信號(hào)抽樣與抽樣定理

1、.1.2信號(hào)信號(hào)抽樣抽樣也稱(chēng)為也稱(chēng)為取樣取樣或或采樣采樣，是利用抽樣脈沖序列，是利用抽樣脈沖序列 p (t) 從連續(xù)信號(hào)從連續(xù)信號(hào) f (t) 中抽取一系列的離散樣值，通過(guò)抽樣過(guò)程得到的離散樣值信號(hào)中抽取一系列的離散樣值，通過(guò)抽樣過(guò)程得到的離散樣值信號(hào)稱(chēng)為稱(chēng)為抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)，用，用 fs (t) 表示。表示。一、信號(hào)抽樣 .3抽樣的原理方框圖抽樣的原理方框圖:一、信號(hào)抽樣 連續(xù)信號(hào)經(jīng)抽樣后變成抽樣信號(hào)，往往還需要再經(jīng)量連續(xù)信號(hào)經(jīng)抽樣后變成抽樣信號(hào)，往往還需要再經(jīng)量化、編碼等步驟變成數(shù)字信號(hào)。這種數(shù)字信號(hào)經(jīng)傳輸、化、編碼等步驟變成數(shù)字信號(hào)。這種數(shù)字信號(hào)經(jīng)傳輸、處理等步驟后，再經(jīng)過(guò)上述過(guò)程的逆過(guò)

2、程就可恢復(fù)原處理等步驟后，再經(jīng)過(guò)上述過(guò)程的逆過(guò)程就可恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。連續(xù)信號(hào)。周期周期信號(hào)信號(hào)需要解決兩個(gè)問(wèn)題：需要解決兩個(gè)問(wèn)題：抽樣信號(hào)抽樣信號(hào) fs (t)的頻譜的頻譜Fs()與原連續(xù)信號(hào)與原連續(xù)信號(hào) f (t)的頻譜的頻譜F()的的關(guān)系關(guān)系；1.2. 在什么條件下可從抽樣信號(hào)在什么條件下可從抽樣信號(hào) fs (t)中中無(wú)失真地恢復(fù)無(wú)失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)原連續(xù)信號(hào) f (t) 。.4假設(shè)原連續(xù)信號(hào)假設(shè)原連續(xù)信號(hào) f (t)的頻譜為的頻譜為 F()，即，即抽樣脈沖抽樣脈沖 p (t) 是一個(gè)周期信號(hào)，它的頻譜為是一個(gè)周期信號(hào)，它的頻譜為一、信號(hào)抽樣 ( )( )f tF( )( )2()sjn

3、tnnsnnp tPePPn ssT2sTssTf11( )( )( )( )( )2 ( ( )()(snsnssnnf tf tp tFPFFPnPnF 所以抽樣信號(hào)的頻譜為所以抽樣信號(hào)的頻譜為其中，其中， 為為抽樣角頻率抽樣角頻率， 為為抽樣間隔抽樣間隔 ， 為為抽樣頻率抽樣頻率， 在時(shí)域抽樣（離散化）相當(dāng)于頻域周期化在時(shí)域抽樣（離散化）相當(dāng)于頻域周期化頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以抽樣角頻率為間隔譜以抽樣角頻率為間隔周期地延拓，頻譜幅度周期地延拓，頻譜幅度受抽樣脈沖序列的傅立受抽樣脈沖序列的傅立葉系數(shù)加權(quán)。葉系數(shù)加權(quán)。.5(1) 沖激抽樣沖激抽樣若抽樣脈沖是沖激序列，則這

4、種抽樣稱(chēng)為若抽樣脈沖是沖激序列，則這種抽樣稱(chēng)為沖激抽樣沖激抽樣或或理想抽樣理想抽樣。一、信號(hào)抽樣 sss( )()()np ttnTn ( )( )( )() ()sssnf tf tp tf nTtnT沖激序列的傅立葉系數(shù)為沖激序列的傅立葉系數(shù)為所以沖激抽樣信號(hào)的頻譜為所以沖激抽樣信號(hào)的頻譜為 sTTtnsnTttTPsss1de )(122j -T11( )( )( ) ()2ssnsFFFnT抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜 是以是以 s 為周期等為周期等幅地重復(fù)幅地重復(fù).6頻譜圖：頻譜圖：一、信號(hào)抽樣 .7(2) 周期矩形脈沖抽樣周期矩形脈沖抽樣若抽樣脈沖是周期矩形脈沖，則這種抽樣稱(chēng)為若抽

