點到平面的距離的計算

1、預備知識(1)正射影的定義：(如圖1所示)從平面外一點P向平面引垂線，垂足為P,則點P叫做點P在平面上的正射影，簡稱為射影。同時把線段PP叫作點P與平面的垂線段。圖1點到平面距離定義：一點到它在一個平面上的正射影的距離叫作這點到這個平面的距離，也即點與平面間垂線段的長度。(3)四面體的體積公式1V-Sh3其中V表示四面體體積，S、h分別表示四面體的一個底面的面積及該底面所對應的高。(4)直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。(5)三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線也垂直。(6)二面角及二面角大

2、?。浩矫鎯鹊囊粭l直線l把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。圖2所示為平面與平面所成的二面角，記作二面角l，其中l(wèi)為二面角的棱。如圖在棱l上任取一點O,過點。分別在平面及平面上作l的垂線OA、OB,則把平面角AOB叫作二面簡便敘述，也把AOB稱作與平面所成的二面角1、定義法求點到平面距離(直接法)定義法求點到平面距離是根據(jù)點到平面的定義直接作出或者尋找出點與平面問的垂線段，進而根據(jù)平面幾何的知識計算垂線段長度而求得點與平面距離的一種常用方法。定義法求點到平面距離的關鍵在于找出或作出垂線

3、段，而垂線段是由所給點及其在平面射影間線段，應而這種方法往往在很多時候需要找出或作出點在平面的射影。以下幾條結論常常作為尋找射影點的依據(jù)：(1)兩平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。(2)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這個點在該平面內的射影在這個角的角平分線所在的直線上。(3)經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線。設斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等，則這條斜線在這個平面的射影是這個角的角平分線。(4)若三棱錐的三條棱長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的外心。例如圖4所示，所示的正方體ABCDABCD棱長為a

4、,求點A到平面ABD的距離。2、轉化法求點到平面距離有時候限于幾何體的形狀，不易直接尋找出點在平面的射影，或者由直接法作出的射影線段在所給幾何體中不易計算其長度，此時轉化法不失為一種有效的方法。轉化法即是將點到平面的距離轉化為另一點到平面間的距離的方法。轉化法依據(jù)主要有以下兩點：(1)若直線l/平面，則直線l上所有點到平面的距離均相等。若直線AB與平面交于點M,則點A、B到平面的距離之比為AM:BM。特別地，當M為AB中點時，A、B到平面的距離相等。3、等體積法求點到平面距離用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉換的思想，即要將所要求的垂線段置于一個四面體中，其中四面體的一個頂點為所給點，另外

5、三點位于所給點射影平面上，這里不妨將射影平面上的三點構成的三角形稱為底面三角形。先用簡單的方法求出四面體的體積，然后計算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式1V1Sh求出點到平面的距離ho在常規(guī)萬法不能輕松獲得結果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效率，達到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對的底面時，首選此方法。下面用等體積法求解上面?zhèn)鸍子.4、利用二面角求點到平面距離角。下面考慮點B到平面的距離。作BHOA,垂足為H,下面證明BH平面QAOB為二面角l的一個平面角OAl、OBl又QOAIOBOl平面AOB又QBH平面AOBBHl又QBHOA,OAIl=O,OA平面，l平面BH平面在RtOBH中，有BHOBsin