第七章回歸分析的其它問題

1、第七章：回歸分析的其它問題 第一節(jié) 虛擬變量 第二節(jié) 設(shè)定誤差 第三節(jié) 滯后變量模型介紹 第四節(jié) 隨機解釋變量 第五節(jié) 時間序列模型初步第一節(jié) 虛擬變量一、虛擬變量及其作用1.定義：取值為0和1的人工變量，表示非量化（定性）因素對模型的影響，一般用符號D表示。例如：政策因素、地區(qū)因素、心理因素、季節(jié)因素等。2.作用：描述和測量定性因素的影響；正確反映經(jīng)濟變量之間的相互關(guān)系，提高模型的精度；便于處理異常數(shù)據(jù)。二、虛擬變量的設(shè)置原則 引入虛擬變量一般取0和1。 對定性因素一般取級別數(shù)減1個虛擬變量。例子1：性別因素，二個級別（男、女）取一個虛擬變量，D=1表示男（女），D=0表示女（男）。 例子2

2、：季度因素，四個季度取3個變量。 小心“虛擬變量陷阱”！其它季度一季度 0, , 11D其它季度二季度 0, , 12D其它季度三季度 0, , 13D三、虛擬變量的應(yīng)用 1、在常數(shù)項引入虛擬變量，改變截距。 對上式作OLS，得到參數(shù)估計值和回歸模型： (7.1.2)相當(dāng)于兩個回歸模型：(7.1.1) 110ikikiiuxxDy(7.1.2) 110kikiixxDy0 1 110110DxxyDxxykikiikikii 2、在斜率處引入虛擬變量，改變斜率。 作OLS后得到參數(shù)估計值，回歸模型為： 同樣可以寫成二個模型： 可考慮同時在截距和斜率引入虛擬變量：(7.1.3) )(110iki

3、kiiuxxDy(7.1.4) )(110kikiixxDy0 1 )(110110DxxyDxxykikiikikii(7.1.5) )(11100ikikiiiiuxxDDy 3、虛擬變量用于季節(jié)性因素分析。 取 原模型若為 則引入虛擬變量后的模型為： 回歸模型可視為：4 , 3 , 2 , 0,i , 1iDi其它季度的數(shù)據(jù)季度的數(shù)據(jù)當(dāng)樣本為第tttuxy(7.1.6) 443322ttttttuDDDxy四季度三季度二季度一季度 432ttttttttxyxyxyxy例題：美國制造業(yè)的利潤銷售額行為 模型： 利用19651970年六年的季度數(shù)據(jù)，得結(jié)果： 括號內(nèi)為t統(tǒng)計值。 顯然，三季

4、度和四季度與一季度差異并不明顯，重新回歸，僅考慮二季度，有結(jié)果：ttttttuDDD)(4433221銷售利潤(3.33) (0.28) (-0.445) (2.07) (3.9) )(0383. 086.1838 .21789.132238.6688432tttttDDD銷售利潤 (3.717) (2.7) (4.01) )(0393. 04 .131166.65412tttD銷售利潤 4、引用虛擬變量處理“時間拐點”問題。 常見的情況： a. 若T0為兩個時間段之間的某個拐點，虛擬變量為： b. 用虛擬變量表示某個特殊時期的影響； 模型中虛擬變量可放在截距項或斜率處。00T t, 0T t

5、, 1D2121, , 0, , 1TTtTTtD 5、分階段計酬問題。 若工作報酬與業(yè)務(wù)量掛鉤，且不同業(yè)務(wù)量提成比例不一樣（遞增），設(shè)S1、S2為二個指標臨界點 工資模型為： 22221211SS , 0S , 1 , SS,SS , 0SS S , 1SDD(7.1.7) )()()()(1 (223111222121110iiiiiiiiiiuSSDSSDSSDSSDDSI 作OLS得到參數(shù)估計值后，三個階段的報酬回歸模型為：2i23122101i212101i0 ),()( ),( ,111SSSSSSSISSSSSSISSSIiiiiii例子：傭金與銷售額的關(guān)系： 模型： 樣本回歸函

