放縮法技巧全總結(jié)

1、求證：k11 k2解析：(1)因?yàn)橐?n2(2)(2n為21)(2n 1)12n12n一所以1k 1 4k2 112n 12n2n 142-4n12n 112n 1放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而 充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而 成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往 往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn) 行恰當(dāng)?shù)胤趴s；具放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項(xiàng)放縮例1.(1)求一2一的值；(2)k 1 4k 1第15頁共31頁n 1k 1k212n 1奇巧積累

2、：(1)44n212 2n 1Tr 1(2)cn(n 1)n(n 1)1n(n 1)1 n(n1)(4)(1n!r !(n12nr)!22n 12n(21)(9)(2n1322( n 11n'l1) 21r (r 1)1n(n 1)1(r r2)- n)(2n(6)2(. n1)(8)1一 n3) 21k(n 1 k)(10)n(n 1)!n ! (n 1)!(11) 1 n2( 2n 1 2n 1)2n 1 2n 121 n2(11)2n(2n1)22n2n(2n1)(2n1)(2n1)(2n2)2n 1nn 1(2 1)(21)2n1丁 2)(12)111n3n n1 2 n(n

3、1)(n 1)11n(n 1) n(n 1)(13)2n2 2n(14)n 1(3 1) 2n 33(2n 1)2n2n2n 1 一312n2n 1 可k 2k! (k1)!(k2)!11(k 1)! (k 2) !(15)I.n n 1(n 2)n(n 1)1712- (n2)(2n1)26 2(2n 1)1112二4n24n(15)i2然成立的, 1 j2 1i2 j2i ji j(i j)( i21. j2 1) i2 1 j2 1例2.(1)求證：1 113252(2)求證：1 工 工4 16 3611 3求證：-2 2 4135(2n 1)0 1 12 4 6 2n(4)求證：2(

4、%n 11) 111231n2(. 2n 1 1)解 析 ：(1)因?yàn)?1111(2n 1)2(2n1)(2n 1)2 2n 1 2n 1(2)116136124n4(14) n1 , (1 14-) n(3)先運(yùn)用分式放縮法證明出13 5(2n 1)2 4 621,再結(jié)合 12n 1不而進(jìn)行裂項(xiàng)，最后1 1 1(11 1(11 (2i 1)22 3 2n 12 3 2n 1就可以得到答案(4)首先 1= 2( 7 n 1 Vn)_2_n. n 1, n所以容易經(jīng)過裂項(xiàng)得到2( . n 1 1) 1 23再也 1.2( 2n 1 2n 1)n2 22n 1 2n 12而由均值不等式知道這是顯所

5、以11_12、- 317n. 2( . 2n 1 1)例3.求證:6n 1(n 1)(2n 1)44n212n12n12n12n另一方面：141213-41 n(n1)所以綜上有例 4.(2008解析:則akkak 1因?yàn)?時(shí),2時(shí),6n時(shí),6n(n 1)(2n 1)(n 1)(2n 1)6n(n 1)( 2n1)6n 1 (n 1)(2n 1)年全國一卷)設(shè)函數(shù)f(x)(a1,1),整數(shù) k 2b.證明:由數(shù)學(xué)歸納法可以證明1 ak b,右amam lnakam1n15.(m要證b(maklnxln x.數(shù)列不ak 1b.a是遞增數(shù)列，故n滿足1. anf(an).若存在正整數(shù)k,使 amb

6、,k),則由0a1 ln amkak&m 1amk(a1lnb),于1)Sn知 n,mm 1(n 1)解析：首先可以證明：(1m 1m 1n (n 1)a1ama1 ln bam ln am ,、nx)(n 1)m(m 1)Sn (n 1)m 1a1nx(nk | a1 ln,m m122)m 11只要證:3m1ma1(ba1)0km 1 (kk 11)m 1所以km 1 (k 1)m 1k 1(m1) km (nk 11)m 1 1(n1)m 1 nm 1 nm 1 (n1)m 1?m 1 1m 1(k 1)m 1 km11故只要證km11 (k 1)m1(m 1) kkm1(k 1

