初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題

1、?二次函數(shù)?知識點總結(jié)一. 二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù).這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項二. 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)表達(dá)式 (a0)a值圖像開口 方向?qū)ΨQ軸頂點 坐標(biāo)增減性最值y=ax2a0向上y軸0，0當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小當(dāng)x=0時，y有最小值，即=0a0向下y軸0，0當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大當(dāng)x=0時，

2、y有最大值，即=0y=ax2+ka0向上y軸0，k當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小當(dāng)x=0時，y有最小值，即=ka0向下y軸0，k當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大當(dāng)x=0時，y有最大值，即=ky=a(x-h)2a0向上直線x=hh，0當(dāng)xh時，y隨x的增大而增大當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小當(dāng)x=h時，y有最小值，即=0a0向下直線x=hh，0當(dāng)xh時，y隨x的增大而減小當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大當(dāng)x=h時，y有最大值，即=0y=a(x-h)2+ka0向上直線x=hh，k當(dāng)xh時，y隨x的增大而增大當(dāng)xh時，y隨x的增大而減小當(dāng)x=h時，y有最小

3、值，即=ka0向下直線x=hh，k當(dāng)xh時，y隨x的增大而減小當(dāng)xh時，y隨x的增大而增大當(dāng)x=h時，y有最大值，即=ky=ax2+bx+c可化為：y=a(x+2+a0向上直線x=-，當(dāng)x-時，y隨x的增大而增大當(dāng)x-時，y隨x的增大而減小當(dāng)x=-時，y有最小值，=a0向下直線x=-，當(dāng)x-時，y隨x的增大而減小當(dāng)x-時，y隨x的增大而增大當(dāng)x=-時，y有最大值，即y最大值=三. 二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移

4、概括成八個字“左加右減自變量，上加下減常數(shù)項 溫馨提示 二次函數(shù)圖像間的平移可看作是頂點間的平移，因此只要掌握了頂點是如何平移的，就掌握了二次函數(shù)圖像間的平移. 四.二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五二次函數(shù)解析式的三種表示方法名稱解析式使用范圍一般式任意三個點頂點式頂點h，k及另一點交點式與x軸的兩個交點及另一個點溫馨提示 任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化，將頂點式、交點式去括號、合并同類項就

5、可轉(zhuǎn)化為一般式，把一般式配方、因式分解就可轉(zhuǎn)化為頂點式、交點式. 六二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù)【a決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線開口的大小】 當(dāng)時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，a的值越小，開口越大； 當(dāng)時，拋物線開口向下，的值越大，開口越大，的值越大，開口越大 注：|a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線開口越大 拋物線的形狀相同，即|a|相同.2. 一次項系數(shù)【由a和對稱軸共同決定】 對稱軸在y軸的左側(cè)，a，b同號；對稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號.左同右異 b為0時，對稱軸為y軸 3. 常數(shù)項 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點

6、的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置七二次函數(shù)圖象拋物線與x軸交點情況的判斷： yax2+bx+c a0，a、b、c都是常數(shù) 1.=b²-4ac0拋物線與x軸有兩個交點 2.=b²-4ac=0拋物線與x軸有一個交點 3.=b²-4ac0拋物線與x軸沒有交點 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 八.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的解之間的關(guān)系：1.二次函數(shù)yax

7、2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函數(shù)圖象可求以x為未知數(shù)的一元二次方程ax2+bx+c0的解從圖象上進行判斷.2.二次函數(shù)yax2+bx+c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax2+bx+c0的解；在x軸下方的圖象上的點的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax2+bx+c0的解. 九.二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用二次函數(shù)拋物線簡單的圖形變換1頂點式【a0】名稱a頂點h，k平移a(h， k) 左加右減 上加下減對稱關(guān)于x軸對稱-a(h，-k)關(guān)于y軸對稱a(-h，k)關(guān)于原點對稱-a(-h，-k)旋轉(zhuǎn)繞頂點旋轉(zhuǎn)180°-a(h，k)

8、2一般式【a0】平移：如將二次函數(shù)向右平移m(m0)個單位，再向下平移nn0個單位，得到對稱名稱a、b、c的變化解析式變化關(guān)于x軸對稱a-a; b-b; c-cy=ax²+bx+cy=-ax²-bx-c關(guān)于y軸對稱a不變；b-b；c不變y=ax²+bx+cy=ax²-bx+c關(guān)于原點對稱a-a；b不變；c-cy=ax²+bx+cy=-ax²+bx-c注：無論是平移、軸對稱還是旋轉(zhuǎn)，最好先把二次函數(shù)化成頂點式，然后再根據(jù)需要進行求解. 二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一.選擇題1.二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是( )A.(2,11) B.2，7 C.2，11

