2算法的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1、算法的概念 教學(xué)設(shè)計(jì)杭州二中分校 陳海玲執(zhí)筆一內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是算法的起始課，主要內(nèi)容有：算法的概念、用自然語言描述算法。算法是一種解決問題的方法，是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要基礎(chǔ)。算法的思想有著廣泛的應(yīng)用性。在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟?，F(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題在算法概念的表述中，有范圍限定詞 “在數(shù)學(xué)中”，因此學(xué)習(xí)的內(nèi)容均為數(shù)學(xué)中的問題。有一個有前綴限制的基本特征詞“步驟”，前綴中，“按照一定規(guī)則” 指的是解決具體問題時的依據(jù)和表達(dá)方式，關(guān)注的是算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)（順序、條件和循環(huán)），也表示算法

2、具有有序性?！敖鉀Q某一類問題”，強(qiáng)調(diào)的是算法適用對象的常態(tài)，突出算法的研究價值以及它的普遍適用性，也表明特殊問題的解題與一般問題的算法，存在聯(lián)系又有區(qū)別?！懊鞔_和有限”，表示算法的每一步都是明確的、可執(zhí)行的，總的步驟是有限的。 算法有多種表示方法，其中自然語言描述與人的表達(dá)方式最接近，是學(xué)習(xí)其它描述方法的基礎(chǔ)。中國古代數(shù)學(xué)是以算法為主要特征，并蘊(yùn)涵著豐富的算法思想。現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法喚發(fā)出新的生機(jī)和活力，并使之成為當(dāng)代社會必備的基本知識。算法進(jìn)入高中必修內(nèi)容正是反應(yīng)了時代的需要。算法具有的基本邏輯結(jié)構(gòu)與形式邏輯結(jié)構(gòu)存在對應(yīng)關(guān)系，有著豐富的邏輯思維材料。算法思想貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容之中，

3、有著豐富的層次遞進(jìn)的素材。因此，算法的學(xué)習(xí)對整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著“源”與“流”的關(guān)系。又由于算法的具體實(shí)現(xiàn)上可以和信息技術(shù)相結(jié)合。因此，算法的學(xué)習(xí)十分有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和實(shí)踐能力，發(fā)展他們有條理的思考與表達(dá)的能力，同時可以讓他們知道如何利用現(xiàn)代技術(shù)解決問題。    二目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1在解特殊的二次一次方程組到得出一般二元一次方程組的解法的過程中，讓學(xué)生對算法的概念有一個初步認(rèn)識，并了解算法是如何表示的。2在判定7，35、1949和整數(shù)n (n>1)是否為質(zhì)數(shù)的過程中，進(jìn)一步理解算法的概念，學(xué)習(xí)算法的自然語言

4、表示，認(rèn)識算法的特征、作用和優(yōu)勢。3在得出用二分法求方程一個近似解的算法的過程中，初步運(yùn)用算法概念，體會算法自然語言描述形成的過程，會初步用自然語言描述算法。在實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的過程中，需要適時、恰當(dāng)?shù)亟桀}發(fā)揮，使學(xué)生體會算法的思想，了解算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)觀察、表達(dá)能力和邏輯思維能力。因此，本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)是，通過一些具體問題，引導(dǎo)學(xué)生變過去關(guān)注解決問題為關(guān)注解決問題過程的邏輯結(jié)構(gòu)，通過解法與算法的比較，體會算法思想，形成算法概念，并會用自然語言描述一些具體問題的算法。    三教學(xué)問題診斷算法對學(xué)生來說并不遙遠(yuǎn)。比如列方程解應(yīng)用題，證明函數(shù)的單調(diào)性，求曲線的方程

5、，等，都是學(xué)生碰到過的算法的問題，但是，在此之前并沒有明確提出“算法”的概念，學(xué)生原有的經(jīng)歷為算法學(xué)習(xí)提供了良好的條件。由于算法至今沒有公認(rèn)的定義，算法概念的建立需要與認(rèn)識它的特征相聯(lián)系，這拉大了算法概念與學(xué)生原有體驗(yàn)之間的距離，從而可能會造成學(xué)生概念理解上的偏差。因此，算法概念的形成需要搭建臺階，使學(xué)生運(yùn)用已知建立新知，與此同時還要特別注意防止算法概念的泛化。算法的實(shí)質(zhì)是將人的思維過程處理成計(jì)算機(jī)能夠一步一步執(zhí)行的步驟，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一步一步執(zhí)行的程序.這決定了算法概念的形成與學(xué)生的觀察能力，表達(dá)能力和邏輯思維能力有著直接聯(lián)系。在以班級為單位的教學(xué)中，面臨能力發(fā)展不平衡，產(chǎn)生部分學(xué)生算法學(xué)習(xí)有困