5、樣脈沖是周期矩形脈沖，則這種抽樣稱(chēng)為周期矩形脈沖抽樣周期矩形脈沖抽樣。也稱(chēng)。也稱(chēng)為為自然抽樣自然抽樣一、信號(hào)抽樣 ( )()snp tG tnT( )( )( )( )()ssnf tf tp tf t G tnT在矩形脈沖抽樣情況下，抽樣信號(hào)頻譜也是周期重復(fù)，但在重復(fù)過(guò)在矩形脈沖抽樣情況下，抽樣信號(hào)頻譜也是周期重復(fù)，但在重復(fù)過(guò)程中，程中，幅度不再是等幅的幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉系，而是受到周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉系數(shù)數(shù) 的加權(quán)。的加權(quán)。)2(SassnnTEP ( )Sa() ()2sssnsnEFFnT 周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為則抽樣信

6、號(hào)的頻譜為則抽樣信號(hào)的頻譜為 .8幅度不再是等幅，幅度不再是等幅，受到周期矩形脈沖受到周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉系數(shù)信號(hào)的傅立葉系數(shù) 的加權(quán)的加權(quán)一、信號(hào)抽樣 .9 如何從抽樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，以及在什么條件下才可以無(wú)失如何從抽樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，以及在什么條件下才可以無(wú)失真地由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。著名的抽樣定理對(duì)此作了明確而精真地由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。著名的抽樣定理對(duì)此作了明確而精辟的回答。辟的回答。 抽樣定理在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論、數(shù)字信號(hào)處理等方面占有十抽樣定理在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論、數(shù)字信號(hào)處理等方面占有十分重要的地位，該定理在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)和離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)、

7、分重要的地位，該定理在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)和離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)與系統(tǒng)之間架起了一座橋梁。該定理從理論上回答了為什么數(shù)字信號(hào)與系統(tǒng)之間架起了一座橋梁。該定理從理論上回答了為什么可以用數(shù)字信號(hào)處理手段解決連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)問(wèn)題?？梢杂脭?shù)字信號(hào)處理手段解決連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)問(wèn)題。二、時(shí)域抽樣定理 .10二、時(shí)域抽樣定理 時(shí)域抽樣定理：時(shí)域抽樣定理：一個(gè)頻譜受限的信號(hào)一個(gè)頻譜受限的信號(hào) f (t) ，如果頻譜只占據(jù)，如果頻譜只占據(jù) 的范圍，則信號(hào)的范圍，則信號(hào) f (t)可以用等間隔的抽樣值可以用等間隔的抽樣值 唯一地表示，只要抽唯一地表示，只要抽樣間隔樣間隔 不大于不大于 ，其中，其中 為信

8、號(hào)的最高頻率，為信號(hào)的最高頻率，或者說(shuō)，抽樣頻率或者說(shuō)，抽樣頻率 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件通常把滿(mǎn)足抽樣定理要求的最低抽樣頻率通常把滿(mǎn)足抽樣定理要求的最低抽樣頻率 稱(chēng)為稱(chēng)為奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率，把最大允許的抽樣間隔把最大允許的抽樣間隔 稱(chēng)為稱(chēng)為奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔 。mm,()sf nTsTmf21mfsfmsff2msff2mssffT211.11時(shí)域抽樣定理的圖解時(shí)域抽樣定理的圖解：假定信號(hào)：假定信號(hào) f (t)的頻譜只占據(jù)的頻譜只占據(jù) 的范圍，的范圍，若以間隔若以間隔 對(duì)對(duì) f (t)進(jìn)行抽樣，抽樣信號(hào)進(jìn)行抽樣，抽樣信號(hào) fs (t)的頻譜的頻譜 FS() 是以是以 S 為為周期重復(fù)，在

9、此情況下，只有滿(mǎn)足條件周期重復(fù)，在此情況下，只有滿(mǎn)足條件 各頻移的頻譜才不會(huì)各頻移的頻譜才不會(huì)相互重疊。這樣，抽樣信號(hào)相互重疊。這樣，抽樣信號(hào) fs (t) 保留了原連續(xù)信號(hào)保留了原連續(xù)信號(hào)f (t)的全部信息，完的全部信息，完全可以用全可以用 fs (t) 唯一地表示唯一地表示 f (t) ，或者說(shuō)，或者說(shuō)， f (t)完全可以由恢復(fù)出完全可以由恢復(fù)出 fs (t) 。二、時(shí)域抽樣定理 (,)mmsTms2如果如果 ，那么原連續(xù)信號(hào)頻譜在周期重復(fù)過(guò)程中，各頻移的頻，那么原連續(xù)信號(hào)頻譜在周期重復(fù)過(guò)程中，各頻移的頻譜將相互重疊，就不能從抽樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。頻譜重疊的這種譜將相互重疊，就不能

