數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分new

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分實(shí)驗(yàn)1：威廉向克斯的背景：1872 年，英國(guó)學(xué)者威廉向克斯（18121882）花費(fèi)了整整二十個(gè)年頭把的值算到了小數(shù)點(diǎn)后707 位。向克斯死后，人們紀(jì)念他，就在他的墓碑上刻下了他一生心血的結(jié)晶：的707 位小數(shù)。此后半個(gè)多世紀(jì)，人們對(duì)威廉向克斯的計(jì)算結(jié)果深信不疑，以至于在1937 年巴黎博覽會(huì)發(fā)現(xiàn)館的天井里，依然顯赫地刻著向克斯的值。又過了若干年，數(shù)學(xué)家法格遜對(duì)向克斯的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生懷疑，他認(rèn)為在的數(shù)值式中，各數(shù)碼出現(xiàn)的概率都應(yīng)當(dāng)相等。于是，他統(tǒng)計(jì)了威廉向克斯的頭608 位小數(shù)中，各數(shù)碼出現(xiàn)的頻率，發(fā)現(xiàn)其不相等法格遜猜想：在的數(shù)值中各數(shù)碼0,1,9出現(xiàn)的可能性大小應(yīng)當(dāng)相等。實(shí)驗(yàn)問題：（

2、1） 驗(yàn)證法格遜猜想（2） 進(jìn)一步地，能否驗(yàn)證任一無理數(shù)的小數(shù)中，任一個(gè)數(shù)值出現(xiàn)的可能性都是一樣的。求解過程： (1)計(jì)算頻率xx=input(請(qǐng)輸入你的驗(yàn)證無理數(shù),s); nn=input(請(qǐng)輸出入你要計(jì)算的無數(shù)理的小數(shù)位數(shù),n其值不超過25萬);xx=sym(xx);tempq=vpa(xx,nn+1);tempq=char(tempq);loca=find(tempq=.);tempq(1:loca)= ;probn=zeros(3,10);probn(1,:)=0:9;for ii=0:9 probn(2,ii+1)=length(find(tempq=num2str(ii);endp

3、robn(3,:)=probn(2,:)./nn例：xx=pi ,nn=100000結(jié)果為：數(shù)字0123456789頻數(shù)0.10000.10140.09910.10030.09970.10030.10030.10030.09980.0990（2）分布的假設(shè)檢驗(yàn)方法對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)。假設(shè)：09這十個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)是等可能的。設(shè)這十個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率為，則。設(shè)這十個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻數(shù)為。設(shè)為樣本容量。我們可以構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：由概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)有：如果原假設(shè)成立，則當(dāng)樣本容量時(shí)，的極限分布為自由度為9的分布。本例中，十個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻數(shù)分別為9999，10137，9908，10025，9971，10026，10029，10

4、025，9978，9902。程序如下（接上段）%對(duì)頻率進(jìn)行檢驗(yàn)npi=1./10.*ones(1,10).*nn;vi=probn(2,:);chi2=sum(npi-vi).2 ./npi);alpha=input(請(qǐng)輸入檢驗(yàn)的顯著性水平alpha ,其值為大于零小于1的數(shù));crichi= chi2inv(1-alpha,9);exp1=strcat(在顯著性水平alpha =,num2str(alpha),的條件下,可以認(rèn)為各數(shù)字出現(xiàn)是等可能的);exp2=strcat(在顯著性水平alpha =,num2str(alpha),的條件下,各數(shù)字出現(xiàn)不是等可能的);if chi2 cric

5、hi disp(exp2);else disp(exp1);end例：xx=pi ,nn=10000，顯著性水平=0.05的情況下。結(jié)果為：接受原假設(shè)。能否進(jìn)一步猜想，無理數(shù)的小數(shù)中，任何一個(gè)k位數(shù)的出現(xiàn)都是等可能的。能否用一些無理數(shù)來驗(yàn)證。 實(shí)驗(yàn)2：用回歸找規(guī)律 某個(gè)煉鋼廠為了測(cè)定某種合金鋼的抗拉強(qiáng)度y(kg/mm2)與鋼中的含碳時(shí)x(%)之間的關(guān)系。收集了92組煉鋼中碳含量及強(qiáng)度的數(shù)據(jù)（見表1）。為滿足某個(gè)用戶的要求，此種合金鋼的抗拉強(qiáng)度y要大于32(kg/mm2)。若要以90%的把握滿足此要求，應(yīng)把含碳量控制在什么范圍內(nèi)？表1：抗拉強(qiáng)度Y（kg/mm2）與含碳量X的對(duì)應(yīng)關(guān)系序號(hào)x(%)y