6、難，因此，需要在教學(xué)中把握好適應(yīng)面較廣、符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的切入點(diǎn)。通常，特殊問題的解的過程只是解法而不是算法，算法是解決一般（一類）問題（要與數(shù)學(xué)有關(guān)）的，即不進(jìn)入到一般問題的層面就得不到算法，而一般問題往往遠(yuǎn)離學(xué)生原有的基礎(chǔ)，需要通過搭建解決特殊問題這一臺階，幫助學(xué)生進(jìn)入一般問題。在這樣的情境中，學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)需要由特殊轉(zhuǎn)到一般，這對許多學(xué)生來講是有困難的，需要教師設(shè)計(jì)問題或情境幫助學(xué)生加以克服，因此，這是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一。解決這一難點(diǎn)需要在教學(xué)中設(shè)計(jì)好問題，并給學(xué)生提供思維的時間，并在問題引導(dǎo)下，實(shí)現(xiàn)關(guān)注點(diǎn)的轉(zhuǎn)移。算法是一種解決問題的方法，特別擅長處理具有條件、循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題，有其特有的

7、作用和價值，這是學(xué)生原來沒有體會過的，若教學(xué)中對此忽視，學(xué)生算法學(xué)習(xí)時的關(guān)注會缺少思維量，只停留在低層次上。因此，需要教師結(jié)合問題創(chuàng)設(shè)學(xué)生活動情境，促成學(xué)生關(guān)注算法中存在的邏輯結(jié)構(gòu)，并予以揭示。算法的自然語言描述與高中學(xué)生具備的表達(dá)方式雖有不同但也有聯(lián)系，相比算法的其它描述方法，自然語言描述最接近學(xué)生現(xiàn)有的表達(dá)方式。因此，對只有順序結(jié)構(gòu)的算法描述時，學(xué)生是容易寫出這類問題算法的。教師在小結(jié)時，只需指出：寫算法要按順序，每步要明確（可執(zhí)行），總體是有限步即可。對涉及條件、循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法時，由于需要表示算法中存在的結(jié)構(gòu)，而學(xué)生原來沒有接觸過這種表達(dá)，因此，這也是本節(jié)課的一個教學(xué)難點(diǎn)。解決這一難點(diǎn)，

8、需要在教學(xué)中給學(xué)生提供嘗試的機(jī)會，在他們發(fā)生困惑，產(chǎn)生問題后給予指導(dǎo)，幫助他們學(xué)會用遞歸語言描述算法。 四教學(xué)支持條件分析為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可，可以借助計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器來參與運(yùn)算或表達(dá)算法.通過計(jì)算機(jī)演示幫助學(xué)生體會算法學(xué)習(xí)的作用和價值.五教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）課題引入教師介紹：圖中的前景有算籌、算盤、計(jì)算機(jī),介紹計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的重大貢獻(xiàn)，引出計(jì)算機(jī)的工作原理算法。后景取自宋朝數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)作品四元玉鑒，借此介紹我國古代數(shù)學(xué)在算法方面的偉大成就?？v觀章頭圖，從古到今，算法始終扮演著重要的時代角色。提問：什么是算法？引出課題。設(shè)計(jì)意圖：要充分挖掘章頭圖教學(xué)價值，它至少可以體現(xiàn)：1

9、）算法概念的由來；2）我們將要學(xué)習(xí)的算法與計(jì)算機(jī)有關(guān)；3）展示中國古代數(shù)學(xué)的成就；4）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)算法興趣。5）借問題自然引出課題。（二）問題情境，引出算法概念問題1：你能寫出求解二元一次方程組： 的步驟嗎？設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生具備的認(rèn)識水平出發(fā)，歸納解二元一次方程組的求解步驟。從而讓學(xué)生經(jīng)歷算法分析的基本過程，并在此過程中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注更具一般性解法，形成解法向算法過渡的準(zhǔn)備，為建立算法概念打下基礎(chǔ)。師生活動：讓學(xué)生解方程組。收集學(xué)生的不同解答，再與教科書上的解答作比較。問題2 你們所寫的解答和教科書有什么不同？教科書提供的解答有什么特點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注書上表達(dá)方式的明顯地步驟性特征，