6、數(shù)：1,.X,:)(*211iiiiiiiiiDXXXYuDxxxY則若是銷售額基數(shù)值是銷售額是銷售傭金其中*21*21*11 )( xxxxxxxiiiiiY第二節(jié) 設(shè)定誤差 一、設(shè)定誤差的定義： 計量經(jīng)濟模型在建立模型時發(fā)生變量選擇或其它錯誤，導(dǎo)致OLS結(jié)果可能有問題。 二、設(shè)定誤差的類型及后果 一般的設(shè)定誤差包括：1、多設(shè)無必要的解釋變量；2、漏設(shè)重要的解釋變量；3、引入錯誤的解釋變量；4、錯誤的函數(shù)形式； 5、樣本數(shù)據(jù)發(fā)生偏差。具體形式及后果見下頁。 假設(shè)一正確模型為： 1、多設(shè)變量后，模型為： 為無關(guān)變量。 后果：OLS估計值仍是無偏估計，多設(shè)變量前的參數(shù)估計值均值為0。 2、漏設(shè)變

7、量后，假設(shè)少x1，模型為： 后果：OLS估計值不是無偏估計，失效。 3、設(shè)錯變量： 后果：參數(shù)的OLS估計值不是無偏的。（同2）iiiiiuxxxy3322110*43322110 , xuxxxxyiiiiiiiiiiuxxy33220uxxxy3322*10 4、錯誤的函數(shù)形式如： 5、樣本數(shù)據(jù)發(fā)生偏差時，可能有： 其中， 上述4、5二種類型因錯誤明顯，無法用OLS求參數(shù)估計值。 一般 討論1、2兩種設(shè)定誤差即可。 uxxxy3322110)log(*33*22*110*iiiiiuxxxy。, , ,32133*322*211*1*為測量誤差iiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxy

8、y第三節(jié) 滯后變量模型介紹 一、滯后變量及模型 經(jīng)濟活動中，有些因素的影響不僅體現(xiàn)在當(dāng)期，而且波及以后的時期。這種有滯后影響作用的因素構(gòu)成的變量即為滯后變量，而含有滯后變量的模型稱為滯后變量模型，分為有限滯后模型和無限滯后模型兩類。 二、產(chǎn)生滯后變量的可能原因：一類原因為心理因素，人的行為或經(jīng)濟活動所具有的慣性；另一類因素為客觀因素，包括技術(shù)因素和制度因素兩種。三、滯后變量模型面臨的問題 滯后變量模型若直接使用OLS，可能會出現(xiàn)一些問題： 1、多重共線性問題； 2、自由度損失問題； 3、滯后變量模型中，最大滯后程度或者說最大滯后期限較難確定。 由于上述原因，滯后變量模型一般會采用其它的估計方法

9、。四、滯后變量模型的類型 1、分布滯后模型。滯后變量僅為解釋變量，形式為： 2、自回歸模型。滯后變量為被解釋變量的滯后值，且被解釋變量的滯后值作為解釋變量用。形式為： 滯后變量模型常用的估計方法有Alt-Tinbergen方法、Almon估計法、Koyck方法等。tktktttuxxxy110tktkttttuyyyxy22110第四節(jié) 隨機解釋變量 一、隨機解釋變量：即解釋變量為隨機變量，違背了基本假設(shè)。實際的經(jīng)濟活動中，隨機解釋變量較為常見。 單方程線性計量經(jīng)濟學(xué)模型假設(shè)之一是： 即解釋變量與隨機項不相關(guān)。 這一假設(shè)實際是要求這一假設(shè)實際是要求： 或者X是確定性變量，不是隨機變量； 或者X

10、雖是隨機變量，但與隨機誤差項不相關(guān)。 違背這一假設(shè)設(shè)的問題被稱為隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題。0),(ijuxCov二、隨機解釋變量的成因： 1、滯后被解釋變量； 2、觀測誤差的存在，使得解釋變量的樣本值出現(xiàn)不確定性； 3、有些經(jīng)濟變量不能用確定性的方法控制樣本值，所以觀測值具有隨機性。三、隨機解釋變量 的三種后果 1、解釋變量是隨機的，但與隨機誤差變量不相關(guān)，即有： 因為OLS估計值為： 且有 YXXXBTT1NXBY . ,1仍為無偏估計BBNXXXEBBETT0)(NXET 2、解釋變量為隨機變量，小樣本情況下與隨機誤差變量相關(guān)，但漸近不相關(guān)，即： 此時 為B的漸近無偏估計。 3、解

