隨機(jī)過程考試真題

1、1、設(shè) 隨 機(jī) 過 程 X(t) R t C ， t (0, ) ， C 為 常 數(shù) ， R 服 從 0, 1 區(qū) 間 上 的 均 勻 分 布 。( 1)求X (t ) 的一維概率密度和一維分布函數(shù)；( 2)求X (t ) 的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。2、設(shè)W (t), t 是參數(shù)為2的維納過程，R N (1,4) 是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對(duì)任意的t , W(t)與R均獨(dú)立。令 X(t) W(t) R,求隨機(jī)過程X (t), t 的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。3、設(shè)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，平均每小時(shí)有180 人，即180 ；且每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為s 的指數(shù)分布。求一

2、天內(nèi)(8 個(gè)小時(shí))商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：( 1)求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P ( 2) 及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2 的概率。( 2)求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。5 設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I 1,2,3,4,5 ，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。6、設(shè)N(t),t 0 是參數(shù)為的泊松過程，計(jì)算E N(t)N(t s) 。7、考慮一個(gè)從底層啟動(dòng)上升的電梯。以N i 記在 i 第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定N i 相互獨(dú)立，且Ni 是均值為i的泊松變量。在第i層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率pj在第j層離開電梯，,pj1。令

3、Oj =在第 j 層離開電梯的人數(shù)。( 1 )計(jì)算E(O j )(2) Oj的分布是什么(3) Oj與Ok的聯(lián)合分布是什么8、一質(zhì)點(diǎn)在1， 2， 3 點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻t 質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在t,t h) 內(nèi)，它都以概率 h o(h) 分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率pi j (t)及平穩(wěn)分布。1 有隨機(jī)過程(t)，-<t<和(t)，- <t< ，設(shè)(t)=A sin(t+)，(t)=B sin(t+ ), 其中A，B，為實(shí)常數(shù)，均勻分布于0， 2 ，試求R (s,t)2( 15 分)隨機(jī)過程(t)=Acos( t+

4、)， - <t <+ ，其中 A, , 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2,DA=4,是在-5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，是在-,上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。3某商店顧客的到來(lái)服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9: 00開門，試求：(1)在開門半小時(shí)中，無(wú)顧客到來(lái)的概率；( 2)若已知開門半小時(shí)中無(wú)顧客到來(lái)，那么在未來(lái)半小時(shí)中，仍無(wú)顧客到來(lái)的概率。4 設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)(按一個(gè)月計(jì))可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷(用1 表示)、正常(用2 表示)、暢銷(用 3 表示)。若經(jīng)過對(duì)歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化(從這月到下月)與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)，

5、且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pj (pj表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)j的概率)，一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：試對(duì)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。5 設(shè) X(t ), t 0是獨(dú)立增量過程, 且 X(0)=0, 證明X(t ), t 0是一個(gè)馬爾科夫過程。6設(shè) N(t),t 0 是強(qiáng)度為的泊松過程，Yk,k=1,2, L 是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與 N(t),t 0 獨(dú)N(t)立，令 X(t)=Yk,t 0，證明：若E(Y12< )，則 E X(t) tE Y1k=17 . 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無(wú)關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無(wú)雨明天有雨的概率為；規(guī)

6、定有雨天氣為狀態(tài)0，無(wú)雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 設(shè) t , t 是平穩(wěn)過程，令t t cos 0t , t ，其中 0是常數(shù)，為均勻分布在0,2 上的隨機(jī)變量，且t , t 與 相互獨(dú)立，R( )和 S( )分別是t,的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度，試證:(1) t,是平穩(wěn)過程，且相關(guān)函數(shù):【解答】本題可參加課本習(xí)題2.1及2.2題。 t, t的功率譜密度為：9已知隨機(jī)過程(t )的相關(guān)函數(shù)為：2R e，問該隨機(jī)過程(t)是否均方連續(xù)？是否均方可微?R服從0, 1區(qū)間上的均勻分布。1、設(shè)隨機(jī)過程X(t) r t c, t (Q ), C為常數(shù),(1)求X(

