二進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制及其相互轉(zhuǎn)換的公式-

1、計(jì)算機(jī)內(nèi)部是以二進(jìn)制形式表示數(shù)據(jù)和進(jìn)行運(yùn)算的;計(jì)算機(jī)內(nèi)的地址等信號(hào)常用十六進(jìn)制來(lái)表示,而人們?nèi)粘Ｓ至?xí)慣用十進(jìn)制來(lái)表示數(shù)據(jù)。這樣要表示一個(gè)數(shù)據(jù)就要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)字符號(hào)來(lái)規(guī)定其組合規(guī)律,也就是要確定所選用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制。各種進(jìn)位制都有一個(gè)基本特征數(shù),稱為進(jìn)位制的“基數(shù)”?；鶖?shù)表示了進(jìn)位制所具有的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)及進(jìn)位的規(guī)律。下面就以常用的十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制為例,分別進(jìn)行敘述。一.常用的三種計(jì)數(shù)制1.十進(jìn)制(Decimal十進(jìn)制的基數(shù)是10,它有10個(gè)不同的數(shù)字符號(hào),即0、1、2、3、9。它的計(jì)數(shù)規(guī)律是“逢十進(jìn)一”或“借一當(dāng)十”。處在不同位置的數(shù)字符號(hào)具有不同的意義,或者說(shuō)有著不同的“權(quán)

2、”。所謂的“權(quán)”就是每一位對(duì)其基數(shù)具有不同的倍數(shù)。例如,一個(gè)十進(jìn)制數(shù)為123.45=1×102十2×101十3×100十4×10-1十5×10-2等號(hào)左邊為并列表示法.等號(hào)右邊為多項(xiàng)式表示法,顯然這兩種表示法表示的數(shù)是等價(jià)的。在右邊多項(xiàng)式表示法中,1、2、3、4、5被稱為系數(shù)項(xiàng),而102、101、100、10-1、10-2等被稱為該位的“權(quán)”。一般來(lái)說(shuō),任何一個(gè)十進(jìn)制數(shù)”都可以采用并列表不法表不如下:N10=dn-1d n-2d1d 0. d-1d-2d-m其中,下標(biāo)n表示整數(shù)部分的位數(shù),下標(biāo)m表示小數(shù)部分的位數(shù),d是09中的某一個(gè)數(shù),即di(

3、0,1, 9。同樣,任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N都可以用多項(xiàng)式表示法表示如下:N10=dn-1×10n-1十十d1×101十d 0×100十d-1×10-1十十d-m×10-m其中,m、n為正整數(shù),di表示第i位的系數(shù),10i稱為該位的權(quán)。所以某一位數(shù)的大小是由各系數(shù)項(xiàng)和其權(quán)值的乘積所決定的。2.二進(jìn)制(Binary二進(jìn)制的基數(shù)是2,它只有兩個(gè)數(shù)字符號(hào),即0和1。計(jì)算規(guī)律是“逢二進(jìn)一”或“借一當(dāng)二”。例如: (101.012=1×23十1×22十0×21十1×20十0×2-1十1×2-2任何一個(gè)

4、二進(jìn)制數(shù)N都可以用其多項(xiàng)式來(lái)表示:N2=dn-1×2n-1十dn-2×2n-2十十d1×21十d 0×20十d-1×2-1十d-2×2-2十十d-m×2-m式中任何一位數(shù)值的大小都可以用該位的系數(shù)項(xiàng)di和權(quán)值2i的積來(lái)確定。3.十六進(jìn)制(Hexadecimal十六進(jìn)制的基數(shù)為16,它有16個(gè)數(shù)字符號(hào)、即09、AF。其中A、B、C、D、E、F分別代表十進(jìn)制數(shù)的10、11、12、13、14、15。各位之間“逢十六進(jìn)一”或者“借一當(dāng)十六”。各位的權(quán)值為16i。例如: (2C7.1F16=2×162十12×161

5、十7×160十1×16-1十15×16-2二.3種計(jì)數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換對(duì)于同一個(gè)數(shù),可以采用不同的計(jì)數(shù)制來(lái)表示,其形式也不同。如:(1110=(10112=(B161.R進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的方法具體的方法是先將其并列形式的數(shù)寫(xiě)成其多項(xiàng)式表示形式,然后,經(jīng)計(jì)算后就可得到其十進(jìn)制的結(jié)果。這種方法披稱為按權(quán)展開(kāi)法。對(duì)于一個(gè)任意的R進(jìn)制數(shù)N都可以寫(xiě)成如下形式:N=dn-1 dn-2d1 d0d -1d-2d-m=dn-1×Rn-1十十d1×R1十d 0×R0十d-1×R-1十十d-m×R-m其中,R為進(jìn)位基數(shù),Ri是對(duì)應(yīng)位的