7、)m 1 km 1 ,1即等價(jià)于(k1)m(mm1)k(k1)m 1km,即等價(jià)于(11,1(1 1)m而正是成立的，所以原命題成立.例6.已知an2n，Tn2na2,求證：TiT2anTn i析:T4142n434n(21222n)4(14n)2(1 2n)Tn43(42n1)7.2(12n)4n 12n34n 1"V2n22n 131)2(1 2n)3 2n47n3T2n2 (2n)232n 13 2 (2 2n從而T1 T2_1_4. x4 x51)(2_ 31)24 X2nX2n 14 (2n 1)(2n 1)因?yàn)?2 n n所以二、函數(shù)放縮Tnx11n(n n2k 1,k1

8、(n 2k,kZ)Z)ln22ln 33ln 441- J x2n x2 n144n2 114 x2nx22 (、n 11)( n N *)4 4n2ln28.求證：ln 3nV3nX34 X4 %ln3 ln41x2n x2 nln 3n3n5n 6,(nln xln x 1x1)(nN*)*N ).11111111111233n23456789533993n 13n 15n66918272 3n13n6所以ln 2ln3ln 4ln 3n3n 15n3n5n 62343n66In n例9.求證:2 In2，丁ln332n2(n2)解析：構(gòu)造函數(shù)f1 (x)lnx，得到xln nln n2

9、n,再進(jìn)行裂項(xiàng)嗎2 n1,求和后n(n 1)可以得到答案函數(shù)構(gòu)造形式：lnx x 1,lnn n 1(2) 11例10.求證：一2 3ln(n 1)12解析：提示：ln(n 1)lnn 1nlnn 1nInln2函數(shù)構(gòu)造形式：ln x x, ln x 1 1 x當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖，取函數(shù)f(x)1xn 首先: Sabcfn iXn1nlnx|nn iXln nln(n i)ln nln(n1)，所以有1ln 2， 3ln 3ln 2，ln nln(n1),1ln(n1)ln n,相加后可以得一 ln(n 11)另一方面sABDEn .工，從而有n ixlnx |ni ln n

10、ln(n i)取i 1有，, n 1ln n ln(n1)，ln(n 1)例11.求證：（11）（12）后即可證明例 12. 求 證1 ln(n 1) 1 -（1 -）e和（1 -）（1 ）（1 -4） je .解析：構(gòu)造函數(shù)n!9813(1 1 2) (1 2 3)1 n(n 1) e2n 3解lnn(n 1) 1n(n 1) 1疊加之后就可以得到答案函數(shù)構(gòu)造形ln3 ln445解析：構(gòu)造函數(shù)f（x）ln(x 1) (x 1) 1(x1）,求導(dǎo)，可以得到：,1f (x)1x 12 x,令 f (x) 0有 1 x 2,令 f(x) 0有 x 2,x 1所以 f (x) f (2)0 ,所以

11、ln(x 1) x 2令 x n2 122,有，ln n n 1所以JnE U,所以叵2強(qiáng)n 12341例 14.已知 a 1,an 1 (1 -)ann nln 4 ln n n(n 1) /(n5 n 141、 r2證明anen .N*, n 1)解析:an 11、111、)an(1 )an(n 1)2n n(n 1)2n11然后兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以得到lnan1ln（1 二）ln ann（n 1）2n然后運(yùn)用ln（1 x）x和裂項(xiàng)可以得到答案）3 / c、 1 ln(1 x) 3式：ln(x 1) 2 (x 0) (x 0)(加強(qiáng)命題)x 1x x 1lnn n(n 1) z-(n N*