10、關(guān)注解的過程的邏輯結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生明白解法和算法的差異師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從表達(dá)方式上、解的方法上進(jìn)行對比，讓學(xué)生對比后回答1。同學(xué)們寫的是解法，關(guān)注的是解，書上寫的是解題步驟具有明顯的步驟性特征2。同學(xué)們用的是加減代入消元法解方程組，書上兩次用的讀是加減消元法等。教師：投影用加減消元法求解的步驟，問：參照本題解法，你能完成下面問題嗎？請一試。問題3：寫出求方程組的解的步驟.設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)習(xí)解特殊二元一次方程組基本步驟的基礎(chǔ)上進(jìn)一步復(fù)習(xí)回顧解一般的二元一次方程組的步驟，目的是讓學(xué)生明白算法是用來解決某一類問題的，從而提高學(xué)生對算法的普遍適用性的認(rèn)識，為建立算法的概念做好鋪墊.師生活動：讓學(xué)生寫出

11、求解步驟后，教師：投影顯示解題步驟：第一步，得.第二步，解，得. 第三步,得.第四步,解,得.第五步,得到方程組的解為:.教師：1引導(dǎo)學(xué)生分析上述解題過程的結(jié)構(gòu)。2提出以上步驟就是求一般的二元一次方程組的解的算法.3說明：把它編成程序就可以用計(jì)算機(jī)來解二元一組方程組了。用事先編好的程序，讓學(xué)生輸入數(shù)據(jù)，計(jì)算機(jī)直接給出方程組的解.（三）分析歸納，得到算法概念  問題4。到底什么是算法？如何表達(dá)算法的含義？設(shè)計(jì)意圖：有了上面所舉實(shí)例，學(xué)生對算法的概念開始有了一些認(rèn)識，但對概念的比較全面的描述還有一定的困難.教師在此處設(shè)問后，再通過幫助學(xué)生回顧上面關(guān)于算法的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納

12、總結(jié).讓學(xué)生切實(shí)參與到概念的形成過程中來.師生活動：教師在提出問題后，一定要給學(xué)生思考時間，讓學(xué)生先用自己的語言表達(dá)對算法概念的理解，在學(xué)生思考、交流、回答的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生看書，讓同學(xué)們看看自己所歸納的算法的概念和課本中概念的差異，幫助學(xué)生初步認(rèn)識算法的概念.算法的概念:在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題    教師：結(jié)合問題3你能說說這里面關(guān)鍵詞的含義嗎？(四)解決問題，促進(jìn)理解算法概念，學(xué)習(xí)算法自然語言描述過渡語：聯(lián)系時事、地域與質(zhì)數(shù)有關(guān)的問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知

13、欲。問題5 ，寫出判斷7是否為質(zhì)數(shù)的步驟.設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生已有的認(rèn)識水平出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生可以完成的體驗(yàn)情境，認(rèn)學(xué)生認(rèn)識求解結(jié)構(gòu)中存在“重復(fù)”。為導(dǎo)出一般問題的算法創(chuàng)造條件，也為學(xué)習(xí)算法的自然語言表示提供時機(jī)。.師生活動：教師提問：1.什么是質(zhì)數(shù)？（引導(dǎo)學(xué)生回憶質(zhì)數(shù)概念）2.如何判斷一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？如何把判斷過程的基本步驟有條理的寫出來？讓學(xué)生寫算法的步驟，交流并點(diǎn)評學(xué)生寫的算法步驟.體會如何從算法的角度思考質(zhì)數(shù)的判定，體會算法的特征，知道下列表述的步驟是不明確的，所以都不是算法：（1）因?yàn)?至6的整數(shù)都不能整除7，所以7是質(zhì)數(shù).（2）第一步，用2除7，得到余數(shù)不為0，所以2不能整除7