9、 D. 2，32.把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是 A. B. C. D.3.函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的( )4.二次函數(shù)的圖象如下列圖,那么以下結(jié)論: a,b同號;當(dāng)和時,函數(shù)值相等;當(dāng)時, 的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個5.二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)-1，-3.2及局部圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別是 A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么點在 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的個數(shù)為 A.0個 B.1個 C.2個. 3

10、 個8.拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.那么這條拋物線的解析式為A. B. C. 或 D. 或二填空題9二次函數(shù)的對稱軸是，那么_.10拋物線y=-2x+3²+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_.11一個函數(shù)具有以下性質(zhì)：圖象過點1，2，當(dāng)x0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 只寫一個即可.12拋物線的頂點為C，直線過點C，那么這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 .13. 二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,那么b= ,c= .14如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高

11、度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是 (取3.14).三解答題：15.二次函數(shù)圖象的對稱軸是,圖象經(jīng)過(1,-6),且與軸的交點為(0,).(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?第15題圖(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大?16.某種爆竹點燃后，其上升高度h米和時間t秒符合關(guān)系式 0<t2，其中重力加速度g以10米/秒2計算這種爆竹點燃后以v0=20米/秒的初速度上升，1這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米？2在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說

12、明理由. 17.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.1求此拋物線的解析式；2點P為拋物線上的一個動點，求使：5 ：4的點P的坐標(biāo)。(3)點M為平面直角坐標(biāo)系上一點，寫出使點M、A、B、D為平行四邊形的點M的坐標(biāo)18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7. 5噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付

13、廠家及其它費用100元設(shè)每噸材料售價為x元，該經(jīng)銷店的月利潤為y元1當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；2求出y與x的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出x的取值范圍；3該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？4小靜說：“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大你認(rèn)為對嗎？請說明理由19.某商場試銷一種本錢為60元/件的T恤，規(guī)定試銷期間單價不低于本錢單價，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y件與銷售單價x元/件符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=70時，y=50；x=80時，y=40；1求出一次函數(shù)y=kx+b的解析式2假設(shè)該商場獲得利潤為w元，試寫出利潤w與銷售單價x之間的關(guān)系式，銷售單價定為多少

14、時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x分之間滿足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30). 1當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力逐步增強？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，學(xué)生的接受能力逐步減弱？2第10分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？3第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強？2.如圖,ABC是一等腰三角形鐵板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.假設(shè)在ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,點D、G分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少?3.銳角ABC中，邊BC長為12，高AD

15、長為8(1) 如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點K 求的值 設(shè)EHx，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值(2) 假設(shè)ABAC，正方形PQMN的兩個頂點在ABC一邊上，另兩個頂點分別在ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長4.如圖,ABC中,B=90°,AB=6cm,BC=12cm.點P從點A開始,沿AB邊向點B 以每秒1cm的速度移動;點Q從點B開始,沿著BC邊向點C以每秒2cm的速度移動.如果P,Q 同時出發(fā),問經(jīng)過幾秒鐘PBQ的面積最大?最大面積是多少?5.如圖,隧道的截面由拋物線AED和

16、矩形ABCD構(gòu)成,矩形的長BC為8m,寬AB為2m,以BC所在的直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.y軸是拋物線的對稱軸,頂點E到坐標(biāo)原點O的距離為6m.(1)求拋物線的解析式;(2)一輛貨運卡車高4.5m,寬2.4m,它能通過該隧道嗎?(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道,為了平安起見,在隧道正中間設(shè)有0.4m的隔離帶,那么該輛貨運卡車還能通過隧道嗎?【舉一反三】如圖,隧道的截面由圓弧AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的長BC為12m,寬AB為3m,隧道的頂端E(圓弧AED的中點)高出道路(BC)7m.求圓弧AED所在圓的半徑;如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道,現(xiàn)有一輛超高貨運卡車高6.5m,寬2

17、.3m,問這輛貨運卡車能否通過該隧道.6.如圖，一位運發(fā)動在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為2.5米時，到達(dá)最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.籃圈中心到地面的距離為3.05米.(1)建立如下列圖的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式;(2)該運發(fā)動身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少.7.如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為x m.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積

18、最大，雞場的長應(yīng)為多少m？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？8.某商場以每件20元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足關(guān)系：m=1402x.(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最適宜？最大銷售利潤為多少？ 二次函數(shù)專題復(fù)習(xí) 圖像特征與a、b、c、符號的關(guān)系1.二次函數(shù)，如下列圖，假設(shè)，那么它的圖象大致是 2.二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么點(ac，bc)在 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.二次函數(shù)的圖象如下，那么以下結(jié)論正確的選項是 A. B. C. D.4. 二次函數(shù)y=ax2+bx+ca0的圖象如下列圖，那么以下結(jié)論： a>0；c>0；b2-4ac>0，其中正確的個數(shù)是 A0個 B1個 C2個 D3個5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1，那么點Mb，在 A