抽象函數(shù)定義域的求法

1、抽象函數(shù)的定義域總結(jié)解題模板1已知f(X)的定義域，求復(fù)合函數(shù) fg x的定義域由復(fù)合函數(shù)的定義我們可知，要構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，因此可得其方法為：若f(x)的定義域為 xw a,b，求出fg(x)中a . g(x) : b的解x的范圍，即為f g(x)的定義域。2已知復(fù)合函數(shù)fg x的定義域，求f(x)的定義域方法是：若fg x的定義域為a,b，則由a ： x ： b確定g(x)的范圍即為f (x) 的定義域。3已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域結(jié)合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由fg x定義域求得f x的定

2、義域，再由f x的定義域求得fh x的定義域。4.已知f (x)的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。例1已知函數(shù)f (x)的定義域為-1, 1,求f (3x -5)的定義域.分析：若f (x)的定義域為a < x < b，則在fg(x) 1中, a < g(x) < b ,從中解得x 的取值范圍即為 f lg(x) 的定義域本題該函數(shù)是由u = 3x -5和f (u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量，由于f (x)與f(u)是同一個函數(shù)，因此這里

3、是已知-1 < u w 5，即-1 w 3x -5 w 5，求x的取值范圍.解： f (x)的定義域為 I -1,5 丨， - 1 w 3x - 5 w 5 , w x w 0 .33故函數(shù)f(3x-5)的定義域為 40 .IL3 3變式訓(xùn)練：若函數(shù)y二f (x)的定義域為 1 ,2，則f(log2x)的定義域為 。IL2分析：由函數(shù)y二f (x)的定義域為1 2可知:21log 2 x 二2。2解：依題意知：1log? x _ 2解之，得：.一2 _ x _42- f (log 2 x)的定義域為 上 | 2 _ x _ 4例2已知函數(shù)f(x2-2x2)的定義域為1.0,31,求函數(shù)f

4、 (x)的定義域.分析：若fg(x) 1的定義域為m< x < n，則由m < x < n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域這種情況下，f(x)的定義域即為復(fù)合函數(shù)f lg(x) 1的內(nèi)函數(shù)的值域。2 2本題中令 u = x -2x 2，貝U f (x -2x 2 f (u),由于f (u)與f (x)是同一函數(shù)，因此 u的取值范圍即為f (x)的定義域.2解：由 0 < x < 3，得 1 < x -2x 2 < 5 令 u = x2 - 2x 2，則 f (x2 - 2x 2) = f (u) , 1 < u < 5 .故f

5、 (x)的定義域為1,5 I變式訓(xùn)練：已知函數(shù)''，_；1：的定義域為1亠；-1，則''，：-'的定義域為 解：由J2,54，得亠所以-二：J故填-:例3.函數(shù)' '' 1 定義域是 V，則'-的定義域是()A. B. ' -1C. ' ；-D.-3, 7分析：已知-的定義域，求"I的定義域，可先由'I定義域求得:-的定義域，再由的定義域求得的定義域解：先求一的定義域11l 的定義域是 一 I: ; ; I ,即的定義域是一二1,再求的定義域J'二心_1)的定義域是2,故應(yīng)選A變式

6、訓(xùn)練：已知函數(shù)f(2 x)的定義域是-1 , 1,求f(log 2x)的定義域.分析：先求2x的值域為M則log2X的值域也是M,再根據(jù)log2X的值域求定義域。解 /y=f(2 x)的定義域是-1 , 1,即-1 < xw 1, 2 < 2Xw 2.函數(shù) y=f(log 2x)中 2 w log 2X w 2.即 log 2 2 w log 2X< log 24, 、2 w x w 4.故函數(shù)f(log 2X)的定義域為2 , 4例4若f (x)的定義域為-3, 5丨,求“X)二f (-x) f(2x 5)的定義域.分析：求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解