12、, n 1)放縮思路：aa n 1(1ln an1-2 n n12nln(1是 ln an 1ln ann 1(ln ai 1i 1ln ai)1)ln a 2ln a112n少1TT2-12nn 14即 ln an ln a12注：題目所給條件ln(1 x) x2an e .方向的作用;當(dāng)然，本題還可用結(jié)論x2n0)為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮n(n1)(n 2)來放縮:an 1(11 n(nln(a1 1)ln(a1)an-1) n(n 1)11) ln(1an1(11 n(n_)(a1)1) nn 1ln(ai 1i 2即 ln(an 1)例 16.(2008 年n(n 1)

13、n1)ln(ailn3福a 0, b 0,證明：f (a) (a解析：設(shè)函數(shù)g(x) f(x)Q f (x)x ln x, g(x)k.Q g (x) ln令 g (x)1)i 21n(n 1)1an市i(i3e質(zhì)1)1ln(an1) ln(a21)b)ln2f(k x), (kx ln檢)f (a b)0)x) ln( k已知f(b).x),ln( kx)lnx k.f (x) xln x. 若一 、“，k 二函數(shù)g(x)在k,k)上單調(diào)遞增，在2 . . . k(0 k上單倜遞減. g(x)的取小值為g(),即總有' 22/.VgkT2/.Vgk - 2/.Vfk /.V fk-2

14、kk In k(ln k ln 2) f(k) kln2, 2即 f(x) f (k x) f (k) kln 2.令 x a,k x b,則 k a b.f (a) f(b) f(a b) (a b) ln 2.f (a) (a b)ln 2f (a b) f (b).例15.(2008 年廈門市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是在(0,)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若 x f'(x) f(x)在x 0上恒成立.(I) 求證：函數(shù)g(x) 也在(0,)上是增函數(shù)； x(II)當(dāng) x10,x201,證明：f(x1)f(x2)f(x1x2)；(III)已知不等式ln(1x) x在x1且x0時(shí)恒成立,求證：p

15、1n221212p1n32 fn42341 一2 1n(n(n 1)1)22(n 1)(n 2)*(n N ).在(0,)上是增函數(shù) xf (x1)f(x1 x2)x1x1 x2f(x1)x1f(x1 x2)x1 x2解析：(I) g'(x) f'(x)x/(x) 0,所以函數(shù) g(x)x(II) 因?yàn)間(x)fa在(0,)上是增函數(shù)，所以x£2f(x1 x , -2 1n 222f(x2)f(x1 x2)x2x1 x2為 x2兩式相加后可以得到f (x)f (x2)f(x x2)f(x1)f (x1x2xn)f(x1)x1x1xx2xnx1x2xnf(x2)f (x

16、1x2xn)f(x2)x2x2xx2xnx1x2xnf(xn)f (x1x2xn )f(xn)xnxnx1x2xnx1x2x nf (x1f 3f (Xx2x2x2xn)xn)相加后可以得到：f (x1)f(x2)f (xn)f(x1x2xn )x11nxx21nx?x31nx341nxnx2xn)1nMx2xJ1(1 n)2，有(n2-1n(n 1) 1)21 ,21n 3321 ,27 1n 4421(n 1)n1111,11122 1n 2-2223242 (n 1)22232(n 1)2111,11r7 1n 2232(n 1)22 13 22(n1)(n 2)所以1 ,八2 1n 2

17、221, c21n 3324121n4221n( n (n 1)21)22(n 1)(n 2)(n N).2(方法二)1n(n 1) (n 1)221n(n 1)(n 1)(n 2)1n 41 1n 4 (n 1)(n 2)n In 41ln4221所以分22(n 1)211ln(n 1)2 ln4 .2 n 22(n 2)In 411 n12ln 22 2212,ln 32 3212In 42 42(n三、分式放縮姐妹不等式：(1丐 ln(n 1)2m(b記憶口訣”小者小，大者大”19.2)(1解析:6) (1(2n 1)2n1)22(n 1)(n 2)*(n N ).0, m解釋(12n

