關(guān)注數(shù)學(xué)表達(dá)促進(jìn)有效教學(xué)

1、立足平凡，享受超越立足平凡，享受超越引言：數(shù)學(xué)思維之?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)引言：數(shù)學(xué)思維之?dāng)?shù)學(xué)表達(dá) 數(shù)學(xué)思維三個(gè)環(huán)節(jié)：視域、表達(dá)、理解； 米山國(guó)藏：數(shù)學(xué)是“人類(lèi)思想表達(dá)的經(jīng)濟(jì)化”數(shù)學(xué)精神、思想與方法； 張景中：提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，重視數(shù)學(xué)思維； 斯托利亞爾：數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)；（數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞） 黑格爾：越是熟悉的東西，越是不知道的東西?。ㄒ话愕?、顯然、不難得到-）。的二項(xiàng)展開(kāi)式的第三項(xiàng)）例如：寫(xiě)出（51x 一一.數(shù)學(xué)的表達(dá)方式數(shù)學(xué)的表達(dá)方式 界定視域在討論問(wèn)題時(shí)，習(xí)慣于確定性思考，強(qiáng)調(diào)定義，強(qiáng)調(diào)問(wèn)題存在的條件。這是數(shù)學(xué)活動(dòng)的表達(dá)方式之一。 推理表達(dá)合情推理與演繹推理。日常語(yǔ)言與數(shù)學(xué)特有的符號(hào)

2、語(yǔ)言是其主要的表達(dá)形式，在表達(dá)中既是內(nèi)在的也外在的。 表達(dá)中介指數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)推理發(fā)展序列的中間環(huán)節(jié)，表達(dá)的是數(shù)學(xué)思維不同階段的過(guò)渡。如：一般地、顯然、不難得到等等。三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋 1.一般地(綜上、一般的-） 表達(dá)功能：用于數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的概括性提示.“一般地”是合情推理由具體到抽象、特殊到一般的特征性表述. 教學(xué)思考：“一般地”常常在數(shù)學(xué)定義的描述中呈現(xiàn).教學(xué)重點(diǎn)不是定義，而是數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，是數(shù)學(xué)對(duì)象的“不變性”概括性表述. 既然是“一般地”，還要關(guān)注“概括”中的“不一般”的.三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋 2.當(dāng) 表達(dá)功能：用于表述數(shù)

3、學(xué)的特稱(chēng)命題，常用于數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論. 教學(xué)思考：用“當(dāng)”表述數(shù)學(xué)推理，一般用于問(wèn)題的分類(lèi)處理，那么尋求分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的重點(diǎn).尋求“標(biāo)準(zhǔn)”的過(guò)程是合情推理的過(guò)程.教學(xué)的難點(diǎn)是演繹推理過(guò)程中“標(biāo)準(zhǔn)”的同一性與清晰性.例例4.三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋 3.不難發(fā)現(xiàn) 表達(dá)功能：用于數(shù)學(xué)直觀推理、直觀猜想. 教學(xué)思考：“不難發(fā)現(xiàn)”常用于幾何直觀、數(shù)列猜想.雖然表達(dá)的內(nèi)容比較淺顯，但不是對(duì)所有的學(xué)生都感到“自明性”，要問(wèn)“可靠嗎？”理性判斷是必須的. 例如，根據(jù)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，就要追問(wèn)可靠性.三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋 4.任?。ㄒ粋€(gè)點(diǎn)、一個(gè)

4、值-） 表達(dá)功能：處于數(shù)學(xué)推理過(guò)程中的變項(xiàng)的確定性表達(dá).這種表達(dá)呈現(xiàn)的是數(shù)學(xué)推理的簡(jiǎn)約性. 教學(xué)思考：教學(xué)的困難在于“任取-”的必要性與必然性的揭示.“任取-”是思維過(guò)程的濃縮、是變化性的確定性把握、是無(wú)限性與有限性的辯證統(tǒng)一.數(shù)學(xué)的魅力就在于通過(guò)變項(xiàng)的設(shè)定，有效地“控制”事物無(wú)限的變化.三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋 5.當(dāng)且僅當(dāng)- 表達(dá)功能：邏輯用語(yǔ)，表達(dá)充要條件. 教學(xué)思考：“當(dāng)且僅當(dāng)”表述的命題其原命題與逆命題均為正確的，一般均需要證明，不可顧此失彼. 數(shù)學(xué)定義“當(dāng)且僅當(dāng)”是幕后的； 數(shù)學(xué)定理“當(dāng)且僅當(dāng)”是前臺(tái)的.三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋

5、6.設(shè)x=- 表達(dá)功能：變量代換. 教學(xué)思考：變量代換是一種思維的轉(zhuǎn)化機(jī)制. 換元法、整體代換、構(gòu)造性. 等價(jià)性是基礎(chǔ). 本質(zhì)上是建立新的一種映射. 代換來(lái)自合情推理.演繹推理要滿(mǎn)足同一性.三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋 7.不妨設(shè)- 表達(dá)功能：表達(dá)命題的等價(jià)化歸與轉(zhuǎn)換. 教學(xué)思考：“不妨設(shè)”不是心血來(lái)潮，而是演繹推理前的合情推理的結(jié)果. 教學(xué)的重點(diǎn)是“不妨設(shè)”的前思維過(guò)程，重在分析問(wèn)題的等價(jià)性特征，形成預(yù)期的等價(jià)性命題. 問(wèn)題：教師簡(jiǎn)單化處理，學(xué)生冷漠性對(duì)待.三三.數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)基本“表達(dá)中介表達(dá)中介”詮釋詮釋 8.顯然- 表達(dá)功能：表達(dá)思維的直覺(jué)或者簡(jiǎn)單的推理，或者通常認(rèn)為熟知的數(shù)學(xué)結(jié)論. 教學(xué)思考：“顯然”的內(nèi)容具有反思與領(lǐng)悟的空間，也具有非常大的迷惑性. “顯然”不同群體在認(rèn)識(shí)上具有相對(duì)性. “顯然”也是一部分教師回避問(wèn)題的“殺手锏”.主題延伸主題延伸發(fā)現(xiàn)感發(fā)現(xiàn)感 數(shù)學(xué)活動(dòng)需要經(jīng)驗(yàn)。好的經(jīng)驗(yàn)其價(jià)值在于滲透到未知的、未經(jīng)驗(yàn)到的東西中去。 演繹推理關(guān)注封閉的數(shù)學(xué)事實(shí)，我們的數(shù)學(xué)活動(dòng)則是在發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)中渡過(guò)的。一當(dāng)我們失去了發(fā)現(xiàn)感，我們的心靈就會(huì)失去數(shù)學(xué)思維的鮮活方式。 善于發(fā)現(xiàn)才能克服思維定勢(shì)，才能使我們的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)不至于沉落成協(xié)調(diào)的雕蟲(chóng)小技的枯燥積累。結(jié)束語(yǔ)：結(jié)束語(yǔ)：體驗(yàn)平凡的力量，享有