14、.     第二步，同理，3至6的整數(shù)都不能整除7，所以7是質(zhì)數(shù).糾正學(xué)生所寫基本步驟后，教師接著提出問題：問題6 你能寫出判定35是否為質(zhì)數(shù)的算法嗎？設(shè)計(jì)意圖：35是偶數(shù)的代表，為判斷任意給定一個大于2的整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)奠定基礎(chǔ)。師生活動：讓學(xué)生試著寫一寫，可能會出現(xiàn)不同情況.教師有針對性地進(jìn)行相應(yīng)講解.第一步，用2除35，得到余數(shù)為1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余數(shù)為2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余數(shù)為3.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余數(shù)為0.因?yàn)橛鄶?shù)為

15、0，所以5能整除35.所以35不是質(zhì)數(shù)學(xué)生完成后；教師提問：兩個解法有何相同之處？有何不同之處？    教師在學(xué)生回答后小結(jié)：對7是在試完1到6后才知道是質(zhì)數(shù)，對35在試到5時，也就是在試的過程中，就得出不是質(zhì)數(shù)，故沒試完；不管哪個數(shù)，判斷過程都是按一定規(guī)則有序進(jìn)行的，都存在著“重復(fù)”這樣的結(jié)構(gòu)。問題7 你能寫出判斷1949是否是質(zhì)數(shù)的算法嗎？設(shè)計(jì)意圖：1949是一個具體的數(shù)字，而且是一個比較大，無法用幾個順序結(jié)構(gòu)的步驟就能表達(dá)清楚的算法問題，設(shè)計(jì)1949過渡，讓學(xué)生從具體數(shù)的質(zhì)數(shù)判斷過程中認(rèn)識循環(huán)結(jié)構(gòu)，為一般的質(zhì)數(shù)判斷問題做準(zhǔn)備。師生活動：數(shù)字太大，像判定7是否

16、為質(zhì)數(shù)那樣去判定1949是否為質(zhì)數(shù)是一件很困難的事情.因此，學(xué)生可能會寫出下列步驟：第一步，用2除1949，得到余數(shù)為1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以2不能整除1949.第二步，用3除1949，得到余數(shù)為2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以3不能整除1949.第三步，用4除1949，得到余數(shù)為1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以4不能整除1949第一千九百四十七步，用1948除1949，得到余數(shù)為1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以1948不能整除1949因此，1949是質(zhì)數(shù).但是，上述表述的過程不是算法.事實(shí)上，“”你知我知，對計(jì)算機(jī)來說就是不明確的。從問題7知道，一個算法步驟中不能出現(xiàn)類似“”的步驟，但對于像1949這樣大的數(shù)，要像

17、判定7是質(zhì)數(shù)那樣的寫出判定其是質(zhì)數(shù)的所有步驟是不現(xiàn)實(shí)的.那么，在不改變“規(guī)則”的前提下怎樣表達(dá)這個算法呢？引導(dǎo)學(xué)生分析并認(rèn)識到，在問題5中，判定7是否為質(zhì)數(shù)的每一個步驟，除了除數(shù)不同外其余的內(nèi)容是一致的.如果用i表示除數(shù)，那么所有步驟都包含以下內(nèi)容：“用i除7，得到余數(shù)為r.因?yàn)閞不為0，所以i不能整除7.”在問題6中，只要把被判定的數(shù)7改為1949，則每一步均包含以下內(nèi)容：“用i除1949，得到余數(shù)為r.因?yàn)閞不為0，所以i不能整除1949.”因此，我們可以把判定1949是否為質(zhì)數(shù)的算法寫為：第一步，令i=2.第二步，用i除1949，得到余數(shù)為r.第三步，判斷r是否為0.若是，則1949不是

18、質(zhì)數(shù)；否則把i的值增加1仍記為i.第四步，判斷“i>1948”是否成立.若是，則1949是質(zhì)數(shù)；若否，返回第二步.問題8 任意給定一個大于2的整數(shù)n，能否設(shè)計(jì)一個算法對n是否為質(zhì)數(shù)做出判斷？設(shè)計(jì)意圖：在問題7學(xué)生活動的基礎(chǔ)上，通過學(xué)生活動，得出該問題的算法，從而促進(jìn)學(xué)生對算法概念的進(jìn)一步理解，感受算法的作用和優(yōu)勢，學(xué)習(xí)算法的自然語言描述，同時，引入學(xué)生關(guān)注算法中存在的結(jié)構(gòu)。師生活動：讓學(xué)生將1949改為任意大于2的整數(shù)，改寫算法，得出“判定整數(shù)n（n>2）是否為質(zhì)數(shù)”的算法.得出問題8算法（見教材例1算法）后，教師提問此時，你是如何理解算法的？教師小結(jié)：扣住下面問題。1用四步就可以