6、(kg/mm2)序號(hào)x(%)y(kg/mm2)序號(hào)x(%)y(kg/mm2)10.0340.5320.143.5630.1347.520.0441.5330.140.5640.1349.530.0438340.144650.144940.0542.5350.142.5660.144150.0540360.141.5670.144360.0541370.137680.1447.570.0540380.143690.154680.0643390.141.5700.154990.0643.5400.145710.1539.5100.0739.5410.141720.1555110.0743420.1

7、142.5730.1548120.0742.5430.1142740.1648.5130.0842440.1142750.1651140.0842450.1146760.1648150.0842460.1145.5770.1753160.0841.5470.1249780.1850170.0842480.1242.5790.252.5180.0841.5490.1244800.255.5190.0842500.1242810.257200.0942.5510.1243820.2156210.0939.5520.1246.5830.2152.5220.0943.5530.1246.5840.21

8、56230.0939540.1343850.2360240.0942.5550.1346860.2456250.0942560.1343870.2453260.0943570.1344.5880.2453270.0943580.1349.5890.2554.5280.0944.5590.1343900.2661.5290.0943600.1345.5910.2959.5300.0945610.1344.5920.3264310.0945.5620.1346問題分析：這是一個(gè)用數(shù)據(jù)來近似規(guī)律的問題。初看起來，大家覺得用回歸的辦法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合就行了。其實(shí)分析時(shí)要考慮相關(guān)問題。首先，我分析數(shù)據(jù)反映

9、的是確定性規(guī)律還是不確定性規(guī)律（這里主要指相關(guān)關(guān)系）。如果是確定性規(guī)律，常用插值和擬合的方式來近似。如果是相關(guān)關(guān)系，常用回歸來處理。其次，回歸方法是有條件的。要求試驗(yàn)誤差項(xiàng)相互獨(dú)立同分布、誤差服從正態(tài)分布、回歸關(guān)系和系數(shù)要顯著等等。由于我們對(duì)背景了解少，所有的只是大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們可以認(rèn)為這是一個(gè)相關(guān)關(guān)系。來找Y對(duì)X的回歸方程?；炯僭O(shè)：（1）抗拉強(qiáng)度y（kg/mm2）主要受含碳量x有影響，其他因素的綜合影響視為隨機(jī)因素。（2）每組數(shù)據(jù)的采集是相互獨(dú)立的。（1） 抗拉強(qiáng)度y（kg/mm2）與含碳量x的關(guān)系為相關(guān)關(guān)系。（2） 誤差服從正態(tài)分布.模型的建立（1）作出數(shù)據(jù)的散布圖，找到近似的回歸函

10、數(shù)輸入為：xx=0.03, 0.04, 0.04, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.06, 0.06, 0.07, 0.07, 0.07, 0.08, 0.08, 0.08, 0.08, 0.08, 0.08, 0.08, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.10, 0.10, 0.10, 0.10, 0.10, 0.10, 0.10, 0.10, 0.10, 0.10, 0.11, 0.11, 0.11, 0.11, 0.11, 0.12, 0.12, 0.12

11、, 0.12, 0.12, 0.12, 0.12, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.13, 0.14, 0.14, 0.14, 0.14, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.16, 0.16, 0.16, 0.17, 0.18, 0.20, 0.20, 0.20, 0.21, 0.21,0.21, 0.23, 0.24, 0.24, 0.24, 0.25, 0.26, 0.29, 0.32 ;yy=40.5, 41.5, 38.0, 42.50, 40.0, 41.00,

12、40.0, 43.00, 43.5, 39.5, 43.0, 42.5, 42.0, 42.0, 42.0, 41.5, 42.0, 41.5, 42.0, 42.5, 39.5, 43.5, 39.0, 42.5, 42.0, 43.0, 43.0, 44.5, 43.0, 45.0, 45.5, 43.5, 40.5, 44.0, 42.5, 41.5, 37.0, 43.0, 41.5, 45.0, 41.0, 42.5, 42.0, 42.0, 46.0, 45.5, 49.0, 42.5, 44.0, 42.0, 43.0, 46.5, 46.5, 43.0, 46.0, 43.0,

13、 44.5, 49.5, 43.0, 45.5, 44.5, 46.0, 47.5, 49.5, 49.0, 41.0, 43.0, 47.5, 46.0, 49.0, 39.5, 55.0, 48.0, 48.5, 51.0, 48.0, 53.0, 50.0, 52.5, 55.5, 57.0, 56.0, 52.5, 56.0, 60.0, 56.0, 53.0, 53.0, 54.5, 61.5, 59.5, 64.0 ;plot(xx,yy,.);輸出為： 圖2：抗拉強(qiáng)度y kg/mm2）對(duì)含碳量x的散布圖（2）找近似規(guī)律 從上面的散布圖看，我們可以認(rèn)為回歸關(guān)系是近似于線性的。從而用

