培優(yōu)專題幾何證明題(含答案)

1、如何做幾何證明題【知識精讀】 1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法： （1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進，直到問題的解決； （2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止； （3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，

2、比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。【分類解析】1、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也

3、經(jīng)常用到。 例1. 已知：如圖1所示，中，。求證：DEDF 例2. 已知：如圖2所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF 2、證明直線平行或垂直：在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。 例3. 如圖3所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KHBC 例4. 已知：如圖4所示，ABAC，。求證：FDED 3、證明一線段和的問題（一）在較長線

4、段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法） 例5. 已知：如圖6所示在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。 求證：ACAECD （二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法） 例6. 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。求證：EFBEDF 4、中考題： 例7、 如圖8所示，已知為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AEBD，連結(jié)CE、DE。 求證：ECED 題型展示：證明幾何不等式： 例8、 例題：已知：如圖9所示，。 求證： 【實戰(zhàn)模擬】1. 已知：如圖1

5、1所示，中，D是AB上一點，DECD于D，交BC于E，且有。求證： 2. 已知：如圖12所示，在中，CD是C的平分線。求證：BCACAD3. 已知：如圖13所示，過的頂點A，在A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點。 求證：MPMQ 4. 中，于D，求證：參考答案例1、分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中點，可考慮連結(jié)CD，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn) 證明：連結(jié)CD 說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因為CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。

6、本題亦可延長ED到G，使DGDE，連結(jié)BG，證是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。 例2、證明：連結(jié)AC 在和中， 在和中， 說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應(yīng)注意： （1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量； （2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。例3、分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延長AH交BC于N，則BABN，AHHN。同理，延長AK交BC于M，則CACM，AKKM。從而由三角形的中位線定理，知KHBC。 證明：延長AH交BC于N，延長AK交BC于M BH平分ABC 又BHAH BHBH 同理，CACM，AKKM 是的中位線

7、 即KH/BC 說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。例4、證明一：連結(jié)AD 在和中， 說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。 證明二：如圖5所示，延長ED到M，使DMED，連結(jié)FE，F(xiàn)M，BM 例5、 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得： 證明：在AC上截取AFAE 又 即例6、 分析：此題若仿照例1，將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至G，使BGDF。 證明：延長CB至G，使BGDF 在正方形ABCD中， 又 即GAEFAE 例7、 證明：作DF/AC交BE于F 是正三角形 是正三角形 又AEBD 即EFAC 證明一：延長AC到E，使AEAB，連結(jié)DE 在和中， 【試題答案】 1. 證明：取CD的中點F，連結(jié)AF 又 2. 分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補短”的手法?！敖亻L”即將長的線段截成兩部分