19、解決問題6的算法，雖然沒有使我們直接看到結(jié)果，但可以由計(jì)算機(jī)去解決了。（理解定義中：算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題）即學(xué)習(xí)了算法，我們又增加了一種解決問題的方法（當(dāng)然要借助計(jì)算機(jī)，說明算法的作用與優(yōu)勢）2算法可以用自然語言描述，描述算法的步驟一定是有限的，這是算法有限性特征；描述的算法具有“按部就班”的特點(diǎn)，這是算法“有序性”的特征；算法的第一步的表達(dá)要求“明確”，以便于編程讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行，這是算法明確性的特征；3在解決問題過程中，對于反復(fù)進(jìn)行的步驟,可以用遞歸語言進(jìn)行描述. 此時，通常分三個步驟:首先要給一個初始值,接著表達(dá)重復(fù)做的事情,最后要進(jìn)行終止判斷.這類問題的背后含

20、有算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)。問題9.寫出用 “二分法”求方程x2-2=0（x>0）的近似解的算法.設(shè)計(jì)意圖：二分法是算法中的經(jīng)典問題，具有明顯的順序和可操作的特點(diǎn)通過此例可以讓學(xué)生進(jìn)一步了解算法的邏輯結(jié)構(gòu)，領(lǐng)會算法的思想，體會算法的的特征。同時也可以達(dá)到鞏固用自然語言描述的算法，提高用自然語言描述算法的表達(dá)水平.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析在二分法求方程近似解過程中所包含的基本邏輯結(jié)構(gòu)，尤其關(guān)注其中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)。然后展示其算法。（主要考慮時間比較緊）在設(shè)計(jì)算法的時候可以先不考慮精確度，在學(xué)生活動后，教師提出，在現(xiàn)有條件下，可以得到方程根存在的區(qū)間會越來越小，但我們的操作則永遠(yuǎn)不能停止。因

21、此，需要引入能夠控制，使算法具備有“有限”的量，這就是精確度。教師與學(xué)生共同得出本題算法： 第一步，令.給定精確度.第二步,  給定區(qū)間,滿足.第三步,取中間點(diǎn).第四步,若則含零點(diǎn)的區(qū)間為;否則含零點(diǎn)的區(qū)間為.將新得到的含零點(diǎn)的仍然記為. 第五步, 判斷的長度是否小于或者是否等于.若是，則是方程的近似解;否則，返回第三步在完成上述算法表達(dá)的基礎(chǔ)上，教師指出：1如果沒有精確度要求，該算法將無法終止。（通過精確度強(qiáng)調(diào)算法的“有限性”）。2引導(dǎo)學(xué)生分析該算法的邏輯結(jié)構(gòu)。（了解算法中存在的順序、條件和循環(huán)結(jié)構(gòu)）3給出精確度，指導(dǎo)領(lǐng)學(xué)生看教材,結(jié)合必修3第4頁上有關(guān)內(nèi)容.說明按以上步驟，我們將依次得到表1-1和圖1.1-1.于是，開區(qū)間（1.4140625，1.41796875）中的實(shí)數(shù)都是滿足假設(shè)條件的原方程的近似解. 4改變輸入的函數(shù)表達(dá)式，給定精確度后，上面算法可以求所有方程的近似解，因此，它是算法。通過“二分法”求方程的近似解的算法與解法的比較，發(fā)現(xiàn)算法一般都是沒有具體結(jié)果的，而解法結(jié)果都是確定的，從而強(qiáng)調(diào)算法通常是針對解決一類問題而言的。（五）歸納小結(jié)將本節(jié)的主要內(nèi)容以問題的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生通過思考和回答問題，達(dá)到回顧和總結(jié)的目的問題1：你能舉出更多算法的例子嗎？設(shè)計(jì)意圖：以舉例的形式使學(xué)生體會算法的思想，以此評價他們對算法的概念以