10、從抽樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。頻譜重疊的這種現(xiàn)象稱(chēng)為現(xiàn)象稱(chēng)為頻率混疊現(xiàn)象頻率混疊現(xiàn)象。ms2.12二、時(shí)域抽樣定理 ( )f t( )sf t( )sf t( )F( )sF( )sFmmmmmssTsT(a) 連續(xù)信號(hào)的頻譜(b) 高抽樣速率時(shí)抽樣信號(hào)的頻譜(c) 低抽樣速率時(shí)抽樣信號(hào)的頻譜及頻譜混疊000000tttsss.13 在滿(mǎn)足抽樣定理的條件下，可用一截止頻率為在滿(mǎn)足抽樣定理的條件下，可用一截止頻率為 的理想低通濾的理想低通濾波器，即可從抽樣信號(hào)波器，即可從抽樣信號(hào) fs(t) 中中無(wú)失真無(wú)失真恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào) f (t) 。三、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建 mc.14因?yàn)橐驗(yàn)樗?/p>

11、，選理想低通濾波器的頻率特性為所以，選理想低通濾波器的頻率特性為若選定若選定 ，則有，則有理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為若選若選 ，則，則而沖激抽樣信號(hào)為而沖激抽樣信號(hào)為三、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建 1( )()ssnsFFnT 0 )(sCCTHsmcm( )( )( )sFFH)()(tSaTthCCs2sccssT2( )( )( )( ) ()() ()ssssnnf tf tp tf ttnTf nTtnT.15則連續(xù)低通濾波器的輸出信號(hào)為則連續(xù)低通濾波器的輸出信號(hào)為說(shuō)明：說(shuō)明： （1）信號(hào)可以展開(kāi)成抽樣函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)的系數(shù)等于抽樣值；信號(hào)可以展開(kāi)成抽樣函數(shù)的

12、無(wú)窮級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)的系數(shù)等于抽樣值； （2）若在抽樣信號(hào)的每個(gè)樣點(diǎn)處，畫(huà)出一個(gè)峰值為若在抽樣信號(hào)的每個(gè)樣點(diǎn)處，畫(huà)出一個(gè)峰值為 的的Sa函數(shù)波形，函數(shù)波形，那么其合成信號(hào)就是原連續(xù)信號(hào)；那么其合成信號(hào)就是原連續(xù)信號(hào)；結(jié)論：結(jié)論：只要已知各抽樣值，就能唯一地確定出原信號(hào)。只要已知各抽樣值，就能唯一地確定出原信號(hào)。三、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建 ( )( )() ()()()( )(CssssCsCnnsf th tf nTtnTTSf tf natT SatnT()sf nT.16注意：注意：在實(shí)際工程中要做到完全不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)是不可能的。在實(shí)際工程中要做到完全不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)是不可能的。三、

13、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建 .17假設(shè)連續(xù)頻譜函數(shù)為假設(shè)連續(xù)頻譜函數(shù)為F() ，抽樣頻譜函數(shù)為，抽樣頻譜函數(shù)為FS() ,即在頻域抽樣有即在頻域抽樣有假設(shè)假設(shè) FS() 對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)為對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)為 fs (t) ，則有，則有 四、頻域抽樣與頻域抽樣定理 ( )( ) ()() ()ssssnnFFnF nn 1( )()ssnsf tf tnT說(shuō)明：說(shuō)明：信號(hào)在頻率域抽樣（離散化）等效于在時(shí)間域周期化。信號(hào)在頻率域抽樣（離散化）等效于在時(shí)間域周期化。頻域抽樣定理頻域抽樣定理：頻域抽樣定理表明，一個(gè)時(shí)間受限的信號(hào)：頻域抽樣定理表明，一個(gè)時(shí)間受限的信號(hào) f (t) ，如果時(shí)間，如果時(shí)間只占據(jù)只占據(jù)

14、的范圍，則信號(hào)的范圍，則信號(hào) f (t)可以用等間隔的頻率抽樣值可以用等間隔的頻率抽樣值 唯一地表示，抽樣間隔為唯一地表示，抽樣間隔為 ，它必須滿(mǎn)足條件，它必須滿(mǎn)足條件 ，其中，其中(,)mmtt()sF nsmstT22ssT .18例：例： 大致畫(huà)出圖所示周期矩形信號(hào)沖激抽樣后信號(hào)的頻譜。大致畫(huà)出圖所示周期矩形信號(hào)沖激抽樣后信號(hào)的頻譜。四、頻域抽樣與頻域抽樣定理 .19解：解：信號(hào)在時(shí)域抽樣、周期化過(guò)程中頻譜的變化規(guī)律：信號(hào)在時(shí)域抽樣、周期化過(guò)程中頻譜的變化規(guī)律：（1）信號(hào)在）信號(hào)在時(shí)域周期化時(shí)域周期化，周期為，周期為 T ，則，則頻譜離散化頻譜離散化， 抽樣間隔為抽樣間隔為 02/T。（2）信號(hào)在）信號(hào)在時(shí)域抽樣時(shí)域抽樣，抽樣間隔為，抽樣間隔為 TS ，則，則頻譜周期化頻譜周期化， 重復(fù)周期為重復(fù)周期為 S2/TS 。四、頻域抽樣與頻域抽樣定理 .20矩形單脈沖信號(hào)的頻譜矩形