例談建模思想在解決數(shù)學實際性問題中應用

1、例談建模思想在解決數(shù)學實際性問題中應用張傳高摘要：數(shù)學，作為一門研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長河中，一直是和人們生活的實際需要密切相關(guān)的。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，它與數(shù)學同樣有著悠久的歷史。兩千多年以前創(chuàng)立的歐幾里德幾何，十七世紀發(fā)現(xiàn)的牛頓萬有引力定律，都是科學發(fā)展史上數(shù)學建模得成功范例。數(shù)學建模是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學教育重要和基本的內(nèi)容應社會的發(fā)展趨勢。當代教育應以培養(yǎng)學生具有從實際問題中獲取信息，建立數(shù)學模型，分析問題與解決問題的能力作為主要任務。關(guān)鍵詞：建模思想；數(shù)學建模；數(shù)學應用；實際性問題A

2、bstract: Mathematics, as a number of real-world relations and space forms of De science, Zai it produces and the development of river Zhong Li Shi, Yi Zhi yes, and it's Shi Ji Sheng Huo relevant to the needs. Mathematical methods of mathematical modeling as the first step in solving practical pr

3、oblems, it also has a long history of mathematics. 2000 years ago founded the Euclidean geometry, the seventeenth century Newton discovered the law of gravity, are the scientific development in the history of mathematical modeling was successful example. Mathematical modeling is the use of mathemati

4、cal ideas, methods and process knowledge to solve practical problems, different levels of mathematics education has become an important and basic content of the social trends. Modern education should train students with access to information from the actual problem, a mathematical model to analyze t

5、he problems and problem-solving skills as the main task.Key words: modeling; mathematical modeling; mathematical applications; practical issues引言本人參加了“2009高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽”，并榮獲了貴州賽區(qū)甲組三等獎。我們小組參賽的題目是“制動器試驗臺的控制方法”，這是一個物理模擬問題，簡單的說，這是一個模擬剎車的過程，模擬的原則是試驗臺上制動器的制動過程與所設(shè)計的路試時車上制動器的制動過程理論上是一致的。這其中牽涉到數(shù)學和物理兩科目的相關(guān)專

6、業(yè)知識，其中應用到數(shù)學方面的知識有柯西不等式、積分和數(shù)學軟件MATLAB等數(shù)學知識，另外應用到的物理方面的知識有瞬時轉(zhuǎn)速、制動扭矩、制動時間等。此次競賽讓我感觸良深，它不僅讓我領(lǐng)略到數(shù)學建模大賽的魅力，而且讓我知道它對現(xiàn)實生活的重要意義，建模的思想可用于解決我們實際生活中的許多問題。其實數(shù)學建模就在我們?nèi)粘５纳钪?，與我們息息相關(guān)。1.數(shù)學建模和解決數(shù)學應用性問題的意義1.1 什么是數(shù)學建模數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型的過程，數(shù)學模型是近似表達現(xiàn)象特征的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。也就是說，數(shù)學建模是將某一領(lǐng)域或者某一問題，經(jīng)過抽象、簡化、明確變量和參數(shù)，并根據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的一個明確的數(shù)學模型，然后

7、求解該問題，并對此結(jié)果進行解釋和驗證。簡單地說數(shù)學建模就是用數(shù)學作工具來解決現(xiàn)實生活中的實際問題的過程。1.2 研究數(shù)學建模對解決數(shù)學應用性問題的意義進入20世紀以來，隨著數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，以及電子計算機的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學建模越來越受到人們的重視。各領(lǐng)域的各種問題都可以歸結(jié)為數(shù)學問題的求解，其求解大都依靠數(shù)學模型的建立，研究數(shù)學建模對解決數(shù)學應用性問題有著重要的意義。在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學建模仍然大有用武之地在以聲、光、熱、力、電這些物理學科為基礎(chǔ)的諸如機械、電機、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的基本模型是已有的，但是由于新技術(shù)

8、、新工藝的不斷涌現(xiàn)，提出了許多需要用數(shù)學方法解決的新問題；高速、大型計算機的飛速發(fā)展，使得過去即便有了數(shù)學模型也無法求解的課題（如大型水壩的應力計算，中長期天氣預報等）迎刃而解；建立在數(shù)學模型和計算機模擬基礎(chǔ)上的CAD技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟、方便等優(yōu)勢，大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計中的現(xiàn)場實驗、物理模擬等手段。在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計算機技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段。數(shù)學建模、數(shù)值計算和計算機圖形學等相結(jié)合形成的計算機軟件，已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中，在許多高新技術(shù)領(lǐng)