7、t)的一維概率密度和一維分布函數(shù);(2)求X(t)的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！纠碚摶A(chǔ)】(1)xF(x) f (t)dt ,則f(t)為密度函數(shù);(2)X(t)為(a,b)上的均勻分布，概率密度函數(shù)f (x)1一,a a0,其他F(x)0, x a,a a 1,xa bE(x)，D(x)(ba)212(3)參數(shù)為F(x)(4)F(x)的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)xe ,x 00,x 0E(x) ,D(x)(t)2f(x)xe ,x0,x 00,分布函數(shù)1E(x) D(x)12 ；2 ，的正態(tài)分布，概率密度函數(shù)x 2-e 2 dt, x ，若 0,f(x)(x )2 e 2 21時(shí)，其為標(biāo)準(zhǔn)

8、正態(tài)分布。(1)因R為0,1上的均勻分布，C為常數(shù)，故X(t)亦為均勻分布。由 R的取值范圍可知，X(t)為C,C t上的均勻分布，因此其一維概率密度f(wàn)(x)1,C x C t t0,其他維分布函數(shù)【解答】此題可參見課本習(xí)題3.10題。0,x C x CF(x) -p,C X Ct；1,x C t(2)根據(jù)相關(guān)定義，均值函數(shù)mX(t) EX (t) - C ；21C2相關(guān)函數(shù) RX(s,t)EX(s)X(t) -st (s t) C ;32協(xié)方差函數(shù) BX(s,t)E X(s) mX(s)X(t)stmX (t) 一(當(dāng)s t時(shí)為萬(wàn)差函數(shù))12【注】D(X) E(X2) E2(X)； BX(s

9、,t) RX(s,t) mX(s)mX(t)- - - 一 . . . ' . . . ' .求概率密度的通解公式 ft(x)f(y)|y(x)| f(y)/|x(y)|2、設(shè) W(t), t 是參數(shù)為 2的維納過程，RN(1,4)是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對(duì)任意的t ,W(t)與R均獨(dú)立。令X(t) W(t) R,求隨機(jī)過程 X(t), t 的均值函數(shù)、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。【解答】此題解法同1題。依題意，W(t)N(Q 2 |t |) , R N(1,4),因此X(t) W(t) R服從于正態(tài)分布。故：均值函數(shù)mX(t) EX(t) 1；相關(guān)函數(shù) RX(s,t) EX(s)X

10、(t) 5;協(xié)方差函數(shù) BX(s,t)E X(s) mX(s)X(t) mX(t)4 (當(dāng) s t 時(shí)為方差函數(shù))3、設(shè)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，平均每小時(shí)有180人，即 180;且每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為 s的指數(shù)分布。求一天內(nèi)(8個(gè)小時(shí))商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。由題意可知，每個(gè)顧客的消費(fèi)額Y是服從參數(shù)為s的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：E(Y) 1 ,D(Y) ，故E(Y2) 馬，則由復(fù)合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)期 sss望(8) 8 180 E(Y)；一天內(nèi)商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的方差X(8) 8 180 E(Y2)。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：(1)求兩

11、步轉(zhuǎn)移概率矩陣P及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。(2)求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。【解答】可參考教材例 4.3題及4.16題(1)兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣當(dāng)初始分布為 PX0 1 1, PX02 PX0 3 0 時(shí)，故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率為0.35。(2)因?yàn)轳R爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)，所以平穩(wěn)分布存在。得如下方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為5、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I 1,2,3,4,5,轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間?！窘獯稹看祟}比較綜合，可參加例 4.13題和4.16題(2)由上圖及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個(gè)，下面分別求其

12、平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。A、又G1常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為日XG 62常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為6、設(shè) N(t),t 0是參數(shù)為的泊松過程，計(jì)算 E N(t)N(t s)?！窘獯稹?、考慮一個(gè)從底層啟動(dòng)上升的電梯。以 Ni記在i第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定 Ni相互獨(dú)立，且 Ni是均值 為i的泊松變量。在第i層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率 pj在第j層離開電梯，,pj 1。令Oj = 在第j層離開電梯的人數(shù)。(1)計(jì)算 E(Oj)(2) Oj的分布是什么(3) Oj與Ok的聯(lián)合分布是什么【解答

