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1、超越復數(shù)的三元數(shù) 從復平面到三維數(shù)空間河北省武安市駢山中學白爍星韓江燕摘要:本文通過引入空間直角坐標系,從清晰、簡明的解析原理出發(fā),利用數(shù)形合一的數(shù)學思想,建立了空間數(shù)系的理論。作者在文中闡述了三元數(shù)運算的一般法則及重要性質(zhì),并給出以下有趣結(jié)論:一、一般地,一個三元數(shù)的n次方根有n個,分布在空間中與復平面成某一角度的一個圓上。二、任一給定三元數(shù)可求其指數(shù)函數(shù)。特別地,歐拉公式是三元數(shù)理論中的一個特例。關鍵詞:三元數(shù);數(shù)平面;數(shù)空間;根;方程中圖分類號:0153.5   泛代數(shù) 一、引言 自從認識到復數(shù)運算等同于平面上一種點的演算體系,就有數(shù)學家提出這一問

2、題:能不能找到一種空間數(shù)系,其中每一個三元數(shù)對應于空間中的一個點?首先數(shù)學家們希望新數(shù)系能盡可能多地保留復數(shù)的優(yōu)美性質(zhì),并與原有代數(shù)理論保持和諧一致,同時,人們自然也期望在新數(shù)系中能發(fā)現(xiàn)一些以前不曾有的東西。本篇論文恰好回答了上述問題。 二、三元數(shù)的概念與表示法 1.三元數(shù)的概念1.1 定義      1.2 三元數(shù)  形如的數(shù)叫做三元數(shù)。三元數(shù)通常用一個字母來表示,即全體三元數(shù)構(gòu)成的集合叫做三元數(shù)集,用字母A來表示。1.3 三元數(shù)相等的條件若()則特別地,1.4 三元數(shù)空間建立了空間直角坐標系來表示三元數(shù)的空間叫做三元數(shù)空間,簡稱數(shù)

3、空間。于是:實數(shù)一一對應實軸上的點;復數(shù)一一對應復平面內(nèi)點;三元數(shù)一一對應數(shù)空間內(nèi)點2.三元數(shù)的表示2.1 三元數(shù)的代數(shù)形式三元數(shù)叫做三元數(shù)的代數(shù)形式。2.2 三元數(shù)的幾何表示三元數(shù)的點表示   三元數(shù)空間內(nèi)的點表示三元數(shù)。三元數(shù)的向量表示   三元數(shù)可以用向量來表示,三元數(shù)集A與三元數(shù)空間內(nèi)所有以原點O為起點的向量所組成的集合一一對應(實數(shù)0與零向量對應),即三元數(shù)一一對應空間向量2.3 三元數(shù)的三角形式 三元數(shù)的模  與三元數(shù)對應的向量的模(即有向線段OP的長度)r叫做三元數(shù)的模(或絕對值)。記作或,易知三元數(shù)模的幾何意義是:三元

4、數(shù)在數(shù)空間內(nèi)對應的點到原點的距離。三元數(shù)的輻角與傾角   數(shù)空間可看作復平面繞x軸旋轉(zhuǎn)而成,x軸與空間點可唯一確定一個平面,該平面與復平面的夾角稱三元數(shù)的傾角,平面稱傾角為的數(shù)平面,特別地,復平面是傾角為O的數(shù)平面,無數(shù)個數(shù)平面形成了數(shù)空間。當點落在x軸上時,傾角值不定,也就是說:實數(shù)的傾角值不定。以x軸的正半軸為始邊,向量所在的射線(起點是O)為終邊的角,叫做三元數(shù)的輻角,記做。輻角的主值   在區(qū)間內(nèi)的輻角的值,叫做輻角的主值,記作,即0arg p。非0三元數(shù)的輻角有無限多個值,但輻角的主值只有一個,三元數(shù)0的輻角不定。三元數(shù)的三角形式 &