9、域起著核心作用，被認為是高新技術(shù)的特征之一。在這個意義上，數(shù)學不再僅僅作為一門科學，它是許多技術(shù)的基礎(chǔ)，而且直接走向了技術(shù)的前臺。國際上一位學者提出了“高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學技術(shù)”的觀點。 數(shù)學迅速進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學建模開拓了許多新的處女地隨著數(shù)學向諸如經(jīng)濟、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學科如計量經(jīng)濟學、人口控制論、數(shù)學生態(tài)學、數(shù)學地質(zhì)學等應運而生。一般地說，不存在作為支配關(guān)系的物理定律，當用數(shù)學方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時，數(shù)學建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟和這些學科發(fā)展與應用的基礎(chǔ)。在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當大，為數(shù)學建模提供了廣

10、闊的新天地。馬克思說過，一門科學只有成功地運用數(shù)學時，才算達到了完善的地步。展望21世紀，數(shù)學必將大踏步地進入所有學科，數(shù)學建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時期。1.2.4 數(shù)學建模對數(shù)學教學的意義開展數(shù)學建模活動是促進數(shù)學教育改革，實現(xiàn)從應試教育向的素質(zhì)轉(zhuǎn)變的切實可行的改革之路，是培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新精神的有效途徑；是人類探索自然和社會的運行機理中所運用的有效方法；是數(shù)學應用于數(shù)學和社會的最基本的途徑。新的課程標準中對各年段數(shù)學課程的教學要求都專門列出了問題解決能力的標準，并特別強調(diào)了數(shù)學建模作為問題解決的一個側(cè)面的重要性。2. 建立數(shù)學建模的一般方法及基本思路建立數(shù)學模型的方法和步驟并沒有一定的模

11、式，但一個理想的模型應能反映系統(tǒng)的全部重要特征，即：模型的可靠性和模型的實用性。2.1 數(shù)學建模的一般方法數(shù)學建模的方法很多，但從理論上講，主要有兩種方法：機理分析方法和測試分析方法。機理分析：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識。將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參

12、數(shù)，也是常用的建模方法。2.2數(shù)學建模的基本思路在實際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機理分析法建模的具體步驟大致如下：（1）、 實際問題通過抽象、簡化、假設(shè)，確定變量、參數(shù)；（2）、 建立數(shù)學模型并數(shù)學、數(shù)值地求解、確定參數(shù)；（3）、 用實際問題的實測數(shù)據(jù)等來檢驗該數(shù)學模型；（4）、 符合實際，交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟、社會效益；不符合實際，重新建模。數(shù)學模型方法的操作程序大致上為： 3 數(shù)學實際性問題中常見的建模及實例分析實際問題是復雜多變的，數(shù)學建模需要較多的探索和創(chuàng)造性，下面僅以初中數(shù)學應用性問題常見的建模方法規(guī)律進行歸納總結(jié)。數(shù)學常見的建模方

13、法有：涉及圖形的位置性質(zhì)，建立幾何模型；涉及對現(xiàn)實生活中物體的測量，建立解直角三角形模型；涉及現(xiàn)實生活中普遍存在的等量關(guān)系（不等量關(guān)系），建立方程（不等式）模型；涉及現(xiàn)實生活中的變量關(guān)系，建立函數(shù)模型；涉及對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，建立統(tǒng)計模型等。3.1 建立幾何模型諸如臺風、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算，作物栽培等傳統(tǒng)的應用問題，涉及一定圓形的性質(zhì)，常需要建立相應的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。 例1：假設(shè)學生座位到黑板的距離是5米，老師在黑板上寫字，究竟要寫多大，才能使學生望去時，同他書桌相距30厘米的課本字感覺相同（即視角相同）？分析：看