14、可用線性回歸來近似。即。 輸入為 aa=ones(length(xx),1); XX=aa,xx; coe=XXyy; 輸出為:coe=coe = 34.7699 87.9259 所以回歸的經(jīng)驗(yàn)公式為。（3）回歸的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 對(duì)于數(shù)據(jù)，在擬合關(guān)系下，我們可以計(jì)算殘差，和的方差的估計(jì)值，從而可以計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)殘差 如果標(biāo)準(zhǔn)殘差主要分布在區(qū)間-2，2上，而且是完全隨機(jī)的，則我們認(rèn)為擬合是成功的。這一點(diǎn)可以從標(biāo)準(zhǔn)殘差圖來觀察。輸入為：ei=yy-XX*coe;dive=ei*ei/(length(ei)-2);rei=ei/sqrt(dive);plot(yy,rei,o);輸出為：圖3：回歸標(biāo)準(zhǔn)殘差

15、re隨抗拉強(qiáng)度Y的散布圖對(duì)散布圖中，我們可以認(rèn)為擬合是合理的，因?yàn)榻^大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)落在區(qū)間-2，2 上，而且數(shù)據(jù)沒有呈現(xiàn)出其它的規(guī)律性。（4）的方差的齊次性檢驗(yàn) 對(duì)于數(shù)據(jù)，求擬合關(guān)系，我們假設(shè)了殘差方差都。但實(shí)際數(shù)據(jù)并不一定是這樣的，從而需要我們對(duì)進(jìn)診斷。如果殘差是完全隨機(jī)的，而且它的上下界沒有擴(kuò)大的穩(wěn)勢(shì)，則我們認(rèn)為方差都。這一點(diǎn)可以從殘差圖來觀察。輸入為：plot(yy,ei,o) 輸出為：圖4：回歸殘差ei隨抗拉強(qiáng)度Y的散布圖 從上圖以可得到：殘差的方差沒有變大的趨勢(shì)，我們可以認(rèn)為隨機(jī)誤差的方差都是。(5)對(duì)回歸系數(shù)b的顯著性檢驗(yàn)假設(shè)：在原假設(shè)成立的前提下，回歸離差平方和的分布服從。殘差平方

16、和有分布服從, 且與相互獨(dú)立。 所以可以取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著性水平的情況下作假設(shè)檢驗(yàn)。 輸入為：ssr=norm(XX*coe-mean(yy).2;sse=ei*ei;ranF=ssr/(sse/length(ei)-2);alpha=0.05; %顯著性水平alphacrit=finv(1-alpha,1, length(ei)-2); 得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量= 500.87，而顯著性水平的情況下，上側(cè)分位數(shù)為3.9469。 所以拒絕，從而我們認(rèn)為回歸系數(shù)是顯著的。 從而我們的回歸模型是成立的。即 （6）計(jì)算控制量x的值 合金鋼的抗拉強(qiáng)度Y的值實(shí)際上是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布服從從而有其中。即求x使

17、對(duì)于。分布的上側(cè)面分位數(shù)為= 1.645.即求x的取值，使輸入為：syms xlxx=(xx-mean(xx)*(xx-mean(xx);dlta =sqrt(1 + 1length(ei) + (x - mean(xx)2/lxx)*sqrt(dive);alpha=0.1; %保證抗拉強(qiáng)度0.9的可能性在32以上tacrit=tinv(1-alpha, length(ei)-2);dlta=dlta.*tacrit;yyxx=1,x*coe;yu = yyxx + dlta;yl = yyxx - dlta;ezplot(yu,-20,20)hold onezplot(yl,-20,20)

18、hold offx0 = fzero(char(yl-32),mean(xx)輸出為：圖5：和的關(guān)系圖，中間的曲線為，上面的為yu,下面的為yl.x0 = 0.3380所以我們可以得到結(jié)論：為滿足用戶的要求，此種合金鋼的抗拉強(qiáng)度y應(yīng)大于32，若要以90%的把握滿足此要求，應(yīng)把含碳量x大于0.3380。進(jìn)一步分析：我們上面的討論是在認(rèn)為每個(gè)數(shù)據(jù)是相互獨(dú)立的條件下做的擬合，我們的數(shù)據(jù)不一定是相互獨(dú)立的。我們能不能檢驗(yàn)。如果我們的有些檢驗(yàn)是不成立的，我們有沒有辦法對(duì)數(shù)據(jù)或擬合方法進(jìn)行修正，使它也能用回歸的方法來求解模型。 實(shí)驗(yàn)3估計(jì)和檢驗(yàn) 我們常說一個(gè)班上的學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布。但卻鮮有人去舉個(gè)例