5、#160; 三元數(shù)可以表示成叫做三元數(shù)的三角形式。說明:三元數(shù)的代數(shù)形式是唯一的,但三角形式不是唯一的。代數(shù)形式與相對應的三角形式的互化公式:;求r:;求:一般地,時,;時,值不定;求:由點的所在象限及共同確定(一般取最小正角)。例1:求的三角形式解:;由知角位于第一象限,又,,得;所以數(shù)的三角形式為: 三、三元數(shù)的運算 三元數(shù)的代數(shù)形式的運算    說明:三元數(shù)的加法與乘法滿足交換律以及乘法對加法的分配律。一般地,當且僅當三個三元數(shù)在同一個數(shù)平面上時,它們的乘法滿足結(jié)合律。由于復平面是傾角為0的數(shù)平面,所以同在復平面上的三個數(shù)總是滿足結(jié)合律。

6、在復平面上成立的結(jié)論,在其它數(shù)平面上也成立。關于兩個三元數(shù)如何作除法運算,可依三元數(shù)相等的定義及乘法公式求得。例1:已知,求解:依定義,例2:已知,求:解:令則有 即聯(lián)立方程組得:  對方程組求解得所以 這顯然與例1的結(jié)論一致。例3:已知,求的倒數(shù)=?解:依倒數(shù)的定義,設是的倒數(shù),則有 即聯(lián)立方程組得:對方程組求解得:所以的倒數(shù)為注意到,不難發(fā)現(xiàn)在復數(shù)理論中的倒數(shù)顯然是,這里,三元數(shù)理論與復數(shù)理論也保持了驚人的一致。三元數(shù)加減法的幾何意義三元數(shù)的加法滿足平行四邊形法則,減法滿足三角形法則。一個向量對應的三元數(shù),等于終點對應的三元數(shù)減去起點對應的三元數(shù)。三元數(shù)與復數(shù)及實數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

7、復數(shù)是實數(shù)的擴充,三元數(shù)是復數(shù)的擴充,要特別注意三元數(shù)與復數(shù)及實數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應,復數(shù)與復平面內(nèi)的點、復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應,三元數(shù)與數(shù)空間內(nèi)的點、數(shù)空間內(nèi)以原點為起點的向量一一對應。兩個實數(shù)可以比較大小,有關不等式的一些性質(zhì)僅限于實數(shù)集中成立。三元數(shù)的模是實數(shù)及復數(shù)絕對值的擴充,實數(shù)與復數(shù)的絕對值是三元數(shù)模的特例,因此,三元數(shù)模的所有性質(zhì)對實數(shù)絕對值都成立,,而實數(shù)絕對值的一些性質(zhì)對三元數(shù)模則不一定成立。,在為實數(shù)時表示兩個點,在為復數(shù)時表示單位圓,在為三元數(shù)時表示單位球。實數(shù)集對加、減、乘、除、乘方運算封閉;復數(shù)集與三元數(shù)集對加、減、乘、除、乘方、開方運

8、算封閉。一元次方程在復數(shù)集中有且僅有個根,在三元數(shù)集中,一元次方程可以有多于個的根,甚至有無窮多個根存在。三元數(shù)三角形式的運算1.     三元數(shù)的乘方   三元數(shù)的次冪的模等于這個三元數(shù)的模的次冪,它的輻角等于這個三元數(shù)的輻角的倍,而傾角不變。特別地,當時得:此即復平面上的棣莫佛定理,在這里成為了三元數(shù)乘方的一個特例。2.     三元數(shù)的開方  三元數(shù)的次方根是注意:一般地(指不為實數(shù)時),三元數(shù)總有固定的傾角,這時三元數(shù)的次方根是個三元數(shù),它們的模等于這個三元數(shù)的模的次算術根,它