6、權(quán)值,di為系數(shù)項(xiàng),特此式求和計(jì)算之后,即可以完成R進(jìn)制數(shù)對(duì)十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換。例如,寫(xiě)出(1101.012、(10D16的十進(jìn)制數(shù)。(1101.012=1×23十1×22十0×21十1×20十0×2-1十0×2-2,=8十4十1十0.25=13.25(10D 16=1×162十0×161十13×160=256+13=2692.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)觸方法十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)一般分為兩個(gè)步驟,即整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換和小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換。(1整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換除2取余法:這種方法是由于D10=N2=dn-1×2n-1十

7、dn-2×2n-2十d1×21十d0×20,所以具體方法是把給定的十進(jìn)制整數(shù)除以2,取其余數(shù)作為二進(jìn)制整數(shù)最低位的系數(shù)do,然后繼續(xù)將整數(shù)部分除以2,所得余數(shù)作為二進(jìn)制整數(shù)次低位的系數(shù)d1,一直重復(fù)下去,最后可以得到二進(jìn)制整數(shù)部分。例如,將(32710轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。327余數(shù)各項(xiàng)系數(shù)除以2=1631d0811d1401d2200d3100d450d521d610d701d8所以,(32710=d8 d7 d6 d5 d4 d3 d2d1 d0=(1010001112。此方法可擴(kuò)展為陳R取余法。如將R設(shè)為16,則可將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槭M(jìn)制整數(shù)。減權(quán)定位法:因?yàn)镈

8、10=N2=dn-1×2n-1十dn-2×2n-2十d1×21十d0×20,所以二進(jìn)制多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都有自己的權(quán)值。若該項(xiàng)系數(shù)值為d i=0,則該項(xiàng)值為0,否則d i應(yīng)為1。根據(jù)這一對(duì)應(yīng)關(guān)系,可提出減權(quán)定位的轉(zhuǎn)換方法:將十進(jìn)制數(shù)依次從二進(jìn)制高位權(quán)值進(jìn)行比較:若夠減則對(duì)應(yīng)位d i=1,減去該位權(quán)值后再往下比較;若不夠減則對(duì)應(yīng)值d i=0,越過(guò)該位與低一位的權(quán)值比較,如此進(jìn)行直到余數(shù)為0為止。例如,將(32710轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。因?yàn)?12(29>327>256(28,所以從權(quán)值256對(duì)應(yīng)值開(kāi)始比較。減權(quán)比較di位權(quán)327-256=71 1 28

9、71<12802771-64=71267<320257<160247<80237-4=31223-2=11211-1=0120所以,(32710=(1010001112。(2小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換的方法是采用乘2取整數(shù)表示法。由于D10=d-1×2-1十d-2×2-2十d-m×2-m,所以具體方法是把給定的十進(jìn)制小數(shù)乘以2,取其整數(shù)部分作為二進(jìn)制小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的第一位系數(shù);然后再將乘積的小數(shù)部分繼續(xù)乘以2,取所得積的整數(shù)部分作為小數(shù)后的第二位系數(shù);依次重復(fù)做下去,就可以得到二進(jìn)制小數(shù)部分。例如,將(0.8125 10。轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)。整數(shù)部分

10、系數(shù)部分2×0.8125=1.6251d-1=12×0.625=1.251d-2=12×0.25=0.50d-3=02×0.5=1.01d-4=1所以,(0.812510=d0 d-1 d-2 d-3 d-4=(0.11012。在計(jì)算中可以按照所需的小數(shù)點(diǎn)位數(shù),取其結(jié)果位近似值。此方法可以擴(kuò)展為乘R取整法.如將R變?yōu)?6,則可將十進(jìn)制小數(shù)部分直接變?yōu)槭M(jìn)制小數(shù)。3.二進(jìn)制與十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換(1二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制4位二進(jìn)制數(shù)的所有組合可表示十六進(jìn)制數(shù)的16個(gè)代碼,它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:二進(jìn)制:0000 0001 0010 0011 0100 0101

11、0110 0111十六進(jìn)制:0 1 2 3 4 5 6 7二進(jìn)制:1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111十六進(jìn)制:8 9 A B C D E F進(jìn)制轉(zhuǎn)換的具體方法:從小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始,分別向左、向右,每4位二進(jìn)制數(shù)為一組用十六進(jìn)制數(shù)值來(lái)書(shū)寫(xiě)。若小數(shù)點(diǎn)左側(cè)位數(shù)不是4的倍數(shù),則最左側(cè)用0補(bǔ)充;若小數(shù)點(diǎn)右側(cè)位數(shù)不是4的倍數(shù),則最右側(cè)用0補(bǔ)充。例如,(110110111.011012=(0001 1011 0111.0110 1000 2=(1B7.68 16。(2十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制具體的轉(zhuǎn)換方法是:將每個(gè)十六進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制數(shù)來(lái)書(shū)寫(xiě),轉(zhuǎn)化后最左側(cè)或者最右側(cè)的0在書(shū)寫(xiě)的時(shí)候可以省去。例如:(7AC.DE 16=(111 1010 1100.1101 1112例1:把(5/16 10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解:5/16=5×2-4=(101 2×(0.0001 2=(0.0101 2小數(shù)點(diǎn)向左移4位等于乘以2-4。例2:把(19.125 10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)。解:首先把整數(shù)部分(19