7、法是：先求出各個函數(shù)的定義域，然后再求交集._3 wx w 5解：由f (x)的定義域為1-3, 51 ,則(x)必有' 解得-4 w x w 0 .13 w 2x + 5 w 5,所以函數(shù)(x)的定義域為1-4 ,0 1.變式訓(xùn)練:已知函數(shù)二的定義域是，的定義域。分析：分別求f(x+a)與f(x-a)的定義域，再取交集。解：丁由已知,0 <z + a<1V-<02a < a <l + a<l 函數(shù)1的定義域是.八-1 2例5若函數(shù)f(x+1)的定義域為,2,求f(x)的定義域.2分析：已知f(x+1)的定義域為,2, x滿足w xw 2,于是2 2

8、v x + 1 v 3,得到2.一 12f(x)的定義域，然后f(x )的定義域由f(x)的定義域可得.解：先求f(x)的定義域:由題意知-再求 fh(x)1< x< 2,2的定義域：1則一v x+ 1 v 3，即f(x)的定義域為22，3， 1 v x2 v 3,解得一23 v x v或2 v xv3 .2 2,2f(x )的定乂域是x| 3 v xv -或 v xv3 .2 2例6、某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為 x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三 角形要求框架圍成的總面積 8亦問x、y分別為多少(精 確到0.001m)時用料最?。糠治觯簯?yīng)用題中

9、的定義域除了要使解析式有意義外，需考慮實際上的有效范圍。實際上的有效范圍，即實際問題要有意義，一般來說有以下幾中常見情況：(1) 面積問題中，要考慮部分的面積小于整體的面積；(2) 銷售問題中，要考慮日期只能是自然數(shù)，價格不能小于0也不能大于題設(shè)中規(guī)定的值(有的題沒有規(guī)定)；(3) 生產(chǎn)問題中，要考慮日期、月份、年份等只能是自 然數(shù)，增長率要滿足題設(shè)；1 2S三角形'S矩形二xy x 8 ,4(4)路程問題中，要考慮路程的范圍。本題中總面積為由于 xy 0 ,于是-x2 : 8，即 x 4 2。又 x 0 ,.4x的取值范圍是0：x：42。解：由題意得218-乞 8xy+ x2=8,

10、.y= 4= 4xx-(0<x<4、2).4已框架用料長度為l=2x+2y+2(x )=( - , 2 )x+ 164 . 6一4一2 .22x當(dāng)(3 +、. 2 )x= 16 ,即x=8 4 . 2時等號成立.2x此時，x 2.343,y=2. 2 2.828.故當(dāng)x為2.343m,y為2.828m時，用料最省.變式訓(xùn)練：13. （2007 北京理，19）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r,短半軸長為r.計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底 CD的端點在橢圓上.記CD=2x，梯形面積為S.（1）求面積S以x求面積S的最大值.解（1）依題意，以AB

11、的中點0為原點建立直角坐標(biāo)系O-xy （如圖），則點C的橫坐標(biāo)為x,點C的縱坐標(biāo)y滿足方程解得 y=2 一 r2 -X2 (0<x<r).S=1 (2x+2r) 2 . r2 x22=2(x+r) -. r2 -x2,其定義域為x|O<x<r.2222(2)記 f(x)=4(x+r) (r -x ),0<x<r,貝U f ' (x)=8(x+r)(r-2x).1 r令 f' (x)=0,得 x= r.因為當(dāng) 0<x< 時，f' (x)>0;2 2r1當(dāng)一<x<r時,f ' (x)<0，所以f

12、 ( r )是f(x)的最大值.22因此，當(dāng)x=lr時，S也取得最大值，最大值為，（»夢2.即梯形面積S的最大值為 r2.2鞏固訓(xùn)練（各專題題目數(shù)量盡量一致，各題均附答案及解析）1. 設(shè)函數(shù)的定義域為11 ,貝U（1） 函數(shù)冷）的定義域為。（2） 函數(shù)扛五的定義域為。分析：做法與例題1相同解：(1)由已知有-、，解得:故的定義域為(2)由已知，得:二心；解得I ；故 - -' f的定義域為L'.2、 已知函數(shù)-''：的定義域為I->-,貝珥，；的定義域為。分析：做法與例題2相同。解：由,得.丨所以-二：二1，故填I(lǐng)'I3、 已知函數(shù)-''：的定義域為I 一 ,則y=f(3x-5)的定義域為分析：做法與例題3相同。解：由 J G,得.-|< I