高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(三)曲率

1、第六章 一元微積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問(wèn)題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計(jì)算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。第六章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第 五 節(jié) 平面曲線的曲率一、曲率的概念二、曲率的計(jì)算公式三、參數(shù)方程下曲率的計(jì)算公式四、曲率圓、曲率中心 我們已經(jīng)討論過(guò)曲線的凹凸性 , 知道如判定曲線的彎曲程度 . 而在許多實(shí)際問(wèn)題中何判斷曲線的彎曲方向 , 但是還不能描述和都

2、必須考慮曲線的彎曲程度 , 例如 , 道路的彎道設(shè)計(jì) , 梁的彎曲程度 , 曲線形的切削工具的設(shè)計(jì)等等 .你認(rèn)為應(yīng)該如何描述曲線的彎曲程度 ?OxyMM)(xfy .)( 1Cxfy設(shè) 沿曲線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)點(diǎn)M相應(yīng)地切線轉(zhuǎn)時(shí) , M),( 稱為轉(zhuǎn)角過(guò)角度 . 稱弧的改變量為 s. ,具有方向性與其中s單位弧長(zhǎng)上的轉(zhuǎn)角. 的平均曲率為MM sksskkssddlimlim00 . )( 處的曲率在點(diǎn)稱為曲線Mxfy . 極限的方法又是平均值 例例1 1解求半徑為 R 的圓上任意一點(diǎn)處的曲率 . MM如圖所示 , 在圓上任取一點(diǎn) M , 則R|MMs R故ss0lim即圓上點(diǎn)的曲率處處相同：Rk1半徑越

3、小的圓 , 彎曲得越厲害 .RRs1lim0O設(shè)曲線方程為, )(xfy , )(二階可導(dǎo)xf則在曲線上點(diǎn)) ,(yxM處的曲率為 )1 ( 232yyk OxyMM)(xfy 證如圖所示 ,曲線在處切線的斜率為點(diǎn) Mtan y故y arctanxyyxdd11dd221yy 又xysd1 d2從而 )1 ( dd232yysk xyyd 1d2 例例2 2解. 上任意一點(diǎn)處的曲率求直線bxay, 0 , yay0 )1 ( 232 yyk. ) (Rx直線上任意一點(diǎn)處的曲率均為零 .俗話說(shuō) , 直線不彎曲 .例例3 3解, )0( sin , cos 上橢圓babyax哪一點(diǎn)曲率最大 , 哪

4、一點(diǎn)曲率最小 .利用參數(shù)方程求導(dǎo)法求出: dd dd22xyxy和, sinddax, cosddby, cosdd22ax, sindd22bycotsincosddababxy)cos(cotdd)(22aabxy32sin1ab )1 ( 232yyk23)cossin(2222baab故, 0)cossin(cossin)(3dd 23222222babaabk令得駐點(diǎn), 23 , , 2 , 0, ba 因?yàn)楣试诟飨笙拗械姆?hào)依次為 ddk+由此可得 :取最大值時(shí)當(dāng)k , , 0 2maxbak取最小值時(shí)當(dāng)k , 23 , 2 2minabk23)()(| )()()()( |22y

5、xxyxyk 則二階可導(dǎo)若 , )(, )( , )()( yxyyxx, )()(ddxyxy322)()()()()(ddxxyxyxy 將它們代入曲率計(jì)算公式中即可得：例例4 4解. 0) (0, 4 2處的曲率在點(diǎn)求拋物線xy , 2 xy如果用會(huì)出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的分母為零的情形 , 的圖形與但 4 4 22yxxy相同 , 對(duì)稱 , 故原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)為求曲線的與而 4 4 22xyyx圖形關(guān)于在 42xy . )0 , 0( 處的曲率點(diǎn)xy , 0)41 (020 xxxy, 21) 21 (00 xxxy在 42xy 處的曲率為點(diǎn) )0 , 0( 21 )1 ( 2321 yyk處的曲率為在

6、點(diǎn)故 0) (0, 4 2xy . 21k在有些實(shí)際問(wèn)題中 , , 1 | y若. | yk 則可取現(xiàn)在問(wèn)你一下 : (假設(shè)單位是統(tǒng)一的)如果告訴你一條曲線在點(diǎn) M 處的曲率為 , 51你能想象出它的彎曲程度嗎？如果告訴你有一個(gè)半徑為 5 的圓 , 你能想象出該圓上任何一點(diǎn)處的彎曲程度嗎？由此及前面講的例題1 , 你有什么想法？MOMO. 5 , 51Rk M在點(diǎn)曲率圓曲率半徑曲率中心處可用一個(gè)相應(yīng)的圓來(lái)描述曲線的彎曲程度曲率曲率半徑1) ,( )( yxMxfy上一點(diǎn)過(guò)光滑曲線作其法線, 在法線指向曲線凹向的一側(cè)上取一點(diǎn) Q ,使RMQ | ) ,(2 )1 ( 123yxMyyk 以 Q

7、為中心 , R 為半徑所作的圓稱為曲線在點(diǎn)M 處的曲率圓 , 圓心 Q 稱為曲率中心 , R 稱為曲率半徑 .) (處的曲率為曲線在點(diǎn) Mk曲率圓與曲線在點(diǎn) M 處相切 , 且在點(diǎn) M 處兩者曲率相同 . 曲率圓與曲線在點(diǎn) M 處具有相同的一、二階導(dǎo)數(shù) . 當(dāng)討論曲線在點(diǎn) M 處與一、二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的局部性質(zhì)時(shí), 可以通過(guò)討論其相應(yīng)的曲率圓的局部性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn) .曲率圓的性質(zhì) )( , )( 存在且設(shè)曲線方程為xfxfy , 0)(0 xf則曲線在點(diǎn)的坐標(biāo)為中心 ) ,( D處的曲率 ) ,(00yxM, )1 (20yyyx , 120yyy . Mxfyyy處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)是與式中 )( 曲率中心的

8、坐標(biāo)證處的在點(diǎn)設(shè)曲線 ) ,( )( 00yxMxfy , ) ,( , DR曲率中心為曲率半徑為則曲線在點(diǎn) ) ,(00處的曲率圓方程為yxM222)()(Ryx. ) ,( , 是曲率圓上的點(diǎn)點(diǎn)其中yx23222)1 (1yykR 由于, ) ,( 00在曲率圓上又點(diǎn)yxM故有2020)()(yx232)1 (yy , 處的法線上位于曲線在點(diǎn)又MDM其斜率為00 xyk法曲線在點(diǎn) M 處切線的斜率為, y從而 , 有00yxy(1)(2)由 (1) , (2) 兩式消去得 , 0 x22220)1 ()(yyy 由于曲率圓總是位于曲線凹向的一側(cè) , 所以 , 是反號(hào)的與 yy故對(duì)上式兩邊開(kāi)方得yyy 201由 (2) 式 , 得yyyx )1 (20畫(huà)畫(huà)圖更清楚例例5 5解處的在點(diǎn)求拋物線 ) 1 , 1 ( 2xy 曲率半徑、曲率中心和曲率圓方程 ., 2211xxxy, 21 xy處的曲率半