13、】此題與本書聯(lián)系不大，據(jù)有關(guān)方面信息，此次考試此題不考。以Nj記在第i層乘上電梯，在第j層離去的人數(shù)，則 Nj是均值為i pj的泊松變量，且全部Nj(i 0, j i)相互獨(dú)立。因此： EOj E NjiPj(2)由泊松變量的性質(zhì)知，OjNj是均值為ipj的泊松變量ikk i(3)因 Oi與Ok獨(dú)立，則 P(OiOk) P(Oi)P(Ok) e ?ee 2 ,為期望。i!k!i!k!8、一質(zhì)點(diǎn)在1,2, 3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻 t質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在 t,t h)內(nèi)，它都以概率h o(h)分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。 試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率pi j (t)及平穩(wěn)

14、分布?！窘獯稹繀⒁娊滩牧?xí)題 5.2題依題意，由領(lǐng)0電1qj(ij)得，q0 1(i j),柯爾莫哥洛夫向前方程為Pj2pj(t)Pi,j i(t) p,ji(t),由于狀態(tài)空間I 1,2,3,故Pj Pi,j i Pi,j i1,所以Pj2Pj(t) 1 Pj (t)3Pj(t) 1,解上述一階線性微分方程得：2 tiPj(t) ce 33,由初始條件確定常數(shù)c ,得故其平穩(wěn)分布i、有隨機(jī)過程(t),-<t<和(t),-<t<,設(shè)(t)=A sin( t+ ),(t)=B sin(t+ ), 其中 A, B,為實(shí)常數(shù)，均勻分布于0, 2 ,試求R (s,t)1后,021

15、解：f20,其它2、隨機(jī)過程(t)=Acos( t+ ), - <t <+ ,其中A,是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2, DA=4, 是在-5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，是在-,上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析 的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。2、解：所以具有平穩(wěn)性。故均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。故相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。3、某商店顧客的到來(lái)服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店 9: 00開門，試求：（1）在開門半小時(shí)中，無(wú)顧客到來(lái)的概率;（2）若已知開門半小時(shí)中無(wú)顧客到來(lái)，那么在未來(lái)半小時(shí)中，仍無(wú)顧客到來(lái)的概率。3、解：設(shè)顧客到來(lái)過程為 N（t）, t>=0,依題意N是參數(shù)為

16、的Poisson過程。（1）在開門半小時(shí)中，無(wú)顧客到來(lái)的概率為： 一 1一 （2）在開門半小時(shí)中無(wú)顧客到來(lái)可表不為N -0 ,在未來(lái)半小時(shí)仍無(wú)顧客到來(lái)可表不為21 ，N 1 N -0 ,從而所求概率為：24、設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用 2表示）、暢銷（用3表示）。若經(jīng)過對(duì)歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為 pj （pj表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)j的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：試對(duì)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且p.>0,從而所有

17、狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是極限分布就是平穩(wěn)分布。設(shè)平穩(wěn)分布為= 1, 2, 3,求解方程組：=P, 1+ 2+ 3=1即：得：即極限分布為：,232323由計(jì)算結(jié)果可以看出：經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，正常銷售狀態(tài)的可能性最大，而暢銷狀態(tài)的可能性最小。5、試對(duì)以下列矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間進(jìn)行分解。0.700.3 000.1 0.8 0.100(1) P 0.400.600000.5 0.50000.5 0.51 01 23 30 05、6、一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，顧客按強(qiáng)度為的 Poisson 過程到達(dá)，系統(tǒng)內(nèi)只有一個(gè)服務(wù)員，并且服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，如果服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客，則顧客到達(dá)就開始服務(wù)，否則他就排隊(duì)。但是，如果系統(tǒng)內(nèi)有兩個(gè)顧客在排隊(duì)，他就離開而不返回。令表示服務(wù)系統(tǒng)中的顧客數(shù)目。( 1)寫出狀態(tài)空間；( 2)求