18、12n 1利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)2n2n(12n2n1)22n1即（1例20.證明：（11)(17)(V四、分類放縮解析:運(yùn)用兩次次分式放縮3n 13n 23n 13n 2相乘，可以得到：所以有(14 7 103n 13n1)(1例21.求證:11 )(142n 1b0)和一 ab m /(a a mb 0, m0):看b,若b小，則不等號(hào)是小于號(hào)1 1)(13)(1也可以表示成為1)(1,反之.111)(12n 15 2n 12 4 6 2n1 3 5(2n 1)2n 1Bb a m2n 12n3)(1-)3 3n 23n3n 13n 110(13n5)0, m0）可得3n1.2n 12n(2

19、n 1)(12n 1). 2n 1.加1)加2)3n 13n 23n 1(3n 1)3n 2)3 3n 1.1 -1)33 )22第17頁共31頁(1段(2-1-n n221)-1 nn22例22.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，y軸正半軸上的點(diǎn)列a.與曲線y 百 (x>0)上的點(diǎn)列Bn滿足OAnOBn1 ,直線An Bn在x軸上的截距為an.點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為b0, n nan> an 1>4(2)證明有n° N ，n0都有b2bib3 b2bnbn 1bn1 <n bn2008.解析：(1)依題設(shè)有:1-An 0, Bnnbn,、溝,bn0，由 OBnQ2n2bn

20、 1bn2 2bnan 022n bnan(2). 2bn0,bnbn1 n., 2bn顯然，對(duì)于證明：設(shè)1n2bn1 n1 n2 2121ncn1-2 1 1,n N nn. 2bn1 2n2bnann2bnan 1,又直線ABn在x軸上的截距為an滿足1 nL 2a4,nbAnbn2 n122n 122 n 1Q 2n0,cn設(shè)Snc1c2 L則當(dāng)n1 k N* 時(shí)，第19頁共31頁1131412kr1L /112k-12222k所以，取240092,no都有:1b1b3b21 bn 1bnSn Sn°4017 122008故有b2 b1b3b2bnbn 1bn 1<n b

21、n2008成立。例23.已知函數(shù)f (x)bxc(b1,c R),若f(x)的定義域?yàn)?, 0,值域也為1, 0.若數(shù)列3滿足bnL(l(n N*)，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn ,問是否存在正常數(shù) n3A,使得對(duì)于任意正整數(shù) n都有Tn A ?并證明你的結(jié)論。解析：首先求出f(x)2x, bnf(n)3nn2 2n3nb2b3bn1,11-4 -88 212k12kn 2k時(shí)，Tn1,因此,對(duì)任何常數(shù) A,設(shè)m是不小于A的最小正整數(shù),則當(dāng)n 22m2時(shí)，必有T 2m 2 1 m A. n 2故不存在常數(shù)A使T1 IA對(duì)所有n 2的正整數(shù)恒成立例24.x設(shè)不等式組yy0,0, nx 3n表布的平

22、面區(qū)域?yàn)镈n，設(shè)工內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an.設(shè) S,2時(shí)，求an 1ana2n1a2n7n 1136解析：容易彳#到aln3n,所以，要證工a1a2a3a2n7n_J1只要證3612n7n 1112因?yàn)榈?1頁共31頁1 1S2n12(7 8)(二2nn-1 2n 1 2五、1 T o1t22迭代放縮172(n1)7n 11,所以原命題得證12例25.已知xnxnxn-,x11,求證：當(dāng)1n2時(shí)，| X 212 21ni 1例26.1S<1 n解析：通過迭代的方法得到設(shè)Snsin1!-2nsin 2!22xn 2sin n!2n解析：I Snsin(n 1)!2n又2n(1 1)n六、借