19、子來驗(yàn)證。 下面是我們考查我校一個(gè)班（160名學(xué)生）的某一門課程的成績(jī)?nèi)缦隆?0 95 60 60 60 78 43 63 92 91 95 75 81 80 84 30 71 44 44 88 70 73 83 15 66 71 60 15 83 61 89 87 72 43 63 49 87 80 91 78 60 81 84 97 73 92 81 76 73 69 88 82 70 95 88 62 68 63 81 68 85 70 84 41 80 83 94 72 60 77 83 65 61 79 84 79 61 47 51 90 67 60 44 95 78 63 86 6

20、9 80 65 90 34 37 90 41 65 86 72 82 62 61 41 60 77 91 75 83 67 85 87 79 27 84 84 80 70 74 44 71 61 76 79 72 81 26 51 60 85 91 70 76 71 64 61 90 78 35 87 80 79 82 80 91 32 60 69 71 50 80 44 81 61 60 70 50 76 66 63 44 99實(shí)驗(yàn)問題：1)計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、偏度、峰度，畫出直方圖；2)檢驗(yàn)分布的正態(tài)性；3)若檢驗(yàn)符合正態(tài)分布，估計(jì)正態(tài)分布的參數(shù)并檢驗(yàn)參數(shù)。求解過程：（1）理論基礎(chǔ)設(shè)總

21、體為X，是一組容量為n的樣本。1、 表示取值集中的位置的統(tǒng)計(jì)量平均值和中位數(shù) 平均值（或均值，數(shù)學(xué)期望）： 中位數(shù)：將數(shù)據(jù)由小到大排序后位于中間位置的那個(gè)數(shù)值.2、 表示變異程度的統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差 標(biāo)準(zhǔn)差： 它是各個(gè)數(shù)據(jù)與均值偏離程度的度量. 方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方. 極差：樣本中最大值與最小值之差. 3. 表示分布形狀的統(tǒng)計(jì)量偏度和峰度偏度： 偏度反映分布的對(duì)稱性，g1 0稱為右偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的多；g1 0稱為左偏態(tài)，情況相反；而g1接近0，則可認(rèn)為分布是對(duì)稱的。峰度： 峰度是分布形狀的另一種度量，正態(tài)分布的峰度為3，若g2比3大很多，表示分布有沉重的尾巴，說明樣

22、本中含有較多遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù)，因而峰度可用作衡量偏離正態(tài)分布的尺度之一.4. 作頻率直方圖。在直角坐標(biāo)系的橫軸上，標(biāo)出各分點(diǎn)，分別以為底邊，作高為（其中是樣本值落在的頻率，）的矩形，,即得頻率直方圖。（2）計(jì)算xx=80 95 60 60 60 78 43 63 92 91 95 75 81 80 84 30 71 44 44 88 70 73 83 15 66 71 60 15 83 61 89 87 72 43 63 49 87 80 91 78 60 81 84 97 73 92 81 76 73 69 88 82 70 95 88 62 68 63 81 68 85 70 84 41 8

23、0 83 94 72 60 77 83 65 61 79 84 79 61 47 51 90 67 60 44 95 78 63 86 69 80 65 90 34 37 90 41 65 86 72 82 62 61 41 60 77 91 75 83 67 85 87 79 27 84 84 80 70 74 44 71 61 76 79 72 81 26 51 60 85 91 70 76 71 64 61 90 78 35 87 80 79 82 80 91 32 60 69 71 50 80 44 81 61 60 70 50 76 66 63 44 99;xxbar=mean(xx); %計(jì)算樣本均值s_gu=std(xx); %計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差jicha=max(xx)-min(xx); %計(jì)算極差g1= skewness(xx); %計(jì)算偏度g2= kurtosis(xx); %計(jì)算偏度xxarea=min(xx)+jicha.*(1:15)./15; %確定直方度的劃分區(qū)間為15個(gè)pinglv, xi=hist(xx,xxarea); %計(jì)算各區(qū)間的頻數(shù)和區(qū)間中點(diǎn)xipinglv= pinglv ./ 160; %計(jì)算各區(qū)間的頻率bar(xi,pinglv); %繪制頻率直方圖圖1：學(xué)生成績(jī)頻率直方圖 結(jié)果