方向場(chǎng)在該處的切處的切內(nèi)的一條曲線在任一點(diǎn)內(nèi)的

4、一條曲線在任一點(diǎn)如果如果)1(D定義定義3如圖，如圖，)1, 0(),0 , 0(),1 , 0( 的三條積分曲線的三條積分曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)根據(jù)方向場(chǎng)即可大致根據(jù)方向場(chǎng)即可大致描繪出積分曲線描繪出積分曲線整理課件二、歐拉二、歐拉- -柯西近似法柯西近似法問(wèn)題問(wèn)題: : 一階微分方程的初值問(wèn)題一階微分方程的初值問(wèn)題 ,),(00yyyxfyxx的解不能或不易用初等積分法求出時(shí)的解不能或不易用初等積分法求出時(shí),怎么辦？怎么辦？方法：方法：近似積分法近似積分法歐拉歐拉柯西近似法柯西近似法一階微分方程初值問(wèn)題的解存在及唯一的一階微分方程初值問(wèn)題的解存在及唯一的充分條件如下定理：充分條件如下定理：整理課

5、件樣的積分曲線是唯一的樣的積分曲線是唯一的上也連續(xù)，那末這上也連續(xù)，那末這在在線一定存在如果線一定存在如果的積分曲的積分曲通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)上，微分方程上，微分方程閉區(qū)域閉區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)，那末在的內(nèi)點(diǎn)，那末在是是上連續(xù)，點(diǎn)上連續(xù)，點(diǎn)在閉區(qū)域在閉區(qū)域右端的函數(shù)右端的函數(shù)設(shè)方程設(shè)方程定理定理DyfMDDyxMDyxf 0000)1(),(),()1(注意注意上上連連續(xù)續(xù)閉閉區(qū)區(qū)域域在在及及下下面面總總假假定定函函數(shù)數(shù)Dyxfyyxf),(),( 整理課件內(nèi)內(nèi)的的一一段段積積分分曲曲線線位位于于時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，并并設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)?shù)牡姆e積分分曲曲線線為為經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)方方程程DHxxHxxyyxM 00000)()

6、,()1( :,00上作歐拉折線上作歐拉折線在在Hxx ，如圖，如圖軸的直線軸的直線作平行于作平行于，為步長(zhǎng)；記為步長(zhǎng)；記稱稱，等分，記等分，記把區(qū)間把區(qū)間), 2 , 1 , 0(,000nixxyihxxhnHhnHxxii 1x2x1 nxyxo0 xH整理課件；則則，交于點(diǎn)交于點(diǎn)，與直線，與直線段段為斜率的直線為斜率的直線作以作以，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)值值求出函數(shù)求出函數(shù)上取點(diǎn)上取點(diǎn)在直線在直線001111110000000000),(),(),(yhyyyxMxxMMyMyyxfyxMxx ；，則則于于點(diǎn)點(diǎn)，交交直直線線為為斜斜率率的的直直線線段段作作以以，過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)求求出出函函數(shù)數(shù)值值)(),

7、(),(10011222222111111yyhyyhyyyxMxxMMyMyyxf 1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M整理課件1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M如此一段接一段地如此一段接一段地作下去，得一條折線，作下去，得一條折線，稱歐拉折線稱歐拉折線 .),(,),(,),()(11112111110000nnnnnnxxxxxyyxxxxxyyxxxxxyyxy 方程為方程為整理課件).,(,)(,100110iiiiiiiiyxfynHhhyyyhyyyihxx 其其中中函數(shù)函數(shù)表示表示的一個(gè)表（函數(shù)表）來(lái)的一個(gè)表（函數(shù)表）來(lái)可列出可列出)(,xyyxnii 注意注意內(nèi)

8、，且內(nèi)，且于于應(yīng)位應(yīng)位折線折線)()(lim)()(00 xxDHxxxxynnn 初值問(wèn)題的近似解初值問(wèn)題的近似解整理課件例例2 2，計(jì)算到四位小數(shù)，計(jì)算到四位小數(shù)取步長(zhǎng)取步長(zhǎng)的近似解的近似解上求初值問(wèn)題上求初值問(wèn)題在在)1 . 0(,11 , 0022 hyyxyx解解.1 . 011 . 01 . 022110iiiiiiyxyyyyyixh ，列表計(jì)算如下列表計(jì)算如下.,數(shù)數(shù)表表兩兩列列就就表表示示近近似似解解的的函函其其中中iiyx整理課件iixiyiy 1247035689101 . 02 . 04 . 07 . 00 . 03 . 05 . 06 . 08 . 09 . 00 .

9、 19000. 0 8094. 0 6474. 0 4176. 0 0000. 1 7260. 0 5713. 0 4954. 0 3361. 0 2493. 0 1559. 0 9055. 08337. 07610. 08151. 00000. 17855. 07592. 07781. 08677. 09339. 0整理課件三、小結(jié)三、小結(jié)歐拉柯西近似法是圖形與分析相結(jié)合的歐拉柯西近似法是圖形與分析相結(jié)合的近似積分方法近似積分方法基本概念基本概念方向場(chǎng)、等斜線、積分曲線、方向場(chǎng)、等斜線、積分曲線、歐拉柯西近似法歐拉柯西近似法整理課件練練 習(xí)習(xí) 題題.1 . 0 , 002. 01,32.0 , 5 . 01 . 01,1020求近似解求近似解上上在在；按；按近似解近似解上求上求在在；按；按位小數(shù)）：位小數(shù)）：上的近似解（計(jì)算到三上的近似解（計(jì)算到三程初值問(wèn)題在指定區(qū)間程初值問(wèn)題在指定區(qū)間求下列各題所給微分方求下列各題所給微分方 hyyxyhyyxyxx整理課件