高等數(shù)學導數(shù)應用(三)曲率

1、第六章 一元微積分的應用本章學習要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點的方法。能運用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。第六章 導數(shù)的應用第 五 節(jié) 平面曲線的曲率一、曲率的概念二、曲率的計算公式三、參數(shù)方程下曲率的計算公式四、曲率圓、曲率中心 我們已經(jīng)討論過曲線的凹凸性 , 知道如判定曲線的彎曲程度 . 而在許多實際問題中何判斷曲線的彎曲方向 , 但是還不能描述和都

2、必須考慮曲線的彎曲程度 , 例如 , 道路的彎道設(shè)計 , 梁的彎曲程度 , 曲線形的切削工具的設(shè)計等等 .你認為應該如何描述曲線的彎曲程度 ?OxyMM)(xfy .)( 1Cxfy設(shè) 沿曲線運動到點點M相應地切線轉(zhuǎn)時 , M),( 稱為轉(zhuǎn)角過角度 . 稱弧的改變量為 s. ,具有方向性與其中s單位弧長上的轉(zhuǎn)角. 的平均曲率為MM sksskkssddlimlim00 . )( 處的曲率在點稱為曲線Mxfy . 極限的方法又是平均值 例例1 1解求半徑為 R 的圓上任意一點處的曲率 . MM如圖所示 , 在圓上任取一點 M , 則R|MMs R故ss0lim即圓上點的曲率處處相同：Rk1半徑越

3、小的圓 , 彎曲得越厲害 .RRs1lim0O設(shè)曲線方程為, )(xfy , )(二階可導xf則在曲線上點) ,(yxM處的曲率為 )1 ( 232yyk OxyMM)(xfy 證如圖所示 ,曲線在處切線的斜率為點 Mtan y故y arctanxyyxdd11dd221yy 又xysd1 d2從而 )1 ( dd232yysk xyyd 1d2 例例2 2解. 上任意一點處的曲率求直線bxay, 0 , yay0 )1 ( 232 yyk. ) (Rx直線上任意一點處的曲率均為零 .俗話說 , 直線不彎曲 .例例3 3解, )0( sin , cos 上橢圓babyax哪一點曲率最大 , 哪

4、一點曲率最小 .利用參數(shù)方程求導法求出: dd dd22xyxy和, sinddax, cosddby, cosdd22ax, sindd22bycotsincosddababxy)cos(cotdd)(22aabxy32sin1ab )1 ( 232yyk23)cossin(2222baab故, 0)cossin(cossin)(3dd 23222222babaabk令得駐點, 23 , , 2 , 0, ba 因為故在各象限中的符號依次為 ddk+由此可得 :取最大值時當k , , 0 2maxbak取最小值時當k , 23 , 2 2minabk23)()(| )()()()( |22y

5、xxyxyk 則二階可導若 , )(, )( , )()( yxyyxx, )()(ddxyxy322)()()()()(ddxxyxyxy 將它們代入曲率計算公式中即可得：例例4 4解. 0) (0, 4 2處的曲率在點求拋物線xy , 2 xy如果用會出現(xiàn)導數(shù)的分母為零的情形 , 的圖形與但 4 4 22yxxy相同 , 對稱 , 故原問題可以轉(zhuǎn)為求曲線的與而 4 4 22xyyx圖形關(guān)于在 42xy . )0 , 0( 處的曲率點xy , 0)41 (020 xxxy, 21) 21 (00 xxxy在 42xy 處的曲率為點 )0 , 0( 21 )1 ( 2321 yyk處的曲率為在

6、點故 0) (0, 4 2xy . 21k在有些實際問題中 , , 1 | y若. | yk 則可取現(xiàn)在問你一下 : (假設(shè)單位是統(tǒng)一的)如果告訴你一條曲線在點 M 處的曲率為 , 51你能想象出它的彎曲程度嗎？如果告訴你有一個半徑為 5 的圓 , 你能想象出該圓上任何一點處的彎曲程度嗎？由此及前面講的例題1 , 你有什么想法？MOMO. 5 , 51Rk M在點曲率圓曲率半徑曲率中心處可用一個相應的圓來描述曲線的彎曲程度曲率曲率半徑1) ,( )( yxMxfy上一點過光滑曲線作其法線, 在法線指向曲線凹向的一側(cè)上取一點 Q ,使RMQ | ) ,(2 )1 ( 123yxMyyk 以 Q

7、為中心 , R 為半徑所作的圓稱為曲線在點M 處的曲率圓 , 圓心 Q 稱為曲率中心 , R 稱為曲率半徑 .) (處的曲率為曲線在點 Mk曲率圓與曲線在點 M 處相切 , 且在點 M 處兩者曲率相同 . 曲率圓與曲線在點 M 處具有相同的一、二階導數(shù) . 當討論曲線在點 M 處與一、二階導數(shù)有關(guān)的局部性質(zhì)時, 可以通過討論其相應的曲率圓的局部性質(zhì)來實現(xiàn) .曲率圓的性質(zhì) )( , )( 存在且設(shè)曲線方程為xfxfy , 0)(0 xf則曲線在點的坐標為中心 ) ,( D處的曲率 ) ,(00yxM, )1 (20yyyx , 120yyy . Mxfyyy處的導數(shù)在點是與式中 )( 曲率中心的

8、坐標證處的在點設(shè)曲線 ) ,( )( 00yxMxfy , ) ,( , DR曲率中心為曲率半徑為則曲線在點 ) ,(00處的曲率圓方程為yxM222)()(Ryx. ) ,( , 是曲率圓上的點點其中yx23222)1 (1yykR 由于, ) ,( 00在曲率圓上又點yxM故有2020)()(yx232)1 (yy , 處的法線上位于曲線在點又MDM其斜率為00 xyk法曲線在點 M 處切線的斜率為, y從而 , 有00yxy(1)(2)由 (1) , (2) 兩式消去得 , 0 x22220)1 ()(yyy 由于曲率圓總是位于曲線凹向的一側(cè) , 所以 , 是反號的與 yy故對上式兩邊開方得yyy 201由 (2) 式 , 得yyyx )1 (20畫畫圖更清楚例例5 5解處的在點求拋物線 ) 1 , 1 ( 2xy 曲率半徑、曲率中心和曲率圓方程 ., 2211xxxy, 21 xy處的曲率半