23、助數(shù)列遞推關(guān)系一 ，一 1例27.求證：-2解析：an2(n例28.a1a2所以SnIsin(n 1)!2n 1sin(n 2)!2nF)C0(2n 1)2nC1 nan1)an 1an 2(n解析：設(shè)anan 12n 1；an2(n 1)2(n 1)1 ,-*二下 ,然后相加就可以得到結(jié)論2 n ，求證：對(duì)任意的正整數(shù)k,若sin(n 2)!sin(n k)k> n 恒有：| S+k 2n 2sin(n k)|2n k1) 12k2nCnn n3 5(2n2 4 6 2n2n 1an2(n 1)1)2n k112n k所以|Sn k2n 22(n 1)an2nan,相加后就可以得到1)

24、an2(n1anSn11 2a12(n 1) 1 (2n,2n 3金一、.2n 2 12 4 6 2n1 3 5(2n 1)y2n 1 11)12n2nan2)an ,從2 4 6則2n1an 1(2n(2n 1)an2n1)anand 從而,相加后就可以得到第27頁共31頁an(2n1)an 1 3a1(2n1)1. 2n例 29.若 a11,anan1,求證：,1a1an2( n 1 1)解析:an 2 an 1an anan 1an 2anan 1ana2a1aa2ana1f2,Jan 1an七、分類討論例30.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足2an(1)n,n1.證明：對(duì)任意的整數(shù)m 4

25、 ,有-1a4a5解析：容易彳#到a 22n n 31)由于通項(xiàng)中含有1）二很難直接放縮,考慮分項(xiàng)討論:3且n為奇數(shù)時(shí)anan2(1-n 221-)2n1 122n2n 12n 12n 2 122n 33 ,2 (2S,（減項(xiàng)放縮），于當(dāng)4且m為偶數(shù)時(shí)1a4當(dāng)m 4且m為奇數(shù)時(shí)a5121(1a1m21彳）a512) a678(a) am（添項(xiàng)放縮）由知21ad a5a41a5ama5amam 1八、線性規(guī)劃型放縮例31.設(shè)函數(shù)f(x)最大值。amam 1由得證。1一 f (x) 122x 1x2 2由(f(x) 1)(f(1) 1)af (x)(x 2)2(x 1)22(x2 2)2知（f（x

26、）12)(f(1) 1)0由此再由f（x）的單調(diào)性可以知道 f（x）的最小值為1，最大值為12因此對(duì)一切R,3 af(x) b 3的充要條件是,1- a2a ba足約束條件bb1 a21-a2由線性規(guī)劃得, 九、均值不等式放縮例32.設(shè)Sna b的最大值為5.n(n1).求證n(n 1)Sn解析：此數(shù)列的通項(xiàng)為k . k(k 1)akk k2k(k 1),k12nkk 1,n.Sn(kk 1(n 1)2即 n(n 1) S-2n(n 1)n2 2(n 1)22注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式VOb ab,若放成 Jk(k 1) k 1 則得 sn 2n(k 1)k

27、 1(n 1)(n 3)2(n就放過“度” 了！根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式,1a1 aa nn1n-a-a 1 a n1,na n2a1n,這里a2其中，n2,3等的各式及其變式公式均可供選用。例33.已知函數(shù)f(x)F ,若 f (1) f ,且 f(x)在0, 251上的最小值為求證：f (1) f (2)f (n)解析：f(x)4x4x例 34.已(ab)n解析:ab1(12T)(1112n1.212?2(x0)f(1)f(n)(1匕)1；(112n1) n1n-7a,bbn22n2n 11 得 ab ab，又(a1 b)(- a1b)4,而(a b)n c0anC

28、1 . n 1.n a bbaC：an rbrC：bn,令 f (n) (ac 1 n 1f(n) = Cna b序相加得2f(n) =b)CnanrbrC； 1abn1i,因?yàn)閏；CnCn(an1babn1)C：(abrCn 1(abb)而 an1b abn1ab1b2 anbnn2 422n則 2f (n) = (CnCnrCn1)(arbrbr)(2n2)(arban rbr)(22) 2所以 f (n)(2n 2),即對(duì)每一個(gè)b)nbn 22n2n 1例35.求證CnCn解析：不等式左Cn3Cnn 121n1, nN)cnCn Cnn.1 2222n 1=n 2n nn-22n 122