9、們的輻角分別等于這個三元數(shù)的輻角與的0,1,2,-1倍的和的分之一,而傾角不變。為實數(shù)時,傾角值不定,需解參數(shù)方程:例1:求-1的平方根=?解: 設是-1的平方根,依定義,即 聯(lián)立方程組得:求之得即其中。解: 先將-1化成三角形式再利用參數(shù)方程顯然,不論k=0,1,均有這與解的結(jié)論一致。易知-1的平方根是它的幾何意義是數(shù)空間中以原點為圓心,垂直于復平面,在平面yoz上的單位圓,其與復平面的交點恰好是i與-i兩個點,-1在復平面上有且僅有兩個根,在數(shù)空間中卻有整整一個圓的根存在。這是給出定義,時所不曾預料的事情!需要指出的是:求一個三元數(shù)的次方根,當=2時,勉強可利用定義解代數(shù)方程求得,當n較大

10、時,用三元數(shù)的三角形式求解較為簡單。三元數(shù)開方的幾何意義一般地,三元數(shù)(指不為實數(shù)時)開次方的個根在數(shù)空間內(nèi)所對應的個點均勻地分布在以原點為圓心,為半徑,與復平面的傾角為的數(shù)空間中的一個圓上。當然,當為實數(shù)時,其次方根的幾何意義依然可利用三元數(shù)的求方根公式進行討論,讀者不妨自行一試。 四、三元數(shù)與方程 1.先研究形如的一元一次方程,這里,則有依定義相乘得三元一次方程組:只需研究行列式:由線性方程組知識:當時,方程組有唯一解,從而解方程組后可求。注意到,所以只需要求,方程即可得解,詳細過程在此不多述。2.再來研究形如的二項方程由于三元數(shù)運算一般不滿足結(jié)合律,這里必須首先明確運

11、算順序:應先作乘方運算,再作乘法運算,與實數(shù)的運算順序一致。首先令問題轉(zhuǎn)換為:而限制,由前面知識知唯一可求。在求得唯一解后,問題轉(zhuǎn)化為:,而求解一個已知三元數(shù)的次方根,顯然可利用前面所講的三元數(shù)求方根公式予以解決之。于是當時,可以順利解出形如的二項方程。 五、三元數(shù)函數(shù)的簡單推廣及綜合評論 通過引入定義;現(xiàn)在已能對兩個三元數(shù)作加、減、乘、除等四則運算,對單個三元數(shù)可進行乘方、開方的運算,這都屬于初等數(shù)學中代數(shù)運算的范疇,下面對三元數(shù)函數(shù)作一簡單推廣,研究如何求得任一給定三元數(shù)的指數(shù)函數(shù)。定義:  先研究的指數(shù)函數(shù),將帶入并整理得   

12、                        可以給出嚴格的證明,在整個數(shù)空間內(nèi)是收斂的。令,在中即可得到此即著名的歐拉公式,這里可以從三元數(shù)理論中推導得出,從而是三元數(shù)理論中的一個特例。當時,代入得:              

13、0;    此即求任一三元數(shù)指數(shù)函數(shù)的公式。例1:已知,求解:先將化成三角形式代入公式得   站在更高的角度,可以觀察到數(shù)學在更高層次上的統(tǒng)一,復數(shù)的代數(shù)形式與極坐標的統(tǒng)一,三元數(shù)的代數(shù)形式與球坐標的統(tǒng)一。丘成桐先生說的好!我們發(fā)展一個一般理論,其目的并不是為了服務于其它學科,而是基于它自身的完美以及達到和諧統(tǒng)一。數(shù)學公式雖然常用來進行計算,但其更根本的作用則是首先闡明了各個變量之間的關系。偉大的數(shù)學公式總是簡潔、優(yōu)雅而和諧,猶如數(shù)學王國中的金字塔,具有震撼人心的、雕塑般的、永恒的美! 六、三元數(shù)數(shù)學思想的源由及重要定理&#

14、160;復數(shù)演算同化于平面上點的一種演算體系,當這個觀念一出現(xiàn),就有一些數(shù)學家提出這樣的問題:關于空間中的點有沒有類似的演算體系?許多數(shù)學家對此進行了深入的探討,其中對數(shù)系理論貢獻最大的當屬19世紀英國的數(shù)學家哈密頓,哈密頓已經(jīng)想到在形式上兩個三元數(shù)自然應該是,令,則有由于每個復數(shù)都有模與之相聯(lián)系,且復數(shù)的乘法滿足“模律”:取得    實際上式是七世紀印度數(shù)學家波羅摩笈多早已發(fā)現(xiàn)過的東西。哈密頓進而將三元數(shù)與長度聯(lián)系起來,他要求三元數(shù)也必須滿足模律:即則有         &