14、黑板上的字和看課本的字有遠與近的區(qū)別，若雙眼去看，有一個調(diào)整視力焦距的問題，現(xiàn)在考慮二者的視角相等，要視角相等，只要兩三角形相似。解：量得幾何課本正文字的大小為（高×寬）。如圖，假設(shè)看垂直課本和垂直黑板上一個字的視角相等，于是有: 則 即這里 ，字高度： ，字寬度： ，因此，老師的黑板字大小應為（寬*高）。說明：相似三角形對應線段之比等于相似比，這一性質(zhì)應用較多。例如利用影長計算大樹或建筑物的高度；利用某種物質(zhì)的固定長度，計算該物體與觀測者的距離等等。例：暑假里，小強幫母親到魚店去買魚。魚店里有一種竹簍魚，個個都長得非常相似，現(xiàn)有大小兩種不同的價錢，如圖所示，魚長10cm的每條10元

15、；魚長13cm的每條15元，小強不知道買哪種更好些，你們看怎么辦？ 分析：這里要用到“立體相似”的知識，兩個相似的立體，若相似比（對應線段長度之比）為，則體積之比是。解：設(shè)兩條相似的魚A、B的長分別為和，即 B 對于A的相似比是13/10，則體積之比就是。而A是10元，B是15元，這樣B對于 A 的價格比是15/10=1.5。這里，論體積B是A的2.197倍，但價格B才是A的1.5倍，很顯然，買日比買A更合算。 3.2 建立直角坐標系與函數(shù)模型當變量的變化具有近似函數(shù)關(guān)系，或物體運動的軌跡具有某種規(guī)律時，可通過建立平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題討論。例3 某建筑的屋頂設(shè)計成橫截面為拋物線型

16、（曲線AOB）的薄殼屋頂它的拱寬AB為，拱高CO為施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢？分 析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担賹懗龊瘮?shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)這個關(guān)系式進行計算，放樣畫圖例4：6月以來，我省普降大雨，時有山體滑坡災害發(fā)生。北峰小學教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示：AFBC，斜坡AB長30米，坡角ABC 。為了防止滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經(jīng)過地質(zhì)人員勘測，當坡角不超過時，可以確保山體不滑坡。（1）求坡頂與地面的距離AD等于多少米？（精確到0.1米）（2）為確保安全，學校計劃改造時保持坡腳B不動，坡頂A沿AF削進到

17、E點處，求AE至少是多少米？（精確到0.1米）解：（1）在RtADB中，AB30m，ABC ，sinABC （2）在 RtADB中連結(jié)BE、過E作ENBC于NAEBC四邊形AEND為矩形 NEAD27.2在RtENB中，由已知當時BNEN27.2 AENDBNBD14.5（m） 說明：本題取材于學生身邊常見的自然現(xiàn)象，以銳角三角函數(shù)、解直角三角形知識為主體而設(shè)計探索題。通過它把學習與自然、生活結(jié)合在一起，能自覺地喚起學生學習思考的興趣，增強 探索大自然的信心。3.3 建立方程（不等式）模型對現(xiàn)實生活中廣泛存在的不等量關(guān)系：如投資決策等可挖掘?qū)嶋H問題隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式組的求解式，目標函

18、數(shù)在閉區(qū)間的最佳問題。例5：某機床廠生產(chǎn)中所需墊片可外購，也可自己生產(chǎn)。如外購每個價格是1.10元，如自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個墊片的材料和勞力費用需0.60元，試決定該廠墊片外購或自產(chǎn)的決策轉(zhuǎn)折點。分析：在固定成本增加800元不變的條件下，決定墊片外購還是自產(chǎn)的關(guān)鍵在于量的多少，設(shè)該廠每月需要墊片個，則外購費用為元，自產(chǎn)費用為元，當外購費用大于自產(chǎn)費用時則自產(chǎn)，否則便外購，問題轉(zhuǎn)化為求不等式的解，解得；當該廠墊片需要量在1600個以上時，自產(chǎn)較為合算；少于1600個時以外購為好，而恰為1600個時外購與自產(chǎn)一樣，都需花費元。3.4 建立函數(shù)模型例6：盧浦大橋拱形可

19、以近似看作拋物線的一部分。在大橋截面111000的比例圖上，跨度，拱高，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DEAB，如圖（1）。在比例圖上，以直線 AB 為軸，拋物線的對稱軸為軸，以作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2）。圖（一）圖（二）（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；（2）如果DE與AB的距離，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)： ，計算結(jié)果精確到1米）。解：（1）由于頂點C在軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為。 因為點或 ,在拋物線上，所以，得 。因此所求函數(shù)解析式為。（2）因為點的縱坐標為 ， 所以 ，得 。所以點 D 的坐標為，點