29、2n例36.已知f(x)析：f(x1)f (X2)(eX11,原結(jié)論成立，求證:ff (2)f(3)f(n)/ n 1(eex1)(ex2ex2ex1X2ex1ex2ex2 ex1ex11ex2ex1X2經(jīng)過倒序相乘，就可以得到f(1)f(2)f(3)f(n)n 1(e例37.已知f (x)x -,求證：f xf(2) f(3)f(2n)2n(n1)n(k12n 1k)k(2n 1k)k2n 12n1,2,3,2n2n k(1k) 2n(k1)(2n k)k(2n所以(k1 ”2n12n 1-)2n 2 kf(1)f(2)f(3)f(2n)2f(1) f(2)f(3)f (2n)2n(n1)n

30、.k(2nk)2(2n1 k) 2k)2n(2n2)2n第33頁共31頁例38.若k 7 ,求證：Sn 1nk解析：2sl(1nnk彳)(n1 nk2)-) nx 0, y112 xy,一 x(x1 y)(-x-)y2Sn4n nkSn例39.已知4n(k 1)1 nk 2Snnk 32(k1)1n nk 12(k 1)nk 11nk 1f (x)a(xx，(xx2)，求證：f(0)f(1)16解析：f(0) f (1)a2x1(1x1) x2(1x2)16例40.已知函數(shù)f (x)= x2(-1)k - 2ln求證：f ' (x) n2n 1解析：由已知得，f (x)x(kC N*)

31、 .k f ' (xn) >22x -(x xn(2 n- 2).0)當(dāng)n=1時(shí)，左式二(2x2) x(2x -) x0右式=0.，不等式成立.(2) n 2, 左式=f (x)n2nf (xn)(2x_2)n 2n 1 x(2xn2n (C：xn 2C：xnCnCn2 ).令 S Cnxn 2CR4cnCnCnCn由倒序相加法得:2S C：(x47) xCn(xnCnn(4rx2)2(C：c；Cn Cn1)2(2n2),所以S(2n2).所以f (x)n時(shí)，命題成立2n 1 f (xn) 2n(2n 2)成立.綜上，當(dāng)k是奇數(shù)，n N例41.已知函數(shù)f (x) axx(a 1)

32、 (1)求函數(shù)f(x)的最小值，并求最小值小于0時(shí)的a令 S(n)C：f'(1)CnCnf (n 1)求S(n) (2n2) f(2)(1)由 f '(x)In a 1, f (x)0,即:a x Ina 1,1,，又aIn ax Iog a In a同理:f (x)所以f (x)在(0,有 x Iog a In a,Iog a In a)上遞減，在(lOg alna,)上遞增;所以f (x)minf(1 In In aIog a In a) -In a右 f (x)min0,則 InIn aln a1, In aa的取值范圍是 11ee(2)S(n) (Cna 2Cn(na”

33、Cn(aln a C2a21)Cn CnCn2(a2 In an 1)In a1)(CncnCnC2Cn(anCnCnIn a 1)1)Cn(a22)cn1 n 1(aa) In a (2n 2)2)ln an(2n 2)(2n 2)(a2 Ina1)(2n n2)f (2),所以不等式成立。例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù)ax ,xax 80,對(duì)任意正數(shù)a,證明：1 f x 2.解析：對(duì)任意Z定的a0, x0,由f(x)1若令b8一，則axabx11(一)、先證f x因?yàn)?111 x 1 x又由2 ./2a4v2abX 8 ,得 a b X2(a b x) (ab ax bx)(