15、#160;         經(jīng)過試算驗證,當然,一般地,式并不成立,于是哈密頓最終放棄了對三元數(shù)的研究,在數(shù)學史上,哈密頓是以四元數(shù)理論得以名傳后世的,筆者在此不再贅述。令人遺憾的是:哈密頓其實離成功只有一步之遙。象他這樣的數(shù)學家應當明白:如果一個數(shù)學命題在一般情形下不成立,那就應該進一步去研究,在某些限定的條件下,該命題是否成立,而這恰是解決問題的關鍵。下面對式的左邊展開,進一步變形整理得:          &#

16、160;        顯然,當且僅當時,式成立,也即“模律定理”成立。由、式即得到三元數(shù)理論中最重要的一個定理,稱之為“模律定理”。注意到,由空間解析幾何知識知,此條件表示一個經(jīng)過x軸的平面的代數(shù)方程,也即三元數(shù)理論中一個數(shù)平面的方程,據(jù)此,模律定理可敘述為:兩個三元數(shù)的積的模,當且僅當兩個三元數(shù)在同一個數(shù)平面上時,等于兩個三元數(shù)的模的積。由于所有的復數(shù)都位于傾角為0的數(shù)平面復平面上,當然復數(shù)滿足“模律定理”。不僅如此,進一步的研究發(fā)現(xiàn),一般地,當且僅當三元數(shù)在同一個數(shù)平面上時,它們的乘法滿足結(jié)合律。新數(shù)系并不能在一般的意

17、義上滿足結(jié)合律,但新數(shù)系理論正確指出了滿足什么樣的條件,哪一類的數(shù)就可以滿足結(jié)合律。最后得出結(jié)論,只需將建立空間直角坐標系來表示三元數(shù)的數(shù)空間看作是由無數(shù)個數(shù)平面所組成,原本紛亂的局面就立即變得和諧、簡單、有序。中學數(shù)學課本中對數(shù)學的介紹很容易使人產(chǎn)生這種印象:學生們所學的課程是理所當然的正確,邏輯清楚、敘述嚴密,似乎數(shù)學家在創(chuàng)立它時沒有遇到任何困難,自然而然地建立了各種定理。初等數(shù)學作為數(shù)學大廈的外殼,似乎已足夠堅固,堅固到后人已難以再在其上添加哪怕一粒的小石子,這些課程經(jīng)過千錘百煉,好象完全已成定局。波瀾壯闊的數(shù)學史卻形成鮮明的對比,它教導我們,一個科目的發(fā)展,是由匯集不同方面的成果點滴積

18、累而成的。我們也知道,常常需要幾十年,甚至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步。不但這些科目并未錘煉成無縫的天衣,就是那已經(jīng)取得的成就,也常常只是一個開始,許多缺陷有待填補,或者真正重要的擴展還有待創(chuàng)造。中學數(shù)學課本中斟字酌句的敘述,未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折,以及在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前,數(shù)學家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。事實上,數(shù)學家的研究工作總是在跌跤中不斷爬起,在迷霧中不斷摸索前行,最后才零零碎碎地得到一份屬于自己的甜美果實。數(shù)系的研究歷程也正是如此。在數(shù)學史上,復數(shù)曾長時間的飽受非議,使數(shù)學家最終相信復數(shù)的不是邏輯,而是威塞爾、阿爾剛和高斯等人給出的幾何表示。由于三元數(shù)也有一個直觀的幾何模型,且能支持函數(shù)理論的發(fā)展,所以三元數(shù)也有資格被稱之為“數(shù)。尤其值得一提的是:三元數(shù)理論的研究尚遠未達到頂峰,它提出了一系列棘手而迷

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