11、釋變量是隨機變量，且與隨機誤差變量在任何情況下都高度相關(guān)，即有： 則OLS估計值 為B的有偏估計。B0limnuxPijinB0limnuxPijin強調(diào)：滯后被解釋變量作解釋變量，并且與隨機誤差項相關(guān) 如果模型中的隨機解釋變量是滯后被解釋變量，并且與隨機誤差項相關(guān)時，除了OLS法參數(shù)估計量是有偏外，還帶來兩個后果： 模型必然具有隨機誤差項的自相關(guān)性模型必然具有隨機誤差項的自相關(guān)性。因為該滯后被解釋變量與滯后隨機誤差項相關(guān)，又與當(dāng)期隨機誤差項相關(guān)。 D.W.D.W.檢驗失效檢驗失效。因為不管D.W.統(tǒng)計量的數(shù)值是多少，隨機誤差項的自相關(guān)性總是存在的。隨機解釋變量模型舉例：A A、耐用品存量調(diào)整

12、模型：、耐用品存量調(diào)整模型： 耐用品的存量Qt由前一個時期的存量Qt-1和當(dāng)期收入It共同決定：這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。 但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關(guān)性，那么隨機解釋變量Q t-1只與ut-1相關(guān)，與ut不相關(guān)，屬于上述的第1種情況。TtuQIQtttt, 2 , 1 ,1210B、合理預(yù)期的消費函數(shù)模型 合理預(yù)期理論合理預(yù)期理論認為消費是由對收入的預(yù)期所決定的，或者說消費是有計劃的，而這個計劃是根據(jù)對收入的預(yù)期制定的。于是有： 其中etY表示 t 期收入預(yù)期值。 而預(yù)期收入與實際收入之間存在差距，表現(xiàn)為： ettetYYY1)1 (ll該式是由合理預(yù)期理論給出的

13、。1110110tetttettuYCuYC 在該模型中，作為解釋變量的 不僅是一個隨機解釋變量，而且與模型的隨機誤差項 高度相關(guān)（因為Ct-1與ut-1高度相關(guān)）。屬于上述第3種情況。存量調(diào)整模型存量調(diào)整模型和合理預(yù)期模型合理預(yù)期模型都是較有代表性的滯后變量模型。1tC 容易推得：1110101101110)1 ()1 ()()1 ()1 (tttttttttttetttuuCYCuuCYCuYYCllllllll1ttuul第五節(jié) 時間序列模型初步 時間序列模型：所謂時間序列，就是各種社會、經(jīng)濟、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標按照時間序列排列起來的經(jīng)計數(shù)據(jù)。所謂時間序列分析模型，就是揭示時間序列自身的

14、變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達式（李子奈）。時間序列模型分確定性模型和隨機模型兩大類。 我們主要介紹隨機模型和序列穩(wěn)定性檢驗。1 1、時間序列模型的基本概念、時間序列模型的基本概念 隨機時間序列模型（隨機時間序列模型（time series modeling）是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起來的模型，其一般形式為建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題： (1)模型的具體形式模型的具體形式 (2)時序變量的滯后期時序變量的滯后期 (3)隨機擾動項的結(jié)構(gòu)隨機擾動項的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（ t =t），模型將是一個1階

15、自回歸過程階自回歸過程AR(1)： Xt=Xt-1+ t這里， t特指一白噪聲特指一白噪聲( (零均值、等方差、不相關(guān)）零均值、等方差、不相關(guān)），ttttXXFX,212, 0Nt 一般的p階自回歸過程階自回歸過程AR(p)是 (1)如果隨機擾動項是一個白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純純AR(p)過程（過程（pure AR(p) process），記為 (2)如果t不是一個白噪聲，通常認為它是一個q階的移動平均（移動平均（moving average）過程）過程MA(q)：該式給出了一個純純MA(q)過程（過程（pure MA(p) process）。 tPtPtttXXXX2211qtq

16、tttt2211tPtPtttXXXX2211 將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個一般的自回歸移動自回歸移動平均（平均（autoreg ressive moving average）過程）過程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式表明：該式表明：（1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，

17、那么我們就可以通過該序列過去的行為那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測未來。來預(yù)測未來。 這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。滯后算子（滯后算子（lag operator ）L： 考慮p階自回歸模型AR(p) (*) 引入滯后算子（滯后算子（lag operator ）L，具有，具有： (*)式變換為：記 (*)式又變換為：ttLX)(1tPtPtttXXXX2211PttPttttXXLXXLXLX,221ttPPXLLL2211PPLLLL2211)(對于移動平均模型MR(q)： 其中t是一個白噪聲，引入L有：qtqtttt22111221 ),1 (ttqqttLLLL記則有：

