工程力學(xué)第3章

1、第3章 力矩和平面力偶系 第3章 力矩和平面力偶系 3.1 3.1 力對(duì)點(diǎn)之矩及合力矩定理力對(duì)點(diǎn)之矩及合力矩定理3.2 3.2 平面力偶系平面力偶系3.3 3.3 力的平移定理力的平移定理思考題思考題 習(xí)題習(xí)題 第3章 力矩和平面力偶系 3.1 力對(duì)點(diǎn)之矩及合力矩定理力對(duì)點(diǎn)之矩及合力矩定理 以扳手?jǐn)Q緊螺母為例（如圖3-1所示），人施于扳手上的力F使扳手和螺母一起繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，即產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 由經(jīng)驗(yàn)可知，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小不僅與力F的大小和方向有關(guān)，且與轉(zhuǎn)動(dòng)中心O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d有關(guān)。因此，力F對(duì)扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用乘積Fd冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)來(lái)度量。這個(gè)量稱為力對(duì)點(diǎn)之矩，簡(jiǎn)稱力矩，以符

2、號(hào)MO(F)表示，即 dFMO)(F（3-1） 式中O點(diǎn)稱為矩心，O點(diǎn)到在力的作用線的垂直距離d稱為力臂，正負(fù)號(hào)的規(guī)定如下：力使物體繞矩心作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩為正，反之為負(fù)。由此式可見(jiàn)，平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩，只取決于力矩的大小及其正負(fù)號(hào)，說(shuō)明力矩是代數(shù)量。 第3章 力矩和平面力偶系 圖圖 3-1第3章 力矩和平面力偶系 在國(guó)際單位制中，力F矩的單位是牛頓米（）或千牛頓米（）。 從幾何上看，力對(duì)O點(diǎn)的矩在數(shù)值上等于ABO面積的兩倍，即 ABO2)(SdFMOF F（3-1） 力矩是相對(duì)某一矩心而言的，離開(kāi)了矩心，力矩就沒(méi)有意義。而矩心的位置可以是力作用面內(nèi)任一點(diǎn)，但并不一定是物體內(nèi)固定的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，換句

3、話說(shuō)，平面上的一個(gè)力可以對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)取矩，而力矩一般不相同。 第3章 力矩和平面力偶系 由以上力對(duì)點(diǎn)之矩的概念， 可得到以下結(jié)論： (1) 力的大小為零或力的作用線通過(guò)矩心時(shí)， 其力矩為零； (2) 力沿其作用線滑動(dòng)時(shí)， 不會(huì)改變力對(duì)矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。 第3章 力矩和平面力偶系 3.1.2 3.1.2 合力矩定理合力矩定理在計(jì)算力矩時(shí)，力臂一般可通過(guò)幾何關(guān)系確定，但有時(shí)幾何關(guān)系比較復(fù)雜，直接計(jì)算力臂比較困難。這時(shí)，如果將力適當(dāng)進(jìn)行分解，計(jì)算各分力的力矩可能會(huì)比較簡(jiǎn)單。合力矩定理建立了合力對(duì)某點(diǎn)的矩與其分力對(duì)同一點(diǎn)矩之間的關(guān)系, 對(duì)于平面匯交力系可

4、敘述如下： 合力矩定理合力矩定理平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩， 等于力系中各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。 即 )()()()()(in21RFFFFFOOOOOMMMMM（3-3） 第3章 力矩和平面力偶系 例例3-1一齒輪受到嚙合力Fn作用，F(xiàn)n=980N，齒輪的壓力角=20，節(jié)圓直徑D=0.16 m，如圖3-2(a)所示。試計(jì)算Fn對(duì)軸心O的力矩。 圖 3-2 第3章 力矩和平面力偶系 解解 （1） 應(yīng)用力矩的計(jì)算公式。力臂： cos2Dh 由式（3-1）得力Fn對(duì)O點(diǎn)之矩: mN7 .73cos2)(nnnDFhFMOF負(fù)號(hào)表示力Fn使齒輪繞O點(diǎn)做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。 第3章 力矩和平面力