20、E 的坐標為。 。因此盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為：（米）說明：解決此類問題時，要善于選擇函數(shù)表達方式，并建立二次函數(shù)模型求解，找準解題的突破口。3.5 建立統(tǒng)計概率模型例7：下圖反映了被調(diào)查用戶對甲、乙兩種品牌空調(diào)售后服務的滿意程度（以下稱：用戶滿意程度），分為很不滿意、不滿意、較滿意、很滿意四個等級，并依次記為1分、2分、3分、4分。（1）分別求甲、乙兩種品牌用戶滿意程度分數(shù)的平均值（計算結(jié)果精確到0.01分）；（2）根據(jù)條形統(tǒng)計圖及上述計算結(jié)果說明哪個品牌用戶滿意程度較高？該品牌用戶滿意程度分數(shù)的眾數(shù)是多少？解：（1）甲品牌被調(diào)查用戶數(shù)為：50100200100450（戶）甲品牌滿意程度分數(shù)的

21、平均值：乙品牌滿意程度分數(shù)的平均值：答：甲、乙品牌滿意程度分數(shù)的平均值分別是2.78分、3.04分。（2）用戶滿意程度較高的品牌是乙品牌。因為乙品牌滿意程度分數(shù)的平均值較大，且由統(tǒng)計圖知，乙品牌“較滿意”、 “很滿意”的用戶數(shù)較多；該品牌用戶滿意程度的眾數(shù)是3分。 例8：小明拿著一個罐子來找小華做游戲，罐子里有四個一樣大小的玻璃球，兩個黑色，兩個白色。小明說：“使勁搖晃罐子，使罐子中的小球位置打亂，等小球落定后，如果是黑白相間地排列（如圖所示），就算甲方贏，否則就算乙方贏。”他問小華要當甲方還是乙方，請你幫小華出主意，并說明理由。解：小華當乙方。理由：設(shè)表示第一個黑球，表示第二個黑球，表示第一

22、個白球，表示第二個白球。有24種可能結(jié)果（可以利用樹狀圖或表格解釋），黑白相間排列的有8種。因此，甲方贏的概率為 ，乙方贏的概率為 ,故小華當乙方。說明：這兩道例題將統(tǒng)計、概率知識應用于解決日常生活中的問題，培養(yǎng)學生觀察、思考問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學的價值。4、建模在實際問題中的應用例9：投籃命中問題題目：老喬丹在38歲時第二次復出 ，表現(xiàn)依然神勇，在全場比賽還剩最后一秒時，華盛頓奇才仍以2分落后于紐約尼克斯，在這關(guān)鍵時刻，喬丹在三分線外出手了!已知籃球的飛行路線為拋物線，喬丹出手高度為2.37米，籃球在飛行了4米后達到最高3.37米，問喬丹此次能否力挽狂瀾。(三分線是以籃框中心在地面的投影為圓心

23、，6.25米為半徑的半圓；籃框的高度為3.05米)分析：引入的好壞在很大程度上關(guān)系到課堂教學的成敗，上面選擇多數(shù)同學關(guān)心的問題，構(gòu)造問題懸念，激發(fā)學生的興趣，引入新課，使學生體會到數(shù)學的樂趣和無窮的魅力。進而引導學生分析：(1)籃球的運行軌跡是什么形狀?(拋物線)(2)研究拋物線還需要什么?(平面直角坐標系)(3)怎樣建立平面直角坐標系?教師演示投籃動作，引導學生設(shè)想喬丹投籃時身體、籃球、籃框中心同在一個豎直的平面內(nèi)，并說明要建立平面直角坐標必須有兩條互相垂直的坐標軸，此時學生可能會有很多建立坐標系的方法，教師肯定這些方法在理論上都是可行的，不妨選取過喬丹的腳和籃框在地面的投影的直線為軸，喬丹身體所在直線為軸，建立坐標系。引導學生將題目中的提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為化點的坐標，利用頂點式求出拋物線的解析式，進而分析“投中”的含義：拋物線經(jīng)過點 ，驗證發(fā)現(xiàn)：時， ，喬丹投籃命中!問題(3)是解答本題的難點和關(guān)鍵，教師可進一步說明建立坐標系的多種方法，并通過比較說明建立適當?shù)淖鴺讼悼蓽p少運算，達到事半功倍的效果。最后，引導學生回顧分析和解答過程，得到解決實際問題的一般思維策略。例10：洗衣問題題目：給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服