18、qqLLLL2211 ttLttLXL)()( 經(jīng)典回歸模型的問題：經(jīng)典回歸模型的問題： 迄今為止，迄今為止，對一個時間序列Xt的變動進行解釋或預(yù)測，是通過某個單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（結(jié)構(gòu)式模型（structural model）。 然而，然而，如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能，因為要取得相應(yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。 有時，有時，即使能估計出一個較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對某些解釋變

19、量未來值的預(yù)測本身就非常困難，甚至比預(yù)測被解釋變量的未來值更困難，這時因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測技術(shù)就不適用了。2 2、時間序列分析模型的適用性、時間序列分析模型的適用性 例如例如，時間序列過去是否有明顯的增長趨勢時間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長趨勢在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認為它也會在未來的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時間序列顯示出循環(huán)周期性行為時間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ 隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預(yù)測未來的變化趨勢去的變化特征來預(yù)測未來的變化趨勢。 使用時間序列分析

20、模型的另一個原因在于使用時間序列分析模型的另一個原因在于： 如果經(jīng)濟理論正確地闡釋了現(xiàn)實經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。 在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測途徑在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測途徑：通過時間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進而對時間序列未來行為進行推斷。二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 假定某個時間序列是由某一隨機過程假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochastic process）生成的，即假定時間序列）生成的，即假定時間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布）的每一個數(shù)值都

21、是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：中隨機得到，如果滿足下列條件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差）協(xié)方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt t+k+k)=)= k k 是是只與時期間隔只與時期間隔k有關(guān)，有關(guān)，與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機時間序列是則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的平穩(wěn)的（stationary)，而該，而該隨機過程是一隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（平穩(wěn)隨機過程（stationary s

22、tochastic process）。）。 1、平穩(wěn)的定義平穩(wěn)的定義 例例1一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列： Xt=t ， tN(0,2) 例例2另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走隨機游走（random walk），該序列由如下隨機過程生成： Xt=Xt-1+t這里， t是一個白噪聲。該序列常被稱為是一個白噪聲（白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。 為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X X

23、t t=X=X0 0+ +1+2+ +t 由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t2 即即Xt的方差與時間的方差與時間t t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。列。 容易知道該序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 然而，對X取一階差分一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列 是平穩(wěn)的。 后面將會看到后面將會看到: :如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。 事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為事

24、實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回階自回歸歸AR(1)過程的特例過程的特例 X Xt t= = X Xt-1t-1+ +t 不難驗證不難驗證:1)| |1|1時，該隨機過程生成的時間序列是時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升( 1)1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( -1)11或或 =1=1時，時間序時，時間序列是非平穩(wěn)的列是非平穩(wěn)的; ; 對應(yīng)于（*）式，則是 00或或 =0 =0，時間序列是非，時間序列是非平穩(wěn)的平穩(wěn)的; ;。 tttXX1tttXX1 在式在式 中。中。零假設(shè)零假設(shè) ；備擇假設(shè)備擇假設(shè) 上述檢驗可通過上述檢驗可通過OLS法下的法下的t

25、檢驗完成。檢驗完成。 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗無法使用。 tttXX10:0H0:1H 表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的

26、分布（這時的t統(tǒng)計量稱為 統(tǒng)計量統(tǒng)計量），即DF分布分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過OLS法估計 并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設(shè)臨界值，則拒絕零假設(shè)H0： =0，認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。果是相同的。例如：例如：“如果計算得到的如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于臨統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕界值的絕對值，則拒絕

27、=0”的假設(shè)，原序列不的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。存在單位根，為平穩(wěn)序列。tttXX1DF檢驗假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自檢驗假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程回歸過程AR(1)生成的。生成的。 但在實際檢驗中但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗無效。 另外另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間

28、變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗中的自相關(guān)隨自相關(guān)隨機誤差項問題機誤差項問題。 為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗）檢驗。 2 2、ADFADF檢驗檢驗ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：檢驗是通過下面三個模型完成的： 模型模型3 3 中的中的t t是時間變量是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。 檢驗的假設(shè)都是：針對檢驗的假設(shè)都是：針對H1: H1: 0500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222