34、1x)(1 a)(1 b)9 (a b x) (ab ax bx)1 (a b x) (ab ax bx) abx(二)、再證(1 x)(1 a)(1 b)(1 x)(1 a)(1 b)由、式中關(guān)于x, a, b的對(duì)稱性，不妨設(shè)i)7,則a5,所以x a 5,因?yàn)?,1 x1 a因?yàn)? x .1a ,1 b由得b24(1 b)218abb2(1 b)2所以1一，1 xabab 8 '2(1c ab 2、 6b ，ab 8今證明23因?yàn)閍ba)(1 b)只要證ab(1 a)(1 b)此為顯然.因此得證.故由得ab ,即ab 8f(x)ab(1a)(1b),也即據(jù),綜上所述,對(duì)任何正數(shù)a,

35、 x，皆有例43.求證:1 1 n 113n 1解析：一方面:3n 13 42 4第35頁共31頁13n 113n11n 2 3n13n 112(3n4n4n2n 11)(n 1)3n(n 2)4n 2(n 1)(3n 1)(2n1)1 (2n 1)2(n 1)213n2n 12n 2(2n 1)2_2(2n 1)12(2n 1)第41頁共31頁十、二項(xiàng)放縮2n(11)nCn0cnc；, 2nC0Cn2ncn0cnC22n n22nn(n1)(n2)例44.已知a11,an 1(1n)an127.證明an解析：an1 (11 )a n(n 1)1n(n 1)(11記F)(an1)ln(an 1

36、1) ln(a1)n 1ln(ai 1 1)i 2ln(1 n(n 1)n 11n(n 1)ln(ai1)i 2i(i 1)ln(a1) ln(a21)即 ln(an 1) 1In 3an 3e 145.已知i,m,n是正整數(shù)，且m n. (1)證明 niAmmiA：；(2)證明(1 m)n(1mn) .1(1 n廠是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如簡析對(duì)第(2)問：用1/n代替n得數(shù)列bn：b1下間捷證法：數(shù)列(1 n)n遞減，且1 i m n,故(1 mp (1 n”，即(1 m)n (1 n)m ° 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種，如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力 不

37、等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見 文1。n n 1 n例 46.已知 a+b=1, a>0, b>0,求證：a b 2解析：因?yàn)閍+b=1,a>0, b>0,可認(rèn)為a1b成等差數(shù)列，設(shè)a -db-d，從而'2 '2'2nnn n 111 na b dd 22247.設(shè) n 1,n N ,求證(2)n 8.3 (n 1)(n 2)解析：觀察(2)n的結(jié)構(gòu)，注意到(3)n (1 1)n,展開得 322.n i 12 13 1n n(n 1) (n 1)(n 2) 61 2)1111 2n n Cn，Cn 2

38、2 Cn 231 2 181 (n D(n (1 n)(1 )得訐.2 8例 48.求證：ln 3 ln 2nln(112n)In 2解析：參見上面的方法，希望讀者自己嘗i!)例42.(2008年北京海淀5月練習(xí))已知函數(shù)y f(x),x N*,y N* ,滿足:對(duì)任意 a,b N*,a b ,都有 af(a) bf(b) af (b) bf(a)；對(duì)任意n N,都有ff(n) 3n .，一、 、h、一II、 *. . .(I )試證明：f (x)為N上的單調(diào)增函數(shù);(II )求 f (1) f (6) f(28)；(III )令2” f(3n),n N,試證明：._工。L4n 2a1a2an4解析：本題的亮點(diǎn)很多，是一道考查能力的好題.(1) 運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性 ：因?yàn)?af(a) bf(b) af (b) bf (a)，所以可以得到 (a b) f(a) (a b) f(b) 0，也就是(a b)(f (a) f (b) 0,不妨設(shè)a b,所以，可以得到f (a) f(b),也就是說.一一, f(x)為N上的單調(diào)增函數(shù)(2) 此問的難度較大，要完全解決出來需要一定的能力！首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論，一發(fā)現(xiàn)就有思路了 ！由(1)可知(a b)(f(a) f(b) 0,令b 1,a f(1)