5、偶系 （2） 應(yīng)用合力矩定理。將力Fn分解為圓周力Ft和徑向力Fr，如圖3-2（b）所示， 則 cosntFF sinnrFF 根據(jù)合力矩定理 )()()(rtnFFFOOOMMM因?yàn)閺较蛄r過(guò)矩心O，故MO(Fr)=0，于是 mN7 .73cos22)()(ntnDFDFMMOOFF第3章 力矩和平面力偶系 例例3-2手動(dòng)剪斷機(jī)的結(jié)構(gòu)及尺寸如圖3-3所示。設(shè)l1=80cm，l2=8cm，=15，被剪物體放在刃口K處，在B處施加F=50 N的作用力。試求在圖示位置時(shí)力F對(duì)A點(diǎn)之矩。 解解本題用合力矩定理求解較為方便，將力F分解為垂直于手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得 cos1FF

6、 sin2FF 根據(jù)合力矩定理，力F對(duì)A點(diǎn)之矩 mN7 .39cmN3970)15sin15cos()()()(0201221121llFlFlFMMMAAAFFF負(fù)號(hào)說(shuō)明力F使手柄繞A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-3 第3章 力矩和平面力偶系 3.2 平平 面面 力力 偶偶 系系 3.2.1 3.2.1 力偶及其基本性質(zhì)力偶及其基本性質(zhì)1. 1. 力偶的概念力偶的概念在日常生活及生產(chǎn)實(shí)踐中，常見(jiàn)到物體受一對(duì)大小相等、 方向相反但不在同一作用線上的平行力作用，而使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的情況， 如人用手?jǐn)Q水龍頭開(kāi)關(guān)（圖3-4(a)）、司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤（圖3-4(b)）、 鉗工用

7、絲錐攻螺紋（圖3-4(c)）等。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-4 第3章 力矩和平面力偶系 這樣由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系稱為力偶。力偶用符號(hào)(F，F(xiàn))表示，兩力之間的垂直距離d稱為力偶臂， 如圖3-5所示。 力偶兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向。 實(shí)踐證明，力偶只能對(duì)物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而不能使物體產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可用力偶中的力與力偶臂的乘積再冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)來(lái)確定，稱為力偶矩，記做M(F，F(xiàn)), 或簡(jiǎn)寫為M，即 dFMM),(FF（3-4） 第3章 力矩和平面力偶系 式中的正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向，通常規(guī)定

8、，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正號(hào)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取負(fù)號(hào)號(hào)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取負(fù)號(hào)。力偶矩與力矩一樣都是代數(shù)量，力偶矩的單位與力矩的單位也相同，是牛頓米（）或千牛頓米（）。力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面，稱為力偶的三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-5第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì)根據(jù)力偶的定義，力偶具有以下一些性質(zhì)。性質(zhì)一性質(zhì)一 力偶在任意軸上投影的代數(shù)和為零，如圖3-6，故力偶無(wú)合力，力偶不能與一個(gè)力等效，也不能用一個(gè)力平衡。力偶無(wú)合力，故力偶對(duì)物體的平移運(yùn)動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生任何影響，力與力偶相互不能代替，不

9、能構(gòu)成平衡。因此，力與力偶是靜力學(xué)中的兩種基本元素。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-6 第3章 力矩和平面力偶系 性質(zhì)二性質(zhì)二力偶對(duì)其作用面內(nèi)任意點(diǎn)的矩恒等于此力偶的力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。 證明證明如圖3-5所示，在力偶(F，F(xiàn))的二力作用點(diǎn)A、B連線上任意取一點(diǎn)O為矩心，并設(shè)O點(diǎn)到力F的距離為x， 按力矩定義，F(xiàn)與F對(duì)O點(diǎn)的力矩和為 dFdxFFxMMOO)()()(FF即 ),()()(FFFFMMMOO第3章 力矩和平面力偶系 性質(zhì)三性質(zhì)三保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小不變， 力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)， 而不會(huì)改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。 力偶的這一性質(zhì)說(shuō)明力偶對(duì)物體的作用與

10、力偶在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。須指出，這一性質(zhì)只適用于剛體而不適用于變形體。 第3章 力矩和平面力偶系 性質(zhì)四性質(zhì)四只要保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶臂的大小不變， 可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短， 而不會(huì)改變力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)。 力偶的這一性質(zhì)說(shuō)明力偶中力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量。因此，力偶可以用一段帶箭頭的弧線表示， 其中弧線所在平面表示力偶的作用面，箭頭指向表示力偶的轉(zhuǎn)向，再標(biāo)注力偶矩的大小。圖3-7表示力偶矩為M的一個(gè)力偶，四種表示方法等效。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-7 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-8 第3章 力矩和平面力偶系 3.2.1 平面

11、力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡1. 平面力偶系的合成平面力偶系的合成作用在物體上同一平面內(nèi)的許多力偶組成平面力偶系。力偶系的合成，就是求力偶系的合力偶矩。設(shè)為平面力偶系中的各分力偶矩，為合力偶的力偶矩，則 n21,MMMiMMMMMn21（3-5） 第3章 力矩和平面力偶系 2. 2. 平面力偶系的平衡條件平面力偶系的平衡條件由合成結(jié)果可知，力偶系平衡時(shí)，其合力偶矩等于零； 反之，合力偶矩為零，則平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡的充分和必要條件是所有各分力偶矩的代數(shù)和等于零。 即 0iM（3-6） 這就是平面力偶系的平衡方程，用這個(gè)方程可以求解一個(gè)未知量。 第3章 力矩和平面力偶

12、系 例例3-3圖3-9(a)所示簡(jiǎn)支梁AB上，受作用線相距為d=20 cm的兩反向力F與F組成的力偶和力偶矩為M的力偶的作用。 若F=F=100N， M=40 Nm，梁長(zhǎng)l=1m，求支座A和B的約束反力。 圖 3-9 第3章 力矩和平面力偶系 解解取梁AB為研究對(duì)象，因?yàn)橹皇苤鲃?dòng)力偶作用，而力偶只能用力偶來(lái)平衡，故兩支座反力必構(gòu)成一對(duì)力偶。現(xiàn)已知FB的方向，則FA與FB平行且反向，如圖3-9(b)所示。由平面力偶系的平衡條件， 有 0iM0MdFlFA解得 N20ldFMFA所以，方向如圖3-9(b)所示。 N20ABFF第3章 力矩和平面力偶系 例例 3-4 多刀鉆床在水平工件上鉆孔（圖3-

13、10），每個(gè)鉆頭的切削刀刃作用于工件的力在水平面內(nèi)構(gòu)成一力偶。已知切制三個(gè)孔對(duì)工件的力偶矩分別為，。求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B兩處用螺栓固定，A和B之間的距離，試求兩個(gè)螺栓在工件平面內(nèi)所受的力。解：解：(1) 求三個(gè)主動(dòng)力偶的合力偶矩 mN5 .1321 MMmN173MmN44175 .135 .13321MMMMMi負(fù)號(hào)表示合力偶矩為順時(shí)針?lè)较颉?第3章 力矩和平面力偶系 圖 3-10 第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求兩個(gè)螺栓所受的力。 選工件為研究對(duì)象，工件受三個(gè)主動(dòng)力偶作用和兩個(gè)螺栓的反力作用而平衡，故兩個(gè)螺栓的反力FA與FB必然組成為一力偶， 設(shè)它們的方向如圖所示，

14、由平面力偶系的平衡條件，有 0iM0321MMMlFA解得 N220321lMMMFA所以，方向如圖3-10所示。 N220ABFF第3章 力矩和平面力偶系 3.3 力的平移定理力的平移定理 力對(duì)物體的作用效果取決于力的三要素：力的大小、方向和作用點(diǎn)。當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)時(shí)，力對(duì)剛體的作用效果不變。 但是，如果保持力的大小、方向不變，將力的作用線平行移動(dòng)到另一位置，則力對(duì)剛體的作用效果將發(fā)生改變。 設(shè)在剛體上作用一力F F，如圖3-11所示，由經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)力F F通過(guò)剛體的重心C時(shí)，剛體只發(fā)生移動(dòng)。如果將力F F平行移動(dòng)到剛體上任一點(diǎn)D，則剛體既發(fā)生移動(dòng)，又發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，即作用效果發(fā)生改變。那么，在

15、什么條件下，力平行移動(dòng)后與未移動(dòng)前對(duì)剛體的作用效果等效呢？力的平移定理解決了這一問(wèn)題。 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-11 第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理力的平移定理作用于剛體上某點(diǎn)的力，可以平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，但同時(shí)必須附加一個(gè)力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩，力偶的轉(zhuǎn)向決定于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。 證明證明如圖3-12(a)所示，假設(shè)有一力F作用在剛體上A點(diǎn)， 要把它平移到剛體上另一點(diǎn)B處。根據(jù)加減平衡力系原理，在B點(diǎn)加一對(duì)平衡力F和F，并使它們與力F平行，而且F=-F=F，如圖3-12(b)所示，顯然，它們對(duì)剛體的作用與原來(lái)的一個(gè)力F對(duì)剛體的作用等效

16、。在這三個(gè)力中，力F與F組成一對(duì)力偶(F, F)。于是，原來(lái)作用在A點(diǎn)的力，現(xiàn)在被一個(gè)作用在B點(diǎn)的力F和一個(gè)附加力偶(F, F)所取代，如圖3-12(c)所示， 此附加力偶的力偶矩大小為 FdMMB)(F（3-7） 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-12 第3章 力矩和平面力偶系 圖3-13 第3章 力矩和平面力偶系 思思 考考 題題 3-1 手推磨如圖所示，試解釋當(dāng)桿AB與轉(zhuǎn)軸O共線時(shí)最不好。 思考題3-1圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-2 為什么力偶不能與一力平衡? 如何解釋如圖所示之轉(zhuǎn)輪的平衡現(xiàn)象？ 思考題3-2圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-3 能否用力在坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和為零來(lái)

17、判斷力偶系的平衡？如圖所示剛體上，作用二力偶(F, F)和(F1, F1)， 它們?cè)趚軸和y軸上投影的代數(shù)和都等于零， 剛體是否平衡？ 為什么？ 思考題3-3圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-4 物體受F1、F2兩個(gè)作用（如圖所示），試在物體上找出一點(diǎn)O， 使F1、 F2兩力對(duì)O點(diǎn)之矩均等于零。 思考題3-4圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-5 用手握鋼絲鉗，為什么不用很大的握緊力就能剪斷鐵絲？為什么用撬棒能夠移動(dòng)沉重的機(jī)床？3-6 汽車司機(jī)有時(shí)可以用一只手轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)向盤，但鉗工在攻螺紋時(shí)，一定要用兩只手轉(zhuǎn)動(dòng)絲錐鉸桿手柄，而不允許用一只手操作， 為什么？ 第3章 力矩和平面力偶系 習(xí)習(xí) 題題 3-

18、1 試分別計(jì)算圖示各種情況下力F對(duì)O點(diǎn)的矩。 題3-1圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-2 求圖中力F對(duì)A點(diǎn)之矩。已知r1=20cm，r2=50cm，F(xiàn)=300 N。 題3-2圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-3 如圖所示，梁AB長(zhǎng)l，作用一力偶矩M=Fa的力偶。若不計(jì)梁自重， 試求支座A、 B的約束反力。 題3-3圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-4 沿著剛體上正三角形ABC的三條邊分別作用有力F1、F2、 F3，如圖所示。已知正三角形的邊長(zhǎng)為a，F(xiàn)1=F2=F3=F。試證明這三個(gè)力可以合成一個(gè)力偶，并求出力偶矩的大小。 題3-4圖 第3章 力矩和平面力偶系 3-5 車間有一矩形鋼板（如圖所示），邊長(zhǎng)a=4 m，b=2 m，為使鋼板